5-1-2机率与统计(二)-独立事件(练习题)[1].pdf

一 是非題 第 1 6 題 每題 0 分 1 設 A B 為獨 事件 且 B C 也是獨 事件 則 A C 也是獨 事件 解答 詳解 設樣本空間 S 1 2 3 4 5 6 事件 A 1 2 B 2 3 4 C 1 4 則 A B 獨 B C 獨 但 A C 獨 2 設 A B 為 事件且 P AB 0 則 A B 為獨 事件 解答 詳解 P A B P A P B 才是獨 的條件 3 從 1 到 10 的正整 中 任取一 以 A 表示取得的 為 4 的倍 的事件 B 表示取得的 為 3 的倍 的事件 則 A B 為獨 事件 解答 詳解 A 4 8 B 3 6 9 P A 5 1 P B 10 3 P A B 0 P A P B 4 在 N 個學生中 每次抽一人 共抽出 3 個人組成樣本 每個人被抽的機會相等 那麼每個樣本被抽 到的機 為 N C3 1 解答 詳解 樣本有 C個 且每個被抽的機 均等 N 3 5 甲 乙 人投籃的命中 為 0 6 0 5 設投籃時命中與否是獨 事件 則甲 續投 球中至少進一球 的機 大於乙投二球至少進一球的機 解答 詳解 甲投 球至少進一球的機 1 0 4 2 0 84 乙投 球至少進一球的機 1 0 5 2 0 75 所以 甲至少進一球的機 大於乙至少進一球的機 6 設 A B 為 獨 事件 則 A B 也是 獨 事件 因此 P A B P A P B 時 P AB P A P B 解答 詳解 獨 事件的基本性質 二 多重選擇題 第 1 4 題 每題 0 分 1 設 A B 為獨 事件 已知 P A 2 1 P A B 3 2 則下 何者為真 A P B 3 1 B P A B 4 1 C P A B 3 1 D P B A 3 2 E P A B 6 5 解答 A D E 詳解 1 A B 為獨 事件 P A B P A P B P A B P A P B P A B P A P B P A P B 3 2 2 1 P B 2 1 P B P B 3 1 2 P A B P A P B 2 1 3 1 6 1 3 P B A AP ABP 1 AP BPAP 2 1 3 2 2 1 3 2 4 P A B P A P B P A B 2 1 3 2 2 1 3 2 6 243 6 5 A D E 真 2 擲一公正之硬幣 次 A表示第一次出現反面之事件 B表示第二次出現正面之事件 C表示正面 反面均出現一次之事件 則下 敘述何者為真確 A A B為獨 事件 B B C為獨 事件 C A C為獨 事件 D A B C為獨 事件 E A B C為相關事件 解答 A B C E 詳解 樣本空間S 正 正 正 反 反 正 反 反 A 反 正 反 反 B 反 正 正 正 C 正 反 反 正 P A 4 2 2 1 P B 2 1 P C 2 1 P A B 4 1 P A C 4 1 P B C 4 1 P A B C 4 1 故P A B P A P B A B為獨 事件 P B C P B P C B C為獨 事件 P A C P A P C A C為獨 事件 P A B C 4 1 8 1 P A P B P C 但A B C三事件 為獨 選 A B C E 3 甲 乙 人猜拳 各出 剪刀 石頭 布 三者之一 則下 敘述何者為真確 A 猜拳一次 甲獲勝的機 為 3 1 B 猜拳四次 甲二勝二負的機 為 27 2 C 猜拳四次 四次都平 手的機 為 81 16 D 猜拳四次 有二次平手 二次各一勝一負的機 為 81 12 E 猜拳四次 人 分 勝負的機 為 81 19 解答 A B D E 詳解 二人每次出拳之所有情形有32 9種 1 猜拳一次 甲勝的情形有三種 剪刀 布 石頭 剪刀 布 石頭 甲獲勝的機 為 9 3 3 1 同 乙獲勝的機 為 3 1 二人平手的機 為 3 1 2 猜拳四次 甲二勝二負 先從四次選出二次甲勝 則另二次乙勝 選法有C種 甲二勝二負的機 為C 4 2 4 2 3 1 2 3 1 2 81 6 27 2 3 猜拳四次均平手的機 為 3 1 4 81 1 4 猜四次 有二次平手 二次各一勝一負的機 為C 4 2 3 1 2 C 2 1 3 1 2 81 12 5 猜四次 分勝負的情形有 1四次平手 2二次平手 二次各一勝一負 3各二勝二負 分勝負的機 為 81 1 81 12 27 2 81 19 故選 A B D E 4 甲 乙 丙三人同解一 學題 其能解出之機 分別為 5 2 4 3 3 1 今三人各自獨 解此題 則下 敘述何者是真確 A 此題三人都解 出之機 為 10 1 B 此題被解出之機 為 10 1 C 此題三人都解出之機 為 10 9 D 此題只被一人解出的機 為 12 5 E 已知此題只被一人解出 求得由甲解出的機 為 25 4 解答 A D E 詳解 設A B C分別表甲 乙 丙三人解出此 學題的事件 則P A 5 2 P B 4 3 P C 3 1 且A B C為獨 事件 1 此題三人都解 出之機 為 P A B C P A P B P C 1 5 2 1 4 3 1 3 1 5 3 4 1 3 2 10 1 2 此題被解出的機 1 三人都解 出的機 1 10 1 10 9 3 此題三人都解出的機 為 P A B C P A P B