6.2数学王子高斯.docx

约翰卡尔弗里德里希高斯（JohannCarlFriedrichGauss，1777年4月30日1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。社会背景高斯出生在德意志民族，当时的德意志在他之前少高斯是一对贫穷普鲁士犹太人夫妇的唯一的儿子。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。父亲格尔恰尔德迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分。高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。高斯很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。在成长过程中，幼年的高斯主要得力于他的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使我们失去了一位天才。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。罗捷雅真的希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友W.波尔约问道：高斯将来会有出息吗？波尔约说她的儿子将是欧洲最伟大的数学家，为此她激动得热泪盈眶。初显天分高斯7岁那年开始上学。10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。一天，老师布置了一道题，1+2+3这样从1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案：你一定是算错了，回去再算算。”高斯非常坚定，说出答案就是5050。高斯是这样算的：1+100=101，2+99=10150+51=101。从1加到100有50组这样的数，所以50X101=5050。布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”接着，高斯与布特纳的助手-斯建立了真诚的友谊，直到-斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。得到资助1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。他的教师们和慈母把他推荐给伯伦瑞克公爵，希望公爵能资助这位聪明的孩子上学。布伦兹维克公爵卡尔威廉斐迪南召见了14岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。1792年高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1796年高斯19岁，发现了正十七边形的尺规作图法，解决了自欧几里德以来悬而未决的一个难题。同年，发表并证明了二次互反律。这是他的得意杰作，一生曾用八种方法证明，称之为“黄金律”。1799年，高斯完成了博士论文，获黑尔姆施泰特大学的博士学位，回到家乡布伦兹维克，虽然他的博士论文顺利通过了，被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵继续慷慨资助高斯的研究，使得他能在1803年谢绝圣彼得堡提供的教授职位，他一直是圣彼得堡科学院通讯院士。公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了算术研究，使该书得以在1801年问世；还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。他在博士论文和算术研究中，写下了情真意切的献词：献给大公，你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究。布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。历经变故1806年，卡尔威廉斐迪南公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸在耶拿战役阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手稿中，突然插入了一段细微的铅笔字：对我来说，死去也比这样的生活更好受些。慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年莱昂哈德欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着像高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.VonHumboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷根天文台台长的职位。1807年，高斯赴哥廷根就职，全家迁居于此。从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。投身研究1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、洛巴切夫斯基，波尔约。其中波尔约的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小波尔约还是沉溺于平行公理。最后发展出了非欧几何，并且在18321833年发表了研究结果，老波尔约把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。阿贝尔和雅可比可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他方面去。他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的戴德金和黎曼。少年求学卡尔费里德里希高斯(CarlFriedrichGauss)于1777年4月30日出生在德国不伦瑞克城，父亲是花匠、瓦工，还当过护堤工高斯7岁那年入小学，头两年学习成绩一般。