我国中学数学解析几何教材的沿革——“中学数学中的解.pdf

鳓 簿 中学 数 人民教育出版社 中数室章建跃 上文我们从解析几何的创立和发展的回顾 中 讨 论了解析几何 的思想方法 内容和意义 本文将 在追 溯我国中学解析几何课程发展历史 的过程 中 对解析 几何教材的功能定位 结构体系 内容和要求等进行 讨论 1 我国中学解析几何课程历史简述 我国中学数 学从 2 O世纪初 就设有解 析几何 课 程 涵盖的内容有 德卡儿 即笛卡J L 坐标 系 轨迹与 方程 直线方程 圆的方程 圆锥 曲线方程 极坐标 坐 标变换 切线和法线 一般二元二次方程及其轨迹性 状的讨论 高次平面曲线 超越平面曲线等 内容 比较 齐全 安排在高二 高 三 每周 2 3课 时不等 1 9 3 2 年 为了解决课程多课时少 的矛盾 提出 与其教材过 多 徒使学生食而不化 不如注意基本训练 养成其 自 动研究之能力 故 解析几何仅需讲 大意 因此课 程名称改为 解析几何大意 在高三学习一年 每周 2 课时 到 1 9 3 6年 解析几何 的 内容大量增加 除平面 解析几何外 还增加了不少空间解析几何 的内容 空 间坐标与轨迹 平面及 直线 特殊 曲面 空间坐标 变 换 二次曲面 空间曲线方程式及其性质等 仍在高三 学习 每周课时数增 至 4课 时 在 1 9 4 8年 解析几何 课程又出现大调整 将空间解析几何删去 只学平面 解析几何 并大量减少课时数 在高三开一学期 的课 每周 3课时 新 中国成立之初 1 9 5 0年颁布 数学精简纲要 其中以斯盖尼三氏解析几何学为主要参考书 确定了 高中解析几何 应授教材 纲 目 章节名称是 第一章 直角坐标 第二章 直线 第三章 曲线和方程 第 四章 圆 第五章 抛物线 椭 圆 双 曲线 第六章 坐标 的转 换 第七章 切线和法线 第八章 极坐标 第九章 襄变 方程 即参数方程 第十章 立体解析几何大意 内容 又大大增加 从 高二下学期开始学习 课 时量为高二 下 每周 2课时 高三每周 3课 时 1 9 5 2年开始学前 苏联 不在中学设置解析几何课程 直到 1 9 6 3年才把 它重新纳入中学数学课程体系 只学平 面解 析几何 但内容比较齐全 学时为 9 O课时 在高三年级开设 此后的解析几何课程基本上是在 1 9 6 3年的基础 上进行调整 但在结构体 系上没有 大的变 动 主要是 不断精简 内容 到 2 0 0 0年 坐标变换 极坐标 参数方 程等都被精简 圆锥 曲线 的切线 法线 以及统一定义 等都不再学习 学习时间减为 4 O课时 在高二上学期 开设 2 解析几何教学目标和要求的变化 我国的解析几何 教学历来强调 两个功能 第一 作为初等数学 到高等数学过渡的桥 梁 第二 作为沟 通代数与几何 的综合性学科 基于这样的认识 在不 同阶段提出的解析几何教学 目标和要求虽各有差异 但本质没有多少改变 例如 1 9 3 2年 课标 的 实施方法 中提 出 解析几何 应融会代数 几何 三角诸学程 示其相互 为用 简略 提示 中学 阶段算学 科之总结束 一面立高深研 究之 基 础 1 9 4 1年的 六 年制 中学数学课程标准草案 中提 到 1 解析几何之教学 应融会代数 几何 三角诸学 程 示其相互为用之处 一面作中学 阶段算学科之 总 结 束 一 面立 高 深 研 究 之基 础 2 解 析 几 何 之 教 学 又应与代数 几何 三角互相联络 以解决几何问题 而充分表示算学各部分呼应一气之特色 3 欲 图形 与数量得相应之关联 不得不用推广之几何原素 故 解析几何遂不能不与综合几何互有出入 如分角线求 法之问题 凡此 等处 最 宜使初学者 注意 以期其见 解明晰 无所惶恐 4 综合法作图之范 围 非解析莫 能决 如有充分时间 宜略示作图不能之意义 又在同 一 年的 修正高级中学数学课程标准 中提出 解析几 维普资讯 本 刊 专 稿 2 0 0 7 年 第 8 期 高 中 何的教学应使学生知用坐标及代数方法 