P C 5 2 4 3 3 1 10 1 4 此題只被一人解出機 為 P A B C P A B C P A B C 5 2 4 1 3 2 5 3 4 3 3 2 5 3 4 1 3 1 60 3184 60 25 12 5 5 已知只一人解出之條件下 恰甲解出的機 P 甲解出 只一人解出 3 1 4 1 5 3 3 2 4 3 5 3 3 2 4 1 5 2 3 2 4 1 5 2 60 25 60 4 25 4 A D E 三 填充題 第1 25題 每題0分 1 擲一公正骰子24次 出現k次6點的機 為P k 則 1 P 22 24 6 a 時 a 2 使P k 最大之k 解答 1 6900 2 4 詳解 1 P 22 C 24 22 6 1 22 6 5 2 24 6 252312 24 6 a a 12 23 25 6900 2 P k 1 P k 1 C 24 1 k 6 1 k 1 6 5 25 k C 24 1 k 6 1 k 1 6 5 23 k C 6 24 1 k 6 5 C 24 k 24 1 k 6 1 6 5 25 1 24 kk 5 23 1 24 kk 5 1 k k 25 5 1 5 24 k k 6k19 k 4 此時 使P k 為最大之k 4 即出現4次6點 20次非6點的機 最大 24 6 5 4 1 2 3 4 PPPP PPPP K 2 某地方的天氣 下雨天的翌日也下雨的機 是 3 1 非下雨天的翌日下雨的機 是 2 1 今假設第一天是 下雨天 則第四天也是下雨天的機 為 解答 54 23 詳解 第一天是下雨天 則 第二天 下雨天的機 為 3 1 非雨天的機 3 2 第三天 下雨天的機 為 3 1 3 1 3 2 2 1 9 4 非下雨天的機 為1 9 4 9 5 第四天 下雨天的機 為 9 4 3 1 9 5 2 1 54 23 3 某社團 加人員依性別與 級分 人 統計表如下 級 性別 一 級二 級 男 618 4x 隨機從社團中抽樣 A B分別表抽到男生與抽到二 級學生的事件 事件A B為獨 則x 解答 12 詳解 由題意 A B 獨 P A B P A P B P A x 1846 186 x 28 24 P B x x 1846 18 x x 28 18 P A B x 1846 18 x 28 18 x 28 18 x 28 24 x x 28 18 18 28 x 24 18 x x 12 4 投擲一顆公正的骰子n次 Pn表示有一面 續出現 次或 次以上的機 欲使Pn 0 99 則自然 n的最小值為 log 2 0 3010 log 3 0 4771 解答 27 詳解 由題意知Pn 1 6 6 6 5 n 1 1 6 5 n 1 而 1 6 5 n 1 0 99 6 5 n 1 0 01 n 1 log 5 log 6 2 n 1 1 log 2 log 2 log 3 13log2log2 2 14771 0602 0 2 0791 0 2 25 28 n 1 26 n 27 故n的最小值為 27 5 假設任意取得統一發票三張 每一張的個位 字的號碼可以是 0 1 2 3 8 9 之中的任一個 求三張發票的個位 字的號碼中 1 至少有一個 8 的機 為 2 至少有一個 5 且至少有一個 9 的機 為 用小 表示到小 點後第三位 解答 1 0 271 2 0 054 詳解 1 至少有一張統一發票的個位 字的號碼為 8 的機 1 個位 字都 是 8 的機 1 10 9 3 1 0 729 0 271 2 至少有一張個位 字為 5 且至少有一張個位 字為 9 的機 有 張為 9 另一張為 5 的機 有 張為 5 另一張為 9 的機 有一張為 9 一張為 5 另 一張為其他 字的機 3 10 1 10 1 10 1 3 10 1 10 1 10 1 3 10 1 10 1 10 8 1000 3 1000 3 1000 48 1000 54 0 054 6 設甲 乙 丙三位射擊的命中 各為 0 4 0 5 0 6 今在靶場中 有一目標靶 1 三人同時各射擊一發 且各人命中靶面的事件為獨 事件 則靶面恰中二彈的機 為 2 如果每人射擊 發子彈 則靶面恰中二彈的機 為 解答 1 0 38 2 0 2356 詳解 1 每人各射擊一發 靶面恰中二彈 即恰有 人命中目標其機 P 甲中且乙中且丙 中 P 甲中 且乙 中且丙中 P 甲 中且乙中且丙中 0 4 0 5 0 4 0 4 0 5 0 6 0 6 0 5 0 6 0 08 0 12 0 18 0 38 2 每人各射擊 發 靶面恰中二彈的機 為 P 甲中 發 乙 丙都 中 P 乙中 發 甲 丙都 中 P 丙中 發 甲 乙都 中 P 甲 乙 各中一發且丙都 中 P 甲 丙各中一發且乙都 中 P 乙 丙各中一發且甲都 中 0 4 2 0 5 2 0 4 2 0 6 2 0 5 2 0 4 2 0 6 2 0 5 2 0 6 2 4 0 4 0 6 0 5 0 5 0 4 2 4 0 4 0 6 0 5 2 0 6 0 4 4 0 6 2 0 5 0 5 0 6 0 4 0 2356 7 某一射手發 5 彈平均命中 2 彈 該射手至少命中一彈的機 大於 0 999 時 至少要射 發 以上 每發射擊均為獨 事件 log 2 0 3010 log3 0 4771 解答 14 詳解 