3-1-1_行程问题基础题库教师版.pdf

3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 1 of 12 370 份精品奥数资料 需要购买请联系 QQ971063715 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 行程问题基础行程问题基础行程问题基础行程问题基础 教学目标教学目标 1 行程的基本概念 会解一些简单的行程题 2 掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法 特殊值法 设而不求法 设单位 1 法 3 利用对比分析法解终 中 点问题 知识精讲知识精讲 一 s v t探源 我们经常在解决行程问题的过程中用到s v t三个字母 并用它们来分别代表路程 速度和时间 那么 为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢 今天我们就一起了解一下 表示时间的 t 这个字母t代表英文单词time 翻译过来就是时间的意思 表示速度的字母v 对应的单词同学们可能 不太熟悉 这个单词是velocity 而不是我们常用来表示速度的speed velocity表示物理学上的速度 与 路程相对应的英文单词 一般来说应该是distance 但这个单词并不是以字母s开头的 关于为什么会用s 来代表路程 有一个比较让人接受的说法 就是在行程问题的公式中 代表速度的v和代表时间的t在字 母表中比较接近 所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s来表示速度 二 关于 s v t 三者的基本关系 速度 时间 路程可简记为 s vt 路程 速度 时间可简记为 t s v 路程 时间 速度可简记为 v s t 三 平均速度 平均速度的基本关系式为 平均速度 总路程 总时间 总时间 总路程 平均速度 总路程 平均速度 总时间 板块一 简单行程公式解题 例 例 1 1 1 1 韩雪的家距离学校韩雪的家距离学校 480 米 原计划米 原计划 7 点点 40 从家出发从家出发 8 点可到校 现在还是按原时间离开家点可到校 现在还是按原时间离开家 不不 过每分钟比原来多走过每分钟比原来多走 16 米 那么韩雪几点就可到校 米 那么韩雪几点就可到校 解析 解析 解析 解析 原来韩雪到校所用的时间为 20 分钟 速度为 4802024 米 分 现在每分钟比原来多走 16 米 即现在的速度为241640 米 分 那么现在上学所用的时间为 4804012 分钟 7 点 40 分从家出发 12 分钟后 即 7 点 52 分可到学校 巩固 巩固 甲甲 乙两地相距乙两地相距 100100100100 千米千米 下午下午 3 3 3 3 点点 一辆马车从甲地出发前往乙地一辆马车从甲地出发前往乙地 每小时走每小时走 10101010 千米千米 晚晚上上 9 9 9 9 点点 一辆汽车从甲地出发驶向乙地一辆汽车从甲地出发驶向乙地 为了使汽车不比马车晚到达乙地为了使汽车不比马车晚到达乙地 汽车每小时最少要行驶汽车每小时最少要行驶 多少千米 多少千米 解析 解析 解析 解析 马车从甲地到乙地需要 100 10 10 小时 在汽车出发时 马车已经走了 9 3 6 小时 依题意 3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 2 of 12 汽车必须在 10 6 4 小时内到达乙地 其每小时最少要行驶 100 4 25 千米 巩固 巩固 两辆汽车都从北京出发到某地两辆汽车都从北京出发到某地 货车每小时行货车每小时行 60606060 千米千米 15151515 小时可到达小时可到达 客车每小时行客车每小时行 50505050 千米千米 如果客车想与货车同时到达某地 它要比货车提前开出几小时 如果客车想与货车同时到达某地 它要比货车提前开出几小时 解析 解析 解析 解析 北京到某地的距离为 60 15900 千米 客车到达某地需要的时间为 9005018 小时 18153 小时 所以客车要比货车提前开出 3 小时 巩固 巩固 甲 乙两辆汽车分别从甲 乙两辆汽车分别从 A A A A B B B B 两地出发相向而行 甲车先行三小时后乙车从两地出发相向而行 