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第十二章 无穷级数习题课资料 一、 本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。二、 本章重点用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。三、 本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。四、 例题选讲例1：判别级数的敛散性。（用定义） 解：原式=级数的部分和， 所以原级数收敛，且收敛于。例2：证明级数收敛。（利用柯西审敛原理）证明：得，对任意的，取，则当时，对所有，都有，故原级数收敛。例3：判别下列级数的敛散性（1） ， （2） ， （3）（4） ，（5），（）（6）解：（1）因为，所以，而 ， 有 ，由比较审敛法知，级数收敛。（2）因为 ，又收敛，所以原级数收敛。（3）用根值法 ，所以原级数收敛。（4）所以 有比较法知，原级数收敛。（5）比值法：，当时，级数收敛，当时，级数收敛，当时，级数收敛。所以，当时，级数收敛。（6），所以原级数收敛。例4：判断级数的敛散性。解：，又，知级数发散，从而发散，即级数非绝对收敛。因为，且在内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。例5：证明级数收敛。证：设，则原级数为，又，即在内单调下降，从而，且，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。例6：设数列为单调增加的有界正数列，证明级数收敛。证明：因为数列为单调增加有上界，所以极限存在。设，考虑而级数存在，由比较审敛法知，原级数收敛。例7：求下列幂级数的收敛域（1） ， （2） ，（3）解：（1），所以收敛半径为，收敛区间。时，级数发散；时，收敛。所以收敛域为。（2）令，原级数为 因为，所以收敛半径。又时级数发散，时级数收敛，故其收敛域为：再由，解得原级数的收敛域为。（3），所以收敛半径，收敛区间为：，即当时，原级数收敛，当时，原级数发散。得原级数的收敛域为。例8：求下列级数的和函数（1） ，（2） ，（3）解（1）所以收敛半径，收敛域为：。即和函数。（2），所以收敛半径。又时，原级数发散，所以级数的收敛域为。设级数的和函为，对幂级数逐项积分得， ， 对上式两边求导得， 。（3）易求级数的收敛域为。记级数的和函为，因为，所以 ， 即， 对上式两端求导得： 故有， 当时，由所给级数知。因此例9 把级数 的和函数展开成的幂级数。解：记级数的和函为，即 ， 例10 求级数的和。解：设 故级数。例11 设，试将展开成的幂级数。解：所以， 。例12 设，在上收敛，试证：当时，级数必定收敛。证明 由已知收敛，所以，从而有界。即存在，使得 ， ，所以右端对应的级数显然收敛，所以级数收敛，且为绝对收敛。例13 求的近似值，误差不超过。解 因为故。例14 求函数的傅立叶展开式。解：分段连续，满足展开定理条件， ，另求： ，另求： 所以函数的傅立叶级数为：。例15 已知函数，是周期为的周期函数，（1） 求的傅立叶级数；（2） 证明；（3） 求积分的