射手每射一發命中的機 為 5 2 命中的機 為 5 3 射n彈均 中之機 為 5 3 n 至少命中一彈的機 為 1 5 3 n 0 999 5 3 n 0 001 10 3 n log 3 log 5 2219 0 3 13 5 n N n 14 故最小n值為 14 8 有街道如下圖 每一小方格皆為正方形 甲自P往Q 乙自Q往P 人同時出發以相同速 沿最短 距 前進 假設在每一分叉 口時 選擇前進方向的機 都相等 問甲 乙二人在 上相遇的機 有 多大 將所求的機 化為形如 n a 2 的最簡分 即既約分 其中n及a皆為正整 則序對 n a 解答 8 29 詳解 人在 A 點相遇之機 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 7 16 1 128 7 人在 B 點相遇之機 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 16 1 16 1 256 1 人在 C 點相遇之機 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 16 1 8 7 128 7 甲 乙 丙在 上相遇之機 為 128 7 256 1 128 7 256 29 8 2 29 n a 2 故 n 8 a 29 9 設A B C為樣本空間S之事件 A B C為三獨 事件 P B 3 1 P A B 12 7 且P A B C 32 1 則P C 解答 4 3 詳解 A B C 為獨 事件 A B C 亦為獨 事件且 A B 為獨 事件 P A B P A P B P A B 且 P A B P A P B 12 7 P A 3 1 3 1 P A P A 8 3 又 P A B C 32 1 P A P B P C 32 1 8 3 3 1 P C 32 1 P C 4 1 故 P C 1 P C 1 4 1 4 3 10 擲一硬幣出現正面的機 為 4 3 出現反面的機 為 4 1 續擲 6 次 出現k次正面的機 為P k 則 P 3 P k 6 1k k 解答 1 1024 135 2 2 9 詳解 1 P 3 C 6 3 4 3 3 4 1 3 6 36 3 4 3 C 1024 135 2 k P k k C 6 k 4 3 k 4 1 6 k 其中k C 6 C 5 對k 1 2 3 4 5 6 均成 P k 6 6 k1 k 6 1k k 6 1k k 4 3 k 4 1 6 k 6 4 3 6 1k k 4 3 k 1 4 1 5 k 1 2 9 5 0 5 r r C 4 3 r 4 1 5 r 2 9 4 3 4 1 5 2 9 11 甲 乙 人下圍棋 平均每三局甲勝二局 乙勝一局 今 人做七局賽 言明先勝四局者得勝 但 每局均無和局 需分出勝負為止 則甲勝的機 為 解答 2187 1808 詳解 每一局比賽 甲勝的機 為 3 2 乙勝的機 為 3 1 甲獲勝的情形有 4 種 賽到第四局結束 甲勝的機 3 2 4 賽到第五局結束 甲勝的機 C 4 3 3 2 3 3 1 3 2 賽到第 局結束 甲勝的機 C 5 3 3 2 3 3 1 2 3 2 賽到第七局結束 甲勝的機 C 6 3 3 2 3 3 1 3 3 2 故所求機 3 2 4 4 3 2 4 3 1 10 3 2 4 3 1 2 20 3 2 4 3 1 3 2187 1808 12 同擲二公正骰子n次 至少有一次出現 雙 點的機 為P n 則 1 P 2 2 使P n 2 1 的最小自然 n 已知log 2 0 3010 log 3 0 4771 log 7 0 8451 解答 1 1296 71 2 25 詳解 1 P 2 1 36 35 2 1296 71 2 P n 1 36 35 n P n 2 1 即 36 35 n 2 1 n log 35 log 36 35log36log 2log 其中log 36 2 log 2 log 3 1 5562 log 35 log 10 log 7 log 2 1 5441 35log36log 2log 121 3010 24 9 使n 24 9 之最小自然 n 25 13 同時擲四 均勻骰子一次的試驗 每 骰子只有一點與四點為紅色點 而二 三 五 點 是紅色 點 1 沒有出現紅色點的機 為 2 恰有二 為紅色點 而另二 出現非紅色點的機 為 解答 1 81 16 2 27 8 詳解 1 每一 出現 1 點與 4 點的機 為 6 4 3 2 4 都 是紅色點的機 是 3 2 4 81 16 2 C 4 2 3 2 2 3 1 2 81 24 27 8 A B C D四 中 二 出現紅色點且其餘二 出現非紅色點均有相同的機 3 2 2 3 2 2 共有C 種情形 機 為C 4 2 4 2 3 2 2 3 1 2 27 8 14 一袋中有 3 紅球 5 白球 每一球被取中的機會均等 今甲 乙 人 由袋中一次取一球 由甲開 始 則 每次取出 放回 規定先取到紅球者獲勝 則甲勝的機 為 解答 28 17 詳解 取出 放回 甲先取到紅球的情形有 3 故甲勝的機 8 3 8 5 7 4 6 3 8 5 7 4 6 3 5 2 4 3 28 17 15 甲 乙 人 擲二 公正骰子 先擲得點 小於 7 的人為勝 甲先擲 