甲车先行三小时后乙车从 B B B B 地出发 乙车地出发 乙车 出发出发 5 5 5 5 小时后两车还相距小时后两车还相距 15151515 千米千米 甲车每小时行甲车每小时行 48484848 千米千米 乙车每小时行乙车每小时行 50505050 千米千米 求求 A A A A B B B B 两地间相距多少千米 两地间相距多少千米 解析 解析 解析 解析 在整个过程中 甲车行驶了 3 5 8 小时 行驶的路程为 48 8 384 千米 乙车行驶了 5 小 时 行驶的路程为 50 5 250 千米 此时两车还相距 15 千米 所以 A B 两地间相距 384 250 15 649 千米 巩固 巩固 一天一天 梨和桃约好在天安门见面梨和桃约好在天安门见面 梨每小时走梨每小时走200 千米千米 桃每小时走桃每小时走150千米千米 他们同时出发他们同时出发2 小时后还相距小时后还相距500千米 则梨和桃之间的距离是多少千米 千米 则梨和桃之间的距离是多少千米 解析 解析 解析 解析 我们可以先求出2小时梨和桃走的路程 200150 2700 千米 又因为还差500千米 所以 梨和桃之间的距离 7005001200 千米 巩固 巩固 两列火车从相距两列火车从相距 480 千米的两城相向而行 甲列车每小时行千米的两城相向而行 甲列车每小时行 40千米 乙列车每小时行千米 乙列车每小时行42千米千米 5 小时后 甲 乙两车还相距多少千米 小时后 甲 乙两车还相距多少千米 解析 解析 解析 解析 两车的相距路程减去5 小时两车共行的路程 就得到了两车还相距的路程 480 4042 548041070 千米 巩固 巩固 小白从家骑车去学校 每小时小白从家骑车去学校 每小时15千米 用时千米 用时2小时 回来以每小时小时 回来以每小时10千米的速度行驶 需要多千米的速度行驶 需要多 少时间 少时间 解析 解析 解析 解析 从家到学校的路程 15230 千米 回来的时间 30103 小时 例 例 2 2 2 2 邮递员早晨邮递员早晨 7 7 7 7 时出发送一份邮件到对面山里 从邮局开始要走时出发送一份邮件到对面山里 从邮局开始要走 12121212 千米上坡路 千米上坡路 8 8 8 8 千米下坡路千米下坡路 他上坡时每小时走他上坡时每小时走 4 4 4 4 千米 下坡时每小时走千米 下坡时每小时走 5 5 5 5 千米 到达目的地停留千米 到达目的地停留 1 1 1 1 小时以后 又从原路返小时以后 又从原路返 回 邮递员什么时候可以回到邮局回 邮递员什么时候可以回到邮局 解析 解析 解析 解析 法一 先求出去的时间 再求出返回的时间 最后转化为时刻 邮递员到达对面山里需时间 12 4 8 5 4 6 小时 邮递员返回到邮局共用时间 8 4 12 5 1 4 6 2 2 4 1 4 6 l0 小时 邮递员回到邮局时的时刻是 7 10 12 5 时 邮递员是下午 5 时回到邮局的 法二 从整体上考虑 邮递员走了 12 8 千米的上坡路 走了 12 8 千米的下坡路 所以共 用时间为 12 8 4 12 8 5 1 10 小时 邮递员是下午 7 10 12 5 时 回到邮局的 例 例 3 3 3 3 一个人站在铁道旁一个人站在铁道旁 听见行近来的火车汽笛声后听见行近来的火车汽笛声后 再再过过 5 5 5 57 7 7 7秒钟火车经过他面前秒钟火车经过他面前 已知火车汽笛时离已知火车汽笛时离 他他 1360136013601360 米米 轨道是笔直的轨道是笔直的 声速是每秒钟声速是每秒钟 340340340340 米米 求火车的速度求火车的速度 得数保留整数得数保留整数 解析 解析 解析 解析 火车拉汽笛时离这个人 1360 米 因为声速每秒种 340 米 所以这个人听见汽笛声时 经过了 1360 340 4 秒 可见火车行 1360 米用了 57 4 61 秒 将距离除以时间可求出火车的速度 3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 3 of 12 1360 57 1360 340 1360 61 22 米 例 例 4 4 4 4 龟兔赛跑龟兔赛跑 同时出发同时出发 全程全程 6990699069906990 米米 龟每分钟爬龟每分钟爬 30303030 米米 兔每分钟跑兔每分钟跑 