4.3.2函数的极大值和极小值.docx

导数与函数的单调性、极值、最值一、导数与函数的单调性题型一利用导数研究函数的单调性【典例1】 【2016四川卷节选】设函数f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0.【解析】(1)由题意得f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)证明令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.【规律方法】用导数讨论(证明)函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0.h(x)ax2.若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当x0时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min.(*)又G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，).(2)由h(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，h(x)ax20恒成立，(*)则a恒成立，所以aG(x)max.又G(x)1，x1，4因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.当a时，h(x)x2，x1，4，h(x)0，当且仅当x4时等号成立.(*)h(x)在1，4上为减函数.故实数a的取值范围是.【易错警示】(1)特称命题理解不清，不能将第(1)问转化为ax20有解，难以得到不等式(*).错求a的取值范围.(2)错误理解“f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.”导致在第(2)问中(*)处易错求h(x)0时，令3x2a0，得x0，f(x)0(f(x)0知：(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，令f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.命题角度三已知极值求参数【典例13】 已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc在x1处有极值，试求b，c的值.【解析】f(x)x22bxc，由f(x)在x1处有极值，可得解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，f(x)没有极值.若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1).当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)001f(x)极小值12极大值当x1时，f(x)有极大值，满足题意.故b1，c3为所求.【规律方法】(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号.如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.应注意，导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题，应注意分类讨论.【训练1】 设函数f(x)ax32x2xc(a0).(1)当a1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围. (2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，故f(x)0或f(x)0恒成立.当a0时，f(x)4x1，显然不满足条件；当a0时，f(x)0或f(1)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即1612a0，解得a.综上，a的取值范围是.题型二利用导数求函数的最值【典例2】 【2017郑州模拟】已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0，1上的最小值.【解析】(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值.【解析】(1)由f(x)aln xbx2，得f(x)2bx(x0).函数f(x)在x1处与直线y相切.解得(2)由(1)知f(x)ln xx2，则f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1x0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值.【解析】(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，由于ex0.令f(x)0，则g(x)ax2(2ab)xbc0，3和0是yg(x)的零点，且f(x)与g(x)的符号相同.又因为a0，所以3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)0时，由f(x)0，得0x0，得x，f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x处有极小值.综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点.(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x.因此f(x)bx21b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，)上递增，g(x)ming(e2)1，即b1.故实数b的最大值是1.【方法总结】1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3.可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.4.若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.【易错防范】1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使