則甲得勝的機 為 解答 19 12 詳解 擲得點 和小於 7 之機 為 36 54321 12 5 甲得勝的機 12 5 12 7 2 12 5 12 7 4 12 5 2 12 7 1 12 5 19 12 16 甲 乙 丙三人擲四枚均勻的銅板 規定先擲出二正面二反面者得勝 今三人依甲 乙 丙 甲 乙 丙 的順序投擲 則乙獲勝的機 為 解答 129 40 詳解 四枚均勻的銅板 每一次擲出二正面二反面的機 為C 4 2 2 1 2 2 1 2 8 3 甲 乙 丙獲勝的機 之比為 8 3 8 5 8 3 8 5 2 8 3 64 40 25 故乙勝的機 254064 40 129 40 17 一袋中共有20個球 其中4個白球 一次抽出3個球時 恰有1個白球之機 為p 而每次抽出1 個球 取出的球 放回 抽取3次時 恰有一次抽中白球的機 q 則p q 解答 19 8 19 8 詳解 1 p 20 3 16 2 4 1 C CC 19 8 2 q C 3 2 181920 141516 19 8 18 擲一均勻骰子三次 A表三次的點 均 相同的事件 B表三次的點 和是 6 點的事件 則P B 而A與B 是獨 事件的 由是 解答 108 5 P A P B P A B 詳解 P A 3 6 456 9 5 P B 3 6 163 108 5 P A B 3 6 6 36 1 只有 1 2 3 1 3 2 3 2 1 共 6 種可能 P A P B 9 5 108 5 36 1 P A B A與B 是獨 事件 19 同時擲 枚均勻硬幣 續擲 次 則至少一次出現一正面 一反面的機 為 解答 4 3 詳解 每一次出現同一面的機 均為 4 2 2 1 至少一次出現 同面 的機 為 1 2 1 2 4 3 20 木 足球隊在某一足球 盟中 要和其他 6 個球隊中的每一隊比賽一次 已知木 足球隊在 6 場比賽 中 任一場打勝 打敗或平手的機 的為 3 1 且各場比賽皆各自獨 互 影響 則木 足球隊在賽 完 6 場比賽後 打勝的次 大於打敗的次 的機 為 解答 243 98 詳解 勝122333444556 平543321210100 敗001012012010 C C 6 1 5 5 6 3 1 3 C C 6 2 4 4 6 3 1 3 C C C 1 1 6 2 4 3 6 3 1 3 C C 6 3 3 3 6 3 1 C C C 1 1 6 4 2 1 6 3 1 C 6 6 6 3 1 729 294 243 98 21 A B C為三獨 事件 P A B 4 1 P B C 6 1 P A C 3 2 則 1 P A C 2 P A B C 解答 1 2 1 2 6 5 詳解 1 A B C獨 P A B P A P B 4 1 P B C P B P C 6 1 式相除得 CP AP 3 2 P A 3 2 P C 又P A C P A P C P A C P A P C P A P C 3 2 2 3 P C P C 2 3 C P C 3 2 9 P C 2 15P C 4 0 3P C 1 3P C 4 0 P C 3 1 或P C 3 4 合 得P A 2 1 P B 2 1 P C 3 1 P A C CP CAP P A 2 1 2 P A B C P A P B P C P A B P B C P C A P A B C 2 1 2 1 3 1 4 1 6 1 6 1 2 1 2 1 3 1 12 10 6 5 22 甲 乙 丙三人同射一目標靶 三人的命中 依次為 2 1 5 1 5 3 且各人命中靶的事件為獨 事件 則 1 每人各射一發 則此靶恰中一彈的機 為 2 每人各射一發 則此靶中彈的機 為 3 甲 乙 人各發一發 則丙至少需射擊 發子彈 方能使此靶中彈的機 大於 0 99 已 知log2 0 3010 解答 1 25 11 2 25 21 3 5 詳解 1 靶恰中一發 表示三人中恰有一人擊中靶的事件 故其機 25 11 5 3 5 4 2 1 5 2 5 1 2 1 5 2 5 4 2 1 2 每人各射一發 靶中彈表示三人中至少有一人擊中靶的事件 故所求機 1 P 三人均 中 1 2 1 5 4 5 2 25 21 3 設丙發射n發 而甲 乙各發射一發 則靶中彈的機 為 1 2 1 5 4 5 2 n 0 99 10 4 5 2 n 0 01 5 2 n 40 1 nlog 5 2 log 40 n log 4 log 10 2log21 2log21 4 03 故丙至少需射 5 發 方能使靶中彈的機 0 99 23 投擲一均勻硬幣 次 則在最後一次恰好擲出第二次正面的機 為 解答 64 5 詳解 前五次中 恰好出現一次正面 且第 次為正面 所求機 5 1 C 2 1 2 1 4 2 1 64 5 24 三整 a b c為偶 的機 分別為 2 1 3 2 4 3 且彼此互 影響 則 1 abc為偶 的機 為 2 ab c為奇 的機 為 解答 1 24 23 2 3 1 詳解 1 abc為偶 表示a b c三者至少有一為偶 故所求機 1 a b c均為奇 之機 1 2 1 3 1 4 1 24 23 2 ab c為奇 的情形有 ab為偶 c為奇 其機 為 1 2 1 3 1 4 1 ab為奇 c為偶 其機 為 2 1 3 1 4 3 故所求機 1 32 