研究 图形性 质及解决实用问题 使学生熟习圆锥 曲线之性质与应 用 使学生认识各种著名曲线 养成学生 函数观念及 分析能力 1 9 5 1年 中学数学科课程标准草案 中提出的解 析几何 教学 目标 是 1 应 用 代数 方 法 研 究几 何 2 学习函数和图象的相互关系 3 本科 以研究圆锥 曲线为主 4 沟通形数 奠定学习解析数学的基础 1 9 6 3年的教学大纲中提 出 解析几何应安排在高 中最后阶段 这样 一方面使 以前所学 的数 学知识融 会贯通 把数和形 的研究紧密地结合起来 提高综合 运用数学知识的能力 另一方面要 系统掌握解析几何 的基础知识 为学 习高等数学 打下扎实 的基础 这一 大纲提出的解析几何教学要求 比较高 掌握直角坐标 系中曲线和方程的相互关 系 能根据所给条件妥善选 择坐标系 列出曲线的方程 能通过方程的讨论 掌握 曲线的性质 画 出曲线 能运用坐标法论证 图形的性 质 掌握直线和 圆锥 曲线的各种方程 性 质以及圆锥 曲线的各种画法 能利用坐标轴的平移和旋转简化二 次方程 掌握 一些 重 要 曲线 的 极 坐标 方程 和 参数 方程 此后的教学 目标 和要求 主要是在 上述框架下进 行调整 例如 1 9 8 6 年的大纲 中提出 解析几何教学要 使学生 1 了解解析几何研究 的对象 方法 和意义 2 掌握直角坐标 系中曲线和方程的相互关 系 能根 据所给条件选择适当的坐标系求 曲线方程 通过对方 程的讨论掌握曲线的性质 画出曲线 能运用坐标法 解决有关问题 3 掌握直线和圆锥 曲线的方程 性质 及其画法 能利用坐标轴 的平移化简 圆锥 曲线方程 了解一些重要 曲线 的极坐标 方程 和参数方程 4 使 学生能够用运动 变化和对立统一的辩证观点去分析 问题 总之 解析几何的教学 目标和要求 都是 围绕着 使学生理解和掌握 坐标法 并用坐标法研究直线 圆 锥曲线以及其他重要 曲线 的方程 性质和作 图等来考 虑 尽管内容有深有浅 范围有广有窄 但大框架没有 改变 3 内容的选取 在我国中学数学课程发展史上 解析几何课 内容 的确定 经历了不断精 简的过程 新 中国成 立之前 的 较长一段时间 1 9 3 6年 1 9 5 1年 中学解析几何课 程包括空间解析几何 新 中国成立后 则 以学习平 面 解析几何为主 平面解析几何 内容的选取 主要考虑的是 内容是 否要求完整 过去较长时间内 内容 比较齐全 首先讲理论基础 即从有 向线段开始 引进直 角 坐标系后 讲解基本几 何量 角 距离 面积 斜率 分 点等 的解析表示 让学生初步熟悉坐标系 接着安排 曲线与方程 的基本定理 包括曲线 和方程 的概念 由 曲线求方程 由方程 画曲线 两条曲线的公共点 方程 组 的解 等 接着 在上述理论 准备的基 础上 安排直线及其 方程和圆锥 曲线及其方 程的学 习 前 一部分包括 各 种直线方程 经验公式 直线方程 的法线式 直线族 两条直线的位置关系 平行 垂 直的充要条件 点 到 直线的距离 交角公式 三线共点的条件等 圆锥曲线 及其方程包括 圆的方程 三个条件决定一个圆 包括 圆系 椭圆的定义和标准方程 椭圆的性质 截距 对 称性 范围 离心率 用几何方法画出椭 圆上的点 尺 规作图 双 曲线 抛物线的讨论 思路 与椭 圆一致 最 后给出圆锥曲线的统一定义 另外还讨论 了圆锥曲线 的切线定义 极限法给 出 圆锥 曲线 的切线方程 求 法步骤 法线 切线和法线的性质等 第三部分是坐标变换 包括坐标轴的平移 公式 利用平移化简方程 方程 Ax C y Dx E y F O的讨论 椭 圆型 双曲线 型 抛物线型 坐标轴的 旋转 公式 利用旋转消 x y项 一般二次方程的讨论 和化简 圆锥曲线系 第 四部分是极坐标 包括极 坐标 的概念 极坐标 与直角坐标 的互换 极坐标方程 的图形 求轨迹 的极 坐标方程 圆锥曲线 的定义和它的极坐标方程等 第五部分是参数方程 包括参数方程 的概念 