330330330330 米米 兔跑了兔跑了 10101010 分钟就分钟就 停下来睡了停下来睡了 215215215215 分钟 醒来后立即以原速往前跑 问龟和兔谁先到达终点 先到的比后到的快分钟 醒来后立即以原速往前跑 问龟和兔谁先到达终点 先到的比后到的快 多少米 多少米 解析 解析 解析 解析 先算出兔子跑了 330 103300 米 乌龟跑了 30215106750 米 此时乌龟只余下 69906750240 米 乌龟还需要 240308 分钟 到达终点 兔子在这段时间内跑了 8 3302640 米 所以兔子一共跑 330026405940 米 所以乌龟先到 快了 699059401050 米 例 例 5 5 5 5 甲 乙两地相距甲 乙两地相距 6720672067206720 米 某人从甲地步行去乙地 前一半时间平均每分钟行米 某人从甲地步行去乙地 前一半时间平均每分钟行 80808080 米 后一半时米 后一半时 间平均每分钟行间平均每分钟行 60606060 米米 问他走后一半路程用了多少分钟 问他走后一半路程用了多少分钟 解析 解析 解析 解析 方法一 由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的 因此可以计算出这人步行的时间 而如果了解清楚各段的路程 时间与速度 题目结果也就自然地被计算出来了 应指出 如果前 一半时间平均速度为每分钟 80 米 后一半时间平均速度为每分钟 60 米 则这个人从甲走到乙的 平均速度就为每分钟走 80 60 2 70 米 这是因为一分钟 80 米 一分钟 60 米 两分钟一共 140 米 平均每分钟 70 米 而每分钟走 80 米的时间与每分钟走 60 米的时间相同 所以平均速度始 终是每分钟 70 米 这样 就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是 6720 70 96 分钟 由于 前一半时间的速度大于后一半时间的速度 所以前一半的时间所走路程大于 6720 2 3360 米 则 前一个 3360 米用了 3360 80 42 分钟 后一半路程所需时间为 96 42 54 分钟 方法二 设走一半路程时间是 x 分钟 则 80 x 60 x 6720 解方程得 x 48 分钟 因为 80 48 3840 米 大于一半路程 3360 米 所以走前一半路程速度都是 80 米 时间是 3360 80 42 分钟 后一半路程时间是 48 48 42 54 分钟 评注 首先 从这道题我们可以看出 一半时间 与 一半路程 的区别 在时间相等的情况下 总 的平均速度可以是各段平均速度的平均数 但在各段路程相等的情况下 这样做就是不正确的 其次 后一半路程是混合了每分钟 80 米和每分钟 60 米两种状态 直接求所需时间并不容易 而 前一半路程所需时间的计算是简单的 因此 在几种方法都可行的情况下 选择一种好的简单的 方法 这种选择能力也是需要锻炼和培养的 巩固 巩固 甲甲 乙两地相距乙两地相距 6 千米千米 某人从甲地步行去乙地某人从甲地步行去乙地 前一半时间平均每分钟行前一半时间平均每分钟行 80 米米 后一半时间后一半时间 平均每分钟行平均每分钟行 70 米 问他走后一半路程用了多少分钟 米 问他走后一半路程用了多少分钟 解析 解析 解析 解析 方法一 全程的平均速度是每分钟 8070275 米 走完全程的时间是60007580 分 钟 走前一半路程速度一定是 80 米 时间是30008037 5 分钟 后一半路程时 间是8037 542 5 分钟 方法二 设走一半路程时间是x分钟 则80706 1000 xx 解得40 x 分钟 因为8040 3200 米 大于一半路程 3000 米 所以走前一半路程速度都是 80 米 时间是 30008037 5 分钟 后一半路程时间是404037 542 5 分钟 例 例 6 6 6 6 四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案 第一个方案是在比赛中分别以第一个方案是在比赛中分别以 2 2 2 2 米米 秒和秒和 3 3 3 3 米米 秒秒 的速度各划行赛程的一半的速度各划行赛程的一半 第二个方案是在比赛中分别以第二个方案是在比赛中分别以 2 2 2 2 米米 秒和秒和 3 3 3 3 