1 4 1 2 1 3 1 4 3 24 35 3 1 25 有一 學題 甲能解出的機 為 2 1 乙能解出的機 為 3 1 甲 乙同解此題且互 影響 則 1 此 學題被解出的機 為 2 已知此題恰有一人解出 則此人為甲的機 為 解答 1 3 2 2 3 2 詳解 1 此題被解出的機 1 此題 被解出的機 1 甲 乙 人均解 出 的機 甲 乙解題彼此獨 故所求機 1 1 2 1 1 3 1 3 2 2 此題恰一人解出的機 2 1 1 3 1 1 2 1 3 1 6 2 6 1 2 1 P 甲解出 恰有一人解出 2 1 3 1 1 2 1 3 2 四 證明題 第 1 8 題 每題 0 分 1 設A B互斥事件 P A 0 P B 0 求證A與B必為相關事件 解答 詳解 證明 因A B為互斥事件 故A B P A B P 0 但P A P B 0 故P A B 0 P A P B 所以A與B為相關事件 2 設A B C三事件為獨 事件 求證 1 A B C 三事件為獨 事件 2 A B C 三事件為獨 事件 解答 詳解 證明 1 P A B P A P B P A C P A P C P B C P B P C 以上三個證明 考課本的證明 設P A x P B y P C z 則P A B C P A P A B P A C P A B C x xy xz xyz x 1 y z yz x 1 y 1 z P A P B P C 2 P A B P A P B 等證明請 課本的證明 P A B C 1 P A B C 1 P A P B P C P A B P B C P C A P A B C 1 x y z xy yz zx xyz 1 x 1 y 1 z P A P B P C 3 任投一硬幣 次 設A B分別表示第一 二次出現正面事件 C表示恰出現一次正面的事件 求證 A B C任 事件獨 但是三事件相關 解答 詳解 證明 1 A 正 反 正 正 B 反 正 正 正 C 正 反 反 正 P A P B P C 2 1 P A B P B C P C A 4 1 故P A B P A P B P B C P B P C P C A P C P A 所以A B C 事件獨 2 P A B C P 0 P A P B P C 8 1 因P A B C P A P B P C 故A B C三事件相關 4 任投一骰子一次 設A 1 2 3 B 2 3 4 C 1 2 4 5 求證 P A B C P A P B P C 但A B C三事件並非 獨 解答 詳解 證明 P A B C 6 1 P A P B P C 6 3 6 3 6 4 6 1 6 2 P A B P A P B 6 3 6 3 4 1 5 設A B C為三個非空事件 A與B為獨 事件 P A 2 1 P C 4 1 P A B 6 1 P B C 12 1 P CA 8 1 P AB C 4 3 試證 A B C三事件獨 解答 詳解 詳解 因A與B為獨 事件 故P AB P A P B 2 1 6 1 BP P B 3 1 6 1 BPAPBAP 4 1 3 1 12 1 CPBPCBP 4 1 2 1 8 1 CPAPCAP 故A B C三事件 獨 又P CBPBAPCPBPAPCBA P CBAPAC 8 1 12 1 6 1 4 1 3 1 2 1 4 3 CBAP P 24 1 CBA P 24 1 CBA P A P B P C A B C三事件獨 6 A B C為樣本空間S中之三個獨 事件 試證A B C 亦為獨 事件 解答 詳解 證明 1 A B C為獨 事件 P A B P A P B P B C P B P C P C A P C P A 2 由P A B P A B A B獨 A B獨 A B 獨 A B 獨 P A B P A P B 同 B C獨 B C 獨 P B C P B P C C A獨 C A 獨 P C A P C P A 3 P A B C P A B C 1 P A B C 1 P A P B P C P A B P B C P C A P A B C 1 P A P B P C P A P B P B P C P C P A P A P B P C 1 P A 1 P B 1 P C P A P B P C 由 知A B C 為獨 事件 7 已知三事件A B C 獨 P A P B P C P A B C 證證 P A B C P A P B P C 解答 詳解 證明 P A B C 1 P A B C 1 P A P B P C P A B P B C P A C P A B C 1 P A P B P C P A P B P B P C P A P C P A P B P C 1 P A 1 P B 1 P C P A P B P C P A B C P A P B P C 註 其中因A B C 獨 使P A B P A P B P B C P B P C P A C P A P C 及A B C 之餘事件為A B C 8 二事件A與B滿足P B A P B A 試證A與B獨 已知 0 P A 1 解答 詳解 證明 P B A AP BAP P B A AP BAP P B A P B A AP BAP AP BAP AP BAP APAP BAPBAP 合比 