普 通方程和参数方程的互化 由参数方程 画图 利用参 数求方程等 上述 内容的选取和编排 除了内容完整 齐全外 以公理化思想组织内容体系也是一个突出特点 重视 数学理论 的逻辑结构 较少考虑学生的学习心理 文革 结束后 平面解析几何 内容 的确定 主要 是在上述基础上的精简 首先 理论基础上不做过分求全 简单 的直角坐 标系理论分解到初中 其次 直线方程重点讲点斜式和一般式 位置关 维普资讯 系强调平行和垂直 度量问题 主要讲距离 点到直线 的距离为重点 再次 突出 标准方程 的主干地位 不对一般 的 二次方程及其曲线进行讨论 在 圆锥 曲线的统一性上 不做过多讨 论 第四 主要在直角 坐标系下讨论 问题 逐步删减 了极坐标系的内容 第五 强调参数 的思想 把参数 方程 的训练分散 到其他主干内容 中去 第六 因为中学生对用不变量思想讨论几何 图形 性质 的理论理解有 困难 所 以坐标变换的 内容逐步 削弱 第七 由于主张以导数为工具讨论二次曲线的切 线和法线 因此只保留少数与方程的思想和方法紧密 相关的切线问题 用二次方程根的判别式求解 4 内容编排中考虑的几个问题 4 1 曲线 的方程 方程 的曲线 概 念 的处 理 两种处理方式 一种 是在 给出直角坐标 系概念 后 马上定义 曲线 的方程 和 方程的 曲线 另一种 是在直线的方程 圆的方程内容之后再给定义 显然 前一种处理 方式 主要考虑数学 的逻辑性 这样处理具有数学 的严谨性 但 由于这一概念很抽 象 学生在没有一 定的方程与 曲线关系的感 知基础 时 很难理解 所 以作 为教材 的组织方式 这样 做不 合适 第二种处理方式 比较合适 首先 作为解析几何 的基本概念 曲线的方程 和 方程的曲线 不能 出现 太 晚 考 虑 到与学 生 的认 知基 础 相适应 采 取 具 体 抽象 具体 的方式 先在直线及其方程 圆 及其方程的学习中 渗透 借助直线和二元一次方程 的关系 圆与其方程的关系的讨论 作直观 具体的论 述 在学完圆的方程后 再归纳出 曲线 的方程 方程 的曲线 概念 这样就使学生在理解这一抽象概 念时 有一定的认知准备 当然 在讲解概念时 还要有具体 的典型例子为载体 并要配合一定的求 曲线方程的练 习 在对曲线和方程 的概念有 了一 定程度 的理解后 再在概念的指导下 对圆锥曲线进行较系统的研究 在具体处理 曲线与方程 时 细节上还有一些问 题要考 虑 例 如 是否完整地讲 已知曲线求方程 和 已知方程讨 论 曲线的性质和作 图 一般地 仅仅讨论某一个具体 方程的性质和作 图意义不大 还是结合圆锥曲线的学 习 通过方程讨论一类 曲线 椭圆 双曲线 抛物线 的 性质 更 能体现代数方法研究几何 图形性 质的优越 性 因此 以往教材这里只讨论 已知 曲线求方程的问 题 这样处理比较合适 用怎样的数学语 言表述 概念 一般地 为 了使表 述规范 简洁 同时也为 了使 学生熟悉用集合和对应 的语言表述数学问题 可以考虑用集合与对应的语言 和符号描述轨迹概念 轨迹就是满足所给条件 的点 M 的集合 表示为 P一 M 厂 M 一口 但是 也 有一些人认为 这样抽象 的语言 符号许多学生理解 不了 与其为了严谨而引进抽象符号表示而导致学生 的学习困难 对学生掌握解析几何 的基本思想产生不 利影响 倒不如在这里退一步 用不太严格 的直观语 言加以描述 把重点放 在领会解析几何的基本思想 再逐步严谨化 是否要先讲 充要条件 对 曲线与方程 方程 与曲线 的理解需要有充要条件 的概念 在 以往的教 材体系中曾经采用过三种处理办法 一是用充要条件 的语言讲 曲线与方程 概念 同时对 充要条件 等概 念进行解释 二是先用一定 的课 时学习 充要条件 概 念 然后再学习 曲线与方程 概念 三是把 充要条 件 放在 简易逻辑 中 这里作为 已知概念使用 我们 知道 充要条件 是一个教学难点 学生虽然学过 四 种命题 接触过不少的充要条件命题 但从逻辑上理 解还是有一定 