在职工程硕士GCT 数学 第9章 基础三角学.ppt

第9章基础三角学 一 三角函数 二 两角和与差的三角函数 三 解斜三角形 正弦定理余弦定理 四 反三角函数 定义 性质 第9章基础三角学 一 三角函数 平面内一条射线绕其端点旋转所形成 1 角的概念 始边 终边 角 正角 负角 零角 逆 顺 2 角的度量 角度制 弧度制 3 的三角函数 设为顶点在坐标原点 始边在轴正半轴上的角 为终边上任一点 则有 象限角 终边 终边相同的角的同一 三角函数值相等 例是的辐角主值 已知 P91例1 及 求 解 点为终边上的一点 故 又 P21第6题 解 04年 例表示的辐角 今有 则 点为终边上的一点 由题知 点为终边上的一点 又 故 A B C D D 4 几个特殊角的三角函数值 5 三角函数值在各象限的符号 例判断的符号 解 B 设则是 补 解 A B C D 排除C D 又 选B 6 同角三角函数的关系 平方关系 商的关系 倒数关系 7 诱导公式 一 的三角函数值与的三角函数值之间 的关系 函数名相同 符号看象限 任意角的三角函数值锐角三角函数值 诱导公式 如 例求 解 二 的三角函数值与的三角函数值之间 的关系 函数名要变 符号看象限 如 例已知求和 P91例2 的值 解 又 8 三角函数的图像和性质 x P90 性质 定义域 值域 奇偶性 周期性 最值 单调性 在 在 在 B 函数的最小值是 补 A B C D 解 当时 有最小值 当时 有最大值 法一 法二 令 则 当时 函数有最小值 4 补 9 几个公式 周期为 周期为 常用于求最值 例如果函数的最大值是 P97第8题 的最大值是 最小值是 那么函数 C A B C D 解 由题知 不妨设 解之得 所求的最大值为5 二 两角和与差的三角函数 1 两角和与差公式 例已知且 P96第4题 则 D A B C D 解 由题知 故 例 P97第6题 B A B C D 解 先排除CD 式子 法一 选B 法二 例如图 在正方形网格中 P98第14题 是 是三个格点 设 A A B C D 08年 则的值 解 法一 设小正方形的边长为1 且设出和 故 则 法二 用余弦定理求 例三个边长为1的正方形拼成如图所示的图形 图中有两条线段相交的锐角为 则 D A B C D 2011年 如图设 解 则 设且 补 A B C D 则 A 或 解 又 如果 补 那么 C 2010年 解 A B C D 2 倍角公式 降幂公式很重要 例设是的一个内角 且满足 P96第2题 则一定是 C A 不等边的锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 正三角形 解 法一 只推理 不计算 先排除A D 若矛盾 故 选C 法二 两边平方得 是内角 故 为钝角 函数是 补 A A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的偶函数 C 最小正周期为的奇函数 D 最小正周期为的偶函数应用降幂公式 解 例函数的最大值为 P97第10题 A B C D 解 A 最大值为 三 解斜三角形 正弦定理 其中 三角形外接圆的半径 应用正弦定理 要灵活变形 边 角 余弦定理 已知的三条边 可 求出三个内角 在中 已知两边 及其夹角 可求出第三边 例在中 三个内角成等差数列 P97第9题 A B C D 解 C 则边上的中线的长为 由题知 即 3 2 由余弦定理知 在中 故 如果一个三角形的三边之比为则这 补 B A 一定有一个角是直角 B 一定有一个角是钝角 C 所有的角都是锐角 D 三个角的大小不能确定 个三角形 解 设三边为 由余弦定理 为钝角 例等腰中 底边 D 则顶角的取值范围是 A B C D 09年 解法一 画图 排除A B C选D 可取值接近 例等腰中 底边 D 则顶角的取值范围是 A B C D 09年 解法二 由余弦定理 为钝角 故排除A B C选D 详细解法如下 即 故 为钝角 且 又 在上单调减 已知在中 则角的 A 取值范围是 A B C D 解 画图即可 法一 1 2 法二 用余弦定理 为锐角 补 例如图 在正方形网格中 P98第14题 是 是三个格点 设 A A B C D 08年 则的值 法二 解 由余弦定理 设小正方形的边长为1 则 为钝角 又 四 反三角函数 定义 性质 1 反正弦函数 定义 的反函数 叫反正弦函数 记作 性质 的定义域 值域 单调性 增函数 奇偶性 奇函数 例求的值 解 在内 2 反余弦函数 定义 的反函数 叫反余弦函数 记作 性质 的定义域 值域 单调性 减函数 奇偶性 无奇偶性 但有 3 反正切函数 定义 的反函数 叫反正切函数 记作 性质 的定义域 值域 单调性 增函数 奇偶性 奇函数 即 4 反余切函数 定义 的反函数 叫反余切函数 记作 性质 的定义域 值域 单