分比定 AP BAP 1 BP P A B P A P B A與B獨 五 計算題 第 1 46 題 每題 0 分 1 下圖是一個繼電器的構造 每個繼電器 能正常讓電 暢通的機 為p 且所有繼電器獨 運作 試求下 的電 電 從L到R暢通的機 1 2 解答 1 p2 2 2p2 p3 2 3p2 p3 2p4 p5 詳解 1 如下圖 從L到T電 可暢通的機 為 2p p2 2p3 p2 p4 2p 2p3 p4 由L到R電 可暢通的機 為p 2p 2p3 p4 p2 2 2p2 p3 2 如下圖 從L到T電 可暢通的機 為 2p p2 p p2 2p p2 p p2 2p2 p3 p2 2p4 p5 3p2 p3 2p4 p5 2 設甲 乙 丙三人譯出密碼的機 各為 5 1 4 1 3 1 今三人各譯一份密碼 且三人間互 影響 求 1 密碼被譯出之機 2 已知密碼被譯出 但 是甲譯出的機 解答 1 5 3 2 3 2 詳解 設A B C分別表甲 乙 丙譯出密碼的事件 則P A 5 1 P B 4 1 P C 3 1 且A B C為獨 事件 1 密碼被譯出之機 為 P A B C P A P B P C P A B P B C P C A P A B C 5 1 4 1 3 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 5 1 5 1 4 1 3 1 60 1453201512 60 36 5 3 2 已知密碼被譯出 但 是甲譯出之機 為 P A A B C CBAP CBAAP CBAP APCBAP 1 CBAP AP 1 5 3 5 1 1 3 1 3 2 3 設甲 乙 丙三人投籃命中 分別為 5 3 2 1 10 3 個人投籃命中與否為獨 事件 三人各投一球 1 求三人都命中的機 2 求恰有 人命中的機 解答 1 100 9 2 100 36 詳解 1 設甲 乙 丙個人命中的事件分別為A B C 則三人都命中的機 為 P A B C P A P B P C 5 3 2 1 10 3 100 9 2 恰有 人命中的機 為 P A B C P A B C P A B C 5 3 2 1 10 7 5 3 2 1 10 3 5 2 2 1 10 3 100 36 4 設甲 乙 丙三人考上某大學的機 分別為 5 3 4 3 3 1 1 求恰有 人考上某大學的機 2 求至少有一人考上某大學的機 解答 1 20 9 2 15 14 詳解 1 5 3 4 3 3 2 5 3 4 1 3 1 5 2 4 3 3 1 20 9 2 1 1 5 3 1 4 3 1 3 1 15 14 5 一生意商遊走在某鎮的幾個市集作生意 如圖所示 如果今晚他在A點處作生意 而且他決定每晚以 丟骰子的方式決定下一個夜晚作生意的位置 決定的方式是 當骰子出現一點時 下一晚的位置是當 晚的 方一格的位置 當骰子出現 2 或 3 點時 下一晚的位置就是當晚東方一格的位置 當骰子出現 4 5 6 等點 時 下一晚的位置是當晚的位置 試求 1 至多丟三次骰子能由A移到E作生意的機 2 丟四次骰子就能由A移到I作生意的機 解答 1 9 2 2 54 1 詳解 1 至多丟三次骰子 此生意商可由A移到E的情況 有下 幾種 丟 次 先到B再到E或先到D再到E 機 9 1 36 4 6 2 6 1 6 1 6 2 丟三次的結果依次如下 ABE ADE BBE DDE 機 72 2222 6 2 2 1 6 1 6 1 2 1 6 2 6 2 6 1 2 1 6 1 6 2 2 1 9 1 所以至多丟三次 可由A到E的機 9 2 9 1 9 1 2 由A到I最少要丟四次 共有6 2 2 4 種 徑 每個 徑的機 324 1 6 2 6 1 22 所以丟四次能由A到I的機 54 1 6 324 1 6 投擲二 公正骰子 A表示第一 骰子出現偶 點的事件 B表示第二 骰子出現奇 點的事件 C 表示二 骰子點 和為偶 的事件 1 A C是否為獨 事件 2 B C是否為獨 事件 解答 1 獨 2 獨 詳解 1 P A 2 1 36 18 2 1 36 63 CP AC 2 2 2 4 2 6 4 2 4 4 4 6 6 2 6 4 6 6 P A C 4 1 36 9 CPAP 所以A與C為獨 事件 2 P B 2 1 36 36 BC 1 1 3 1 5 1 1 3 3 3 5 3 1 5 3 5 5 5 P B C 4 1 36 9 CPBP 所以B與C為獨 事件 7 設A袋有3白球 4紅球 B袋有2白球 3紅球 今從A袋任取2球放入B袋 再從B袋任取2球 問此 球為一白球 一紅球的機 是多少 解答 147 80 詳解 A 白2 B 取 2 球 A 紅白11 B 取 2 球 A 紅2 B 取 2 球 7 2 3 2 C C 7 2 5 1 2 1 7 2 4 2 7 2 4 1 3 1 7 2 4 1 3 1 7 2 3 1 4 1 C CC C C C CC C CC C CC 147 80 147 20 49 16 49 4 8 任投一 公正骰子一次 出現k點 再投k個公正硬幣一次 求恰出現4個正面的機 解答 384 29 詳解 6 1 4 4 C 2 1 4 6 1 5 4 C 2 1 4 2 1 6 1 6 4 C 2 1 4 2 1 2 384 29 9 