但到第三年，校长兼数学教师布特纳有一次在课堂上出了一道算术题，要学生们计算出前一百个自然数的和.10岁的高斯用自己的办法很快求出了答案：5050布特纳非常赏识高斯的聪明，买来课外数学读物奖励高斯布特纳有位18岁的助手巴特尔斯也酷爱数学，非常器重高斯的才能，他们一起学习、讨论了很多数学问题后来巴特尔斯主持喀山大学的数学讲座，罗巴切夫斯基是他的学生1788年，经过老师们的帮助，高斯进入一所中学由于古典文学成绩突出，高斯直接升入文科中学的二年级，后升入哲学班学习1791年，巴特尔斯等人找了卡洛琳学院的教授齐默尔曼，向不伦瑞克公爵费迪南推荐了高斯公爵接见高斯时为他的朴实和才华所感动，答应为高斯提供全部资助因此，在1792年，高斯被送入不伦瑞克的卡洛琳学院学习语言学和数学不伦瑞克公爵实为伯乐，始终负担着高斯的学费最后又将高斯送入著名的哥廷根大学，这是1795年的事1798年，高斯在哥廷根大学毕业，并于1799年在赫尔姆斯特得到了他的博士学位得到博士学位后，高斯回到了不伦瑞克，在那里他写了一系列论文因此，他于1807年得到了哥根廷大学天文学教授和天文台台长的职位，一直到1855年去世数学史家斯特瑞克在数学简史中对他作了如下的评论：“他安静地未被扰乱地担任着天文台台长和他母校的教授他相对地孤独他对于纯粹和应用数学的掌握，天文学方面的特殊爱好以及经常使用拉丁文，并夹杂着十八世纪的遗风，然而在他的工作中却感受到了一个新时代的精神与他同时代人康德、歌德、贝多芬及黑格尔站在外国正在进行的一场激烈伟大的政治斗争相比较，他在自己的领域内以一个最有力的方式展现了他的时代新观念02算术探究高斯有一本专门记载数学发现的笔记本，后人称为“科学日记”高斯在科学日记中记载了他十七岁时已有重要发现如在1795年，他独立于欧拉发现了数论中的二次互反律一些早期的发现发表于1799年的赫尔姆斯特的学位论文中和1801年的算术探究中，该学位论文给出了代数基本定理的第一个证明这个定理远溯于荷兰的吉拉德1629年的著作代数学新发现，该书是以斯蒂文的算术为基础写成其中首次阐明了负数的几何意义，同时对方程的根作了认真的处理这使他认识到代数基本定理，但未能给出证明达朗贝尔在1746年曾试图给出一个证明高斯很爱好这个定理，后来又给出两个证明，在1846年又回到他的最初证明，弥补了该证明中的一些漏洞第三个证明应用了复积分，说明高斯很早就掌握了复数论同余式的研究可以追溯到古代，但算术探究中给出了同余理论的系统论述，并首次使用了同余符号该书收集了前人在数论中的许多优秀成果，人们常常把这本书的出版算做近代数论的开端全书共七章：一般同余；一次同余；幂剩余；二次同余；二次型；应用；分圆问题第三、四、五章为核心内容他在二次互反律中达到了高潮二次互反律是欧拉发现的，勒让德也未能给出正确的证明，但“二次互反律”这个名称属于勒让德高斯在算术探究中首次给出了：二次互反律的完整证明高斯非常喜爱这个定理，称之为“算术中的宝石”，后来他又发表了四个证明，据考,早在1796年高斯就已经证明了这个“黄金定理”在高斯死后，人们又在其文稿中找到了两个证明!03高斯的悲伤高斯对天文学的兴趣始于1801年，这一年的元旦，当皮齐在意大利西西里岛的帕勒莫发现了第一小行星谷神星时，提出了一个问题，即怎佯从少数的观测去计算一颗行星的轨道?高斯解决了这个问题该问题推出了一个八次方程随着1802年的智神星被发现，高斯开始感兴趣于行星的长期摄动，从而写出名著天体运动理沦.1805年，高斯与制革商的独生女约翰娜奥斯特霍犬结婚日后有了一子一女，叫约瑟夫和明纳但妻子在生第三个孩子时难产，不久即去世不到半年，儿子路易斯亦未存活下米不久，刚满2岁的明纳也夭亡只留下满4岁的儿子约瑟夫高斯于1810年8月再婚凄子叫米纳沃尔德克是哥廷卡艮夫学法学教授的小女儿第二次婚姻他又有二子一女但对高斯来说，生活似乎再也没有多少乐趣可言他在给老鲍耶的一封信中说：“的确，在我的一生中，我获得过许多世界性的荣誉但是请相信我，我的好友，悲惨事件就像一截红缎带一样编织起来，贯穿我的一生，”在这一时期高斯写了关于超几何级数的论文，使得可以从一种单一的准则来讨沦多种函数这也是关于级数收敛性最初的系统研究其它方面的论文还有关于一般椭体的引力，关于机械求积以及关于长期摄动的研究04热衷测量学1820年后，高斯开始热衷于测量学，在这里他理论研究结合了三角测量的实际其中之一是最小二乘法的证明，这曾经是勒让德和拉普拉斯的研究课题高斯在这一时期中最重要的贡献应是他的曲面论在曲面的一般理论中，他用与蒙日不同的方法处理其主题也是出于实用考虑，这回是在高等测量学的范围中，与微妙的理论分析紧密地联系着.在这部著作中出现了所谓的曲面内蕴几何学，也称内在几何学在1826年2月19日致奥尔伯斯的信中，他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳，觉得应该去搞有别于数学的其它领域这是高斯感到数学思想趋于枯竭的一个表白在1825年和1831年，他做了关于四次剩余的工作这是在算术探究中二次剩余论的继续，这次借助了复数论1831年的论文不仅给出了复数的代数运算，且给出了整复数概念虽然欧拉和拉格朗日已经把这种数引入了数论，但高斯重新指出了它的重要性在这个新的素数论中，3依旧是素数，但5=(1+2i)(1-2i)不再是一个素数了这个新的素数论澄清了算术中的许多模糊之处，从而使二次互反律变得比在实数中简单了在这篇论文中，高斯用平面中的一个点来表示复数，这就永远驱散了多年笼罩着它的神秘性05转向物理学作了四次剩余的工作之后，高斯开始转向物理学领域.虽然与韦伯在一起并没有发明电报的想法，但他们在1833年确实研制了一种设备，按照电流通过电线的方向，使一根针向左或向右转动这一时期他还做了许多关于地磁实验的工作在1840年，他写出一篇有重要价值的文章即与距离平方成反比而发生作用的引力与斥力的普遍原理，这是将位势论作为数学对象进行系统计论的开始位势论的创始人是格林，但格林1828年的论文当时几乎无人知道现代分析中扮演重要角色的“狄利克雷原理”实为格林首创这是一个关于空间积分的极小原理高斯在文章中认为一个极小化函数V。的存在是显然的这个后来引起争论的问题被希尔伯特解决了06非欧几何高斯生前发表的论著并未将他的全部数学思想给出一个完整的轮廓他的科学日记和部分书信的发表说明了他的头脑确实出现过一些非常有洞察力的思想比如，早在1800年，他发现了椭圆函数在1816年左右，产生了非欧几何的想法关于这些内容他永远没发表过任何东西!仅在一些给朋友的信中流露了他曾企图去证明欧几里得的第五公证设即平行公理的匈牙利的青年数学家鲍耶在1823年建立了非欧几何理论并写信告诉他父亲老鲍耶说：“我已从乌有中创造了另一个新奇的世界”经儿子的再三要求，老鲍耶才同意将这篇24页的论文作为自己刚刚完成的一本数学著作向好学青年介绍纯粹数学原理的尝试的附录发表并在1831年6月20日将该附录的样稿寄给高斯，高斯没有回信老鲍耶在1832年1月16日又给高斯写信，高斯在3月6日的复信中写道：“关于你儿子的工作，当我一开始便说我不能称赞他时，你一定会感到震惊，因为称赞他便等于称赞我自己文章所有内容，你儿子采取的思路、方法以及所达到的结果，和我在30至35年前已开始的一部分工作完全相同，但我本来就是不愿发表的，”历史是公正的，