的困难 这里安 排一 节 充要条件 内 容 在数学上严谨 了 命题 的叙述也方便 准确 了 但 这是 节外生枝 打断了解析几何本身的系统 和连贯 性 而且连续的两个抽象难懂概念放在一起学 习 对 学生的学习心理确实有不利 的影响 所 以 这个 内容 安排在 简易逻辑 中更合适 只是不管安排在哪个位 置 都不要在概念本身的严格性上做过多文章 应 当 是知 道 能用 就 可 以 4 2 是否 把圆作 为一 种特殊 的 圆锥 曲线 单独研 究 显然 无论从平面截 圆锥 的位置的区分 还是从 二元二 次方程的一般式看 我们都可以很容易地看 到 圆是圆锥 曲线 的特例 圆的方程也是 二次 曲线方 程的特例 所以 不单独列出 圆及其方程 而是从一 般的 角度人手 对方 程 Ax B x y C y D x E y F一0的系数的各种 取值情况进行讨论 也是完整 系统的 但是 这样做不符合学生的认知规律 也是学 维普资讯 本 刊 专 稿 2 0 0 7 年 第 8 期 高 中 生的能力所不能及 的 另一方面 圆的性 质是学生 在 平面几何中系统学 习过的 他们对这一图形的性质已 经有比较充 分的认识 单独列出 圆及其方程 既可 以让学生利用平面几何 中获得的圆的知识 又可以让 他们体会坐标法与综合法之间的异 同 体会坐标法 的 本质 以及把坐标法和综合法结合起来研究问题的好 处 从而体会数形结合思想 所 以 先处理 圆及其方 程 并且用坐标法处理一些 圆与直线 圆与圆的位置 关系问题 是符合数学教学法原则的 当然 在具体处 理时 应当照顾 到与二次 曲线的衔接 问题 这 就是要 让学生从圆的标准方程 一口 一6 一 上展 开 得到一般方程 观察它 的特点 得出圆的方程一定 可 以化为 D x E y F一0的形式 并对系数 D E F满足什么条件时 才是 圆的方程进行讨论 这 里要用配方法 并要对方程有无数解 唯一解 以及无 解的几何含义进行解释 为了加强这种联系性 可以 介绍用待定系数法求圆的方程的方法和步骤 还可以 从中得到 三个独立条件唯一确定方程 Dx E F 0 与平面几何 中 不共线三点唯一确定 一 个 圆 是一致的 等等 4 3圆锥 曲线 的顺序 问题 圆锥曲线的顺序可以有两种 椭圆到双曲线再到 抛物线 抛物线到椭圆再到双曲线 前一种顺序 考虑 的是 圆与椭 圆的密切关系 而且从平面截 圆锥 的连续 过程看 是 圆 椭 圆 抛 物线 双 曲线 从方 程的角度看 圆的方程可 以作为椭 圆方程 的特例 而 双曲线的方程与椭 圆方程是符号之差 抛物线 的方程 与其余几种是不一样 的 后一种顺序 主要是抛物线 方程更加简单 抛物线有很好的光学性质 应用 比较 广泛 另外也与二次函数联系紧密 所以 两种顺序都 是 可 以的 4 4 圆锥 曲线 的统一定 义及 其方 程在什 么 时候 出现 应当说 统一定义是重要 的 应 当用适 当的方式 安排学生学 习这一内容 而且只有学 习了统一定义 才能真正理解离心率的意义 这里实际上是对不同曲 线的个性与共性的处理 问题 从个性 出发 有利 于对 相应曲线的性质进行全面研究 在对个性研究 的基础 上再归纳概括 出共性 可 以达到更进一步 的认识 另 外 从动点满足的几何条件 到定点与到定 直线 的距 离的比是常数的点的轨迹 出发 建立直角坐标系 最 容易想到的是取定点为原点或取定直线为坐标轴 但 这样得到的都不是标准方程 而在极坐标 系下 以定 点为极点 垂直于定直线 的射线为极轴 得到 的方程 是简单而对称的 所以 在 个性定义 下 以给定坐标 系的方式 让学生体会 统一定义 再在讲完三种曲 线后作适 当总结 把圆锥 曲线用离心率统一起来 使 学生 的认识加 深 最后再 在极坐标 系下 求出统一 方 程 这样 的安排还是综合考虑 了数学的科 学性 严谨 性和学生的认知规律及接受能力 的 4 5 圆锥曲线的切线 法线内容的取舍问题 从应用的角度看 圆锥曲线 的许多性 质 特