如下圖所示 線 甲自A往B 乙自B往A 二人分別從A B 地 同時出發等速相向而前進 設 二人在每一 口分叉點選擇各個前進方向的機會相等 試求二人在途中相遇的機 解答 27 5 詳解 甲 乙 人同時等速分別由A B出發 其相遇的位置為P1 P2 P7等7個點 因每一 口選擇 線的機 均等 甲由A走到P1 P2 P3 P5 P6 P7等6點的機 均為 3 1 3 1 9 1 乙走到上述6點的機 亦為 9 1 故甲 乙相遇於P1 P2 P3 P5 P6 P7的機 為 9 1 9 1 6 27 2 而甲 乙相遇於P4的機 為 3 1 3 1 9 1 故 人途中相遇的機 27 2 9 1 27 5 10 在下邊的電 圖中有A B C D E等5個開關 電 通過每一開關的機 均為p 0 p 1 各開關的操作各自獨 試求電 由P 至Q暢通的機 解答 3p2 p3 2p4 p5 詳解 電 由P 到Q的機 P A C B C D E P A C P B C P D E P A B C P B C D E P A C D E P A B C D E p2 p2 p2 p3 p4 p4 p5 3p2 p3 2p4 p5 11 某人對三個 同位置的目標物射擊 擊中的機 分別為0 6 0 5 0 45 他分別對各目標物射擊 一次 且互 影響 則三發都中的機 為何 至少中一發的機 為何 解答 0 135 0 89 詳解 1 三發都中的機 0 6 0 5 0 45 0 135 2 至少中一發的機 1 三發都 中的機 1 0 4 0 5 0 55 0 89 12 如下圖 自O處以下均有分支管相接 由此管之入口O放入一球 經過各管 設此球每到分支處 選擇 線的機 均等 求球由C處出 的機 解答 8 3 詳解 P A P E P B P D 又P A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 16 1 P E P B 16 1 2 3 16 1 16 4 P D P A P B P C P D P E 1 16 1 16 4 P C 16 4 16 1 1 P C 16 6 8 3 13 任投 個公正骰子 A表示第一個骰子出現偶 點的事件 B表示 個骰子點 和為偶 的事件 則 A與B是否為獨 事件 解答 A與B為獨 事件 14 同樣大小的5個球 在球上各寫上1 2 3 4 5後 將其放入一袋中 今任意從其中取出一球 記 下其 字後再放回袋中 如此繼續操作n次 an表記 到第n次時 字和為偶 的機 1 試求a1 a2 a3 2 將an以an 1表示之 3 求之值 n n a lim 解答 1 5 1 25 13 125 62 2 an 5 1 an 1 5 3 3 2 1 詳解 第n次和為偶 有二種情形 前n 1次和為奇 第n次亦得奇 前n 1次和為偶 第n次亦得偶 1 1a1 5 2 2a2 5 3 5 3 5 2 5 2 25 13 a3 25 13 5 2 1 25 13 5 3 125 62 2 an an 1 5 2 1 an 1 5 3 5 1 an 1 5 3 3 an 5 1 an 1 5 3 an 1 5 1 an 2 5 3 an an 1 5 1 an 1 an 2 bn an 1 an 則為等比 且b1 a2 a1 25 13 5 2 25 3 為首項 公比為 5 1 故an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 a1 b1 b2 bn 1 5 2 5 1 1 5 1 1 25 3 1 n 2 1 10 1 5 1 n 1 n n a lim n lim 2 1 10 1 5 1 n 1 2 1 15 設A B C三事件獨 P A 2 1 P A B C 24 1 P A B C 4 1 P B P C 求P B 與P C 之值 解答 P B 3 1 P C 4 1 詳解 設P A x P B y P C z 其中x 2 1 因A B C三事件獨 所以A B C 三事件也獨 P A B C P A P B P C 2 1 yz 24 1 yz 12 1 P A B C P A P B P C 2 1 1 y 1 z 4 1 y z 12 7 解 且y z 得y 3 1 z 4 1 P B 3 1 P C 4 1 16 設A B C三事件獨 P A 3 1 P A B C 20 1 P A B C 10 1 P B P C 求P B P C 之值 解答 P B 20 11 P C 3 1 17 王大海每次射擊命中 為0 4 今他射擊4次 1 求恰命中3次的機 2 求第4次是射中的第3次的機 3 欲使射中目標的機 達到0 99 問最少要射擊幾次 log 2 0 3010 log 3 0 4770 解答 1 0 1536 2 0 1152 3 10次 詳解 1 P 恰中3次 C 0 4 4 3 3 0 6 0 1536 2 第4次是射中的第3次 表示前3次恰命中2次 所以機 為C 0 4 3 2 2 0 6 0 4 0 1152 3 所謂 命中目標 表示 此靶至少命中一發 設射擊n次 所以P 至少中一發 1 1 0 4 n 0 99 0 6 n 0 01 5 3 n 100 1 3 5 n 100 nlog 3 5 log 100 2 n 3log5log 