米米 秒的速度各划行比赛时秒的速度各划行比赛时 间的一半间的一半 你认为这两个方案哪个好 你认为这两个方案哪个好 解析 解析 解析 解析 第二种方案 3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 4 of 12 模块二 平均速度问题 例 例 7 7 7 7 如图 从如图 从 A A A A 到到 B B B B 是是 12121212 千米下坡路 从千米下坡路 从 B B B B 到到 C C C C 是是 8 8 8 8 千米平路 从千米平路 从 C C C C 到到 D D D D 是是 4 4 4 4 千米上坡路千米上坡路 小张小张 步行 下坡的速度都是步行 下坡的速度都是 6 6 6 6 千米千米 小时 平路速度都是小时 平路速度都是 4 4 4 4 千米千米 小时 上坡速度都是小时 上坡速度都是 2 2 2 2 千米千米 小时小时 问问 小张从小张从 A A A A 到到 D D D D 的平均速度是多少的平均速度是多少 D D D D C C C C B B B B A A A A 解析 解析 解析 解析 从 A 到 B 的时间为 12 6 2 小时 从 B 到 C 的时间为 8 4 2 小时 从 C 到 D 的时间为 4 2 2 小时 从 A 到 D 的总时间为 2 2 2 6 小时 总路程为 12 8 4 24 千米 那么 从 A 到 D 的平均速度为 24 6 4 千米 时 巩固 巩固 如图如图 从从 A A A A 到到 B B B B 是是 6 6 6 6 千米下坡路千米下坡路 从从 B B B B 到到 C C C C 是是 4 4 4 4 千米平路千米平路 从从 C C C C 到到 D D D D 是是 4 4 4 4 千米上坡路千米上坡路 小张步小张步 行行 下坡的速度都是下坡的速度都是 6 6 6 6 千米千米 小时小时 平路速度都是平路速度都是 4 4 4 4 千米千米 小时小时 上坡速度都是上坡速度都是 2 2 2 2 千米千米 小时小时 问从问从 A A A A 到到 D D D D 的平均速度是多少 的平均速度是多少 D C B A 解析 解析 解析 解析 从 A 到 B 的时间为 6 6 1 小时 从 B 到 C 的时间为 4 4 1 小时 从 C 到 D 的时间为 4 2 2 小时 从 A 到 D 的总时间为 1 1 2 4 小时 总路程为 6 4 4 14 千米 那么 从 A 到 D 的平均速度为 14 4 3 5 千米 时 巩固 巩固 摩托车驾驶员以每小时摩托车驾驶员以每小时 30303030 千米的速度行驶了千米的速度行驶了 90909090 千米到达某地 返回时每小时行驶千米到达某地 返回时每小时行驶 45454545 千米千米 求求 摩托车驾驶员往返全程的平均速度摩托车驾驶员往返全程的平均速度 解析 解析 解析 解析 要求往返全程的平均速度是多少 必须知道摩托车 往 与 返 的总路程和 往 与 返 的总时间 摩 托车 往 行了 90 千米 返 也行了 90 千米 所以摩托车的总路程是 90 2 180 千米 摩托 车 往 的速度是每小时 30 千米 所用时间是 90 30 3 小时 摩托车 返 的速度是每小时 45 千米 所用时间是 90 45 2 小时 往返共用时间是 3 2 5 小时 由此可求出往返的平均 速度 列式为 90 2 90 30 90 45 180 5 36 千米 小时 巩固 巩固 甲乙两地相距甲乙两地相距 200200200200 千米千米 小强去时的速度是小强去时的速度是 10101010 千米千米 小时小时 回来的速度是回来的速度是 40404040 千米千米 小时小时 求小强求小强 往返的平均速度 往返的平均速度 解析 解析 解析 解析 去时的时间2001020 小时 回来的时间200405 小时 平均速度 总路程 总时间 20020020516 千米 小时 巩固 巩固 一辆汽车从甲地出发到一辆汽车从甲地出发到 300300300300 千米外的乙地去千米外的乙地去 前前 120120120120 千米的平均速度为千米的平均速度为 40404040 千米 时千米 时 要想使这要想使这 3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 5 of 12 