人教A版选修11：2.1.2.2椭圆方程及性质的应用 课件（49张）.ppt

第2课时椭圆方程及性质的应用 类型一直线与椭圆的位置关系 典例1 对不同的实数值m 讨论直线y x m与椭圆 y2 1的位置关系 解题指南 联立两个方程 消去y得到关于x的二次方程 求 讨论 得结论 解析 联立方程组得 将 代入 得 x m 2 1 整理得 5x2 8mx 4m2 4 0 8m 2 4 5 4m2 4 16 5 m2 当 0 即 方程 无实根 直线与椭圆相离 延伸探究 若把本例中直线方程改为 y 2x m 椭圆方程改为 1 试讨论直线与椭圆的位置关系 解析 联立方程组得 将 代入 并整理得9x2 8mx 2m2 4 0 8m 2 4 9 2m2 4 8m2 144 1 由 0 得 m 也就是当 m 时 方程 有两个不相等的实数根 可知原方程组有两个不同的实数解 这时直线与椭圆有两个不同的公共点 即直线与椭圆相交 2 由 0 得m 也就是当m 时 方程 有两个相等的实数根 可知原方程组有两个相同的实数解 这时直线与椭圆有且只有一个公共点 即直线与椭圆相切 3 由 也就是当m时 方程 没有实数根 可知方程组没有实数解 这时直线与椭圆没有公共点 即直线和椭圆相离 方法总结 直线与椭圆位置关系的判定方法 1 将直线方程与椭圆的方程联立 消去一个未知数y 或x 得到关于x 或y 的一个一元二次方程 2 利用一元二次方程根的判别式 根据 0 0还是 0即可判断方程组解的个数 从而得出直线与椭圆的交点情况 巩固训练 若直线y kx 1与焦点在x轴上的椭圆 1总有公共点 求m的取值范围 解析 由消去y 整理得 m 5k2 x2 10kx 5 1 m 0 所以 100k2 20 m 5k2 1 m 20m 5k2 m 1 因为直线与椭圆总有公共点 所以 0对任意k r都成立 因为m 0 所以5k2 1 m恒成立 所以1 m 0 即m 1 又因为椭圆的焦点在x轴上 所以0 m 5 所以1 m 5 类型二直线被椭圆截得的弦长问题 典例2 2017 泉州高二检测 已知斜率为2的直线l经过椭圆 1的右焦点f1 与椭圆相交于a b两点 求弦ab的长 解题指南 可先求出a b两点坐标 再转化为两点间的距离问题 也可以利用弦长公式求解 解析 方法一 因为直线l过椭圆 1的右焦点f1 1 0 且直线的斜率为2 所以直线l的方程为y 2 x 1 即2x y 2 0 由方程组 得交点为 0 2 所以 ab 方法二 设a x1 y1 b x2 y2 由方程组消去y得3x2 5x 0 因为 5 2 25 0 则x1 x2 x1 x2 0 方法三 由方程组消去x得3y2 2y 8 0 因为 22 4 3 8 100 0 则y1 y2 y1y2 方法总结 直线被椭圆截得的弦长的求法思路 1 求两交点坐标 转化为两点间距离 2 用公式来求 设直线斜率为k 直线与椭圆两交点为a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 y1 y2 提醒 在解决直线与椭圆相交问题时 一般要消元化为一元二次方程 常用根与系数的关系 此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0 巩固训练 椭圆 1 a b 0 的离心率为且椭圆与直线x 2y 8 0相交于p q 且 pq 求椭圆的方程 解析 因为e 所以b2 a2 所以椭圆的方程为x2 4y2 a2 与x 2y 8 0联立消去y 得2x2 16x 64 a2 0 由 0 得a2 32 由弦长公式得10 64 2 64 a2 所以a2 36 b2 9 所以椭圆的方程为 补偿训练 已知斜率为1的直线l过椭圆 y2 1的右焦点f 交椭圆于a b两点 求弦ab的长 解析 设a b两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由椭圆方程知a2 4 b2 1 所以c 所以f 0 所以直线l的方程为y x 将其代入椭圆方程 并化简 整理得5x2 8x 8 0 所以所以 类型三与椭圆相关的中点弦问题 典例3 过椭圆 1内一点m 2 1 引一条弦 使弦被m点平分 求此弦所在的直线方程 解题指南 可以设出所求直线方程 然后代入椭圆方程 消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解 也可以考虑利用点差法求解 解析 方法一 由题意知过点m的弦所在直线的斜率存在 设为k 则所求直线方程为y 1 k x 2 代入椭圆方程并整理 得 4k2 1 x2 8 2k2 k x 4 2k 1 2 16 0 又设直线与椭圆的交点为a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2是方程的两个根 于是x1 x2 又m为ab的中点 所以解得k 故所求直线的方程为x 2y 4 0 方法二 设直线与椭圆的交点为a x1 y1 b x2 y2 易知x1 x2 又m 2 1 为ab的中点 所以x1 x2 4 y1 y2 2 又a b两点在椭圆上 则x12 4y12 16 x22 4y22 16 两式相减得 x12 x22 4 y12 y22 0 于是 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 所以即kab 又直线ab过点m 2 1 故所求直线的方程为x 2y 4 0 方法总结 解决椭圆中点弦问题的两种方法 1 根与系数的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组 消去一个未知数 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 2 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 将端点坐标分别代入椭圆方程 然后作差 构造出中点坐标和斜率的关系 具体如下 已知a x1 y1 b x2 y2 是椭圆 1 a b 0 上的两个不同的点 m x0 y0 是线段ab的中点 则 巩固训练 2017 宝鸡高二检测 已知椭圆x2 2y2 4 则以 1 1 为中点的弦的长度为 解析 选c 易知该弦所在直线的斜率存在 由题意可设y 1 k x 1 所以y kx 1 k 代入椭圆方程 得x2 2 kx 1 k 2 4 所以 2k2 1 x2 4k 1 k x 2 1 k 2 4 0 由x1 x2 2 得k 所以x1x2 所以 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 4 所以 ab 补偿训练 2017 武汉高二检测 已知过点a 1 1 的直线l与椭圆 1交于点b c 当直线l绕点a 1 1 旋转时 求弦bc中点m的轨迹方程 解析 设直线l与椭圆的交点b x1 y1 c x2 y2 弦bc中点m x y 则 得所以 x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 y1 y2 0 当x1 x2时 所以 式可化为 x1 x2 2 y1 y2 0 所以2x 2 2y 0 化简得x2 2y2 x 2y 0 当x1 x2时 因为点m x y 是线段