2 222 0 2 9 009 所以最少要射擊10次 18 任投一公正骰子n次 6點至少出現一次的機 大於0 9 則n至少要多少 log 2 0 3010 log 3 0 4770 解答 n至少要13 19 設甲 乙 丙三人 投擲三 公正骰子 先投出點 和為10者勝 由甲先投 乙次之 丙後投 如此三人循環投骰子 求3人得勝的機 各多少 解答 甲 169 64 乙 169 56 丙 169 49 解1 1 先求任何人投出點 和為10的機 點 和為10的情況有 1 3 6 2 2 6 1 4 5 2 3 5 2 4 4 3 3 4 每一種情況再排 有3 2 3 3 3 2 3 2 3 27 所以P 點 和為10 216 27 8 1 2 此種遊戲可能無限玩下去 故得無窮等比級 P 甲勝 8 1 8 7 3 8 1 8 7 6 8 1 3 8 7 1 8 1 169 64 3 P 乙勝 8 7 8 1 8 7 4 8 1 8 7 7 8 1 3 8 7 1 64 7 169 56 4 P 丙勝 1 P 甲勝 P 乙勝 169 49 解2 此種遊戲三人的順序是 甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙 最後三人得勝的機 之比等於 每一 三人獲勝之比 因此只要計算第一 第一回合 各人得勝之比即可 P 甲 P 乙 P 丙 8 1 8 7 8 1 8 7 2 8 1 64 56 49 故P 甲勝 495664 64 169 64 P 乙勝 495664 56 169 56 P 丙勝 495664 49 169 49 20 設袋中有3個白球 5個黑球 甲 乙 人 取一球 每次取後即放回 先取到白球者勝 甲先取 球 求各人得勝的機 解答 P 甲 13 8 P 乙 13 5 21 下圖是電 每個繼電器能正常讓電 暢通的機 為p 且所有繼電器獨 運作 試求電 從P到Q 暢通的機 解答 p 2p2 2p3 p4 p5 詳解 電 從P 到Q的電 有3條 P A B Q P C Q P D E Q P A B C D E P A B P C P D E P A B C P C D E P A B D E P A B C D E p2 p p2 p3 p3 p4 p5 p 2p2 2p3 p4 p5 22 下圖是電 每個繼電器能正常讓電 暢通的機 為p 且所有繼電器獨 運作 求電 從P到Q暢 通的機 解答 2p3 p5 23 設A B C為三獨 事件 且P A 3 1 P B A 4 3 P B C 5 1 求P A B C 之值 解答 9 2 詳解 A B C為三獨 事件 A 與B亦為獨 事件 P B P B A 4 3 而P B P C P B C 5 1 5 1 4 3 P C P C 15 4 故P A C P A P C 3 1 15 4 45 4 P A B C P A P B P C 3 1 4 3 15 4 15 1 P A B C P A C B C P A C P B C P A B C 45 4 5 1 15 1 45 394 45 10 9 2 24 某人射擊平均命中 為 5 3 今 續射擊一靶 n發 欲使命中目標的機 超過0 999 問n至少要多少 log2 0 3010 解答 8發 詳解 1 5 2 n 0 999 n 7 5 25 袋中有1到24號球各1個 共24個球 任取一球 Ak表示球號為k的倍 的事件 問A2 A3 A4三 事件是否獨 事件 解答 相關 詳解 P A2 2 1 24 12 P A3 3 1 24 8 P A4 4 1 24 6 P A2 A3 6 1 24 4 P A2 P A3 P A3 A4 12 1 24 2 43 APAP P A2 A4 8 1 4 1 24 6 42 APAP A2 A3 A4三事件非獨 事件 26 設A B為 事件 P A 3 1 P AB 12 7 1 當A B為互斥事件時 求P B 2 當A B為獨 事件時 求P B 解答 1 4 1 2 8 3 詳解 因A B為互斥事件 故A B P A B P A P B P A B 0 3 1 12 7 BP P B 4 1 12 3 2 因A B為獨 事件 故P AB P A P B P AB P A P B P AB 3 1 3 1 12 7 BPBP 故P B 8 3 2 3 12 3 27 有甲 乙二個錢袋 甲袋裝有銀幣5個與 幣1個 乙袋裝有銀幣3個 今由甲袋取出4個錢幣置入 乙袋 再由乙袋取出5個錢幣置入甲袋 求 幣仍在甲袋的機 解答 21 17 詳解 有2種情況 1 甲乙甲 2 甲乙甲 銀4 銀5 銀13 銀14 6 4 5 4 C C 7 5 7 5 C C 6 4 1 1 5 3 C CC 7 5 1 1 6 4 C CC 3 1 21 10 21 17 28 擲一均勻骰子2次 設A為第一次出現奇 的事件 B為第二次出現奇 的事件 C為點 和大於6 且小於9的事件 問A B C是否為獨 事件 解答 否 詳解 P A 2 1 P B 2 1 P C 36 11 P A B 36 9 4 1 P A P B P B C 36 5 P B P C A B C三事件非獨 事件 29 甲 乙 丙三射手同射一靶 每人一發 設甲 乙 丙的射擊命中 各為0 5 0 6 0 8 並設各人命 中靶面的的事件為獨