辆汽车从甲地到乙地的平均速度为辆汽车从甲地到乙地的平均速度为 50505050 千米 时 剩下的路程应以什么速度行驶 千米 时 剩下的路程应以什么速度行驶 解析 解析 解析 解析 120 120 120 120 40404040 300 300 300 300 50505050 求速度首先找相应的路程和时间 平均速度说明了总路程与总时间的关系 剩下的路程为 300 120 180 千米 计划总时间为 300 50 6 小时 前 120 千米已用去 120 40 3 小时 所以剩下路程的速度为 300 120 6 3 60 千米 时 巩固 巩固 一个运动员进行爬山训练 从一个运动员进行爬山训练 从A地出发 上山路长地出发 上山路长 30 千米 每小时行千米 每小时行 3 千米 爬到山顶后千米 爬到山顶后 沿沿 原路下山 下山每小时行原路下山 下山每小时行 6 千米 求这位运动员上山 下山的平均速度 千米 求这位运动员上山 下山的平均速度 解析 解析 解析 解析 这道题目是行程问题中关于求上 下山平均速度的问题 解题时应区分平均速度和速度的平均数 这两个不同的概念 速度的平均数 上山速度 下山速度 2 而平均速度 上 下山的总路程 上 下山所用的时间和 所以上山时间 30310 小时 下山时间 3065 小时 上 下山平均速度 30210560154 千米 小时 例 例 8 8 8 8 一个人从甲地去乙地 骑自行车走完全程的一半时 自行车坏了 又无法修理 只好推车步行一个人从甲地去乙地 骑自行车走完全程的一半时 自行车坏了 又无法修理 只好推车步行 到乙地到乙地 骑车时每小时行骑车时每小时行 12121212 千米千米 步行时每小时步行时每小时 4 4 4 4 千米千米 这个人走完全程的平均速度是多少 这个人走完全程的平均速度是多少 解析 解析 解析 解析 参数法 设全程的的一半为 S 千米 前一半时间为12S 后一半时间为4S 根据公式平 均速度 总路程 总时间 可得 21246SSS 千米 题目中没有告诉我们总的路程 给计算带来不便 仔细想一想 前一段路程与后一段路程相等 总路程是不影响平均速度的 我们自己设一个路程好了 路程的一半既是 12 的倍数又是 4 的倍 数 所以可以假设路程的一半为 12 412 千米 来回两段路 每段路程 12 千米 那么总路 程是 12224 千米 总时间是 12121244 小时 所以平均速度是 2446 千 米 小时 注意 在这种特定的题目中 随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的 因为我们可以把 总路程设为 单位 1 这样做无非是设了 单位 24 也就是把所有路程扩大了 24 倍变成整数 没 有任何问题 不论总路程设成多少 结论都是一样的 大家可以验证一下 巩固 巩固 汽车往返于汽车往返于 A A A A B B B B 两地两地 去时速度为去时速度为 40404040 千米 时千米 时 要想来回的平均速度为要想来回的平均速度为 48484848 千米 时千米 时 回来时回来时 的速度应为多少 的速度应为多少 解析 解析 解析 解析 参数法 设 A B 两地相距 S 千米 列式为 S 2S 48 S 40 60 千米 最小公倍法 路程 2 倍既是 48 的倍数又是 40 的倍数 所以可以假设路程为 48 40 240 千米 根据公式变形可得240 2 240 48 240 2 40 60 千米 巩固 巩固 飞机以飞机以 720720720720 千米 时的速度从甲地到乙地 到达后立即以千米 时的速度从甲地到乙地 到达后立即以 480480480480 千米 时的速度返回甲地千米 时的速度返回甲地 求该车求该车 3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 6 of 12 的平均速度的平均速度 解析 解析 解析 解析 设两地距离为 720 4801440 千米 从甲地到乙地的时间为 14407202 小时 从 乙地到甲地的时间为 14404803 小时 所以该飞机的平均速度为 1440223576 千米 巩固 巩固 汽车以汽车以 72727272 千米千米 时的速度从甲地到乙地时的速度从甲地到乙地 到达后立即以到达后立即以 48484848 千米千米 时的速度返回甲地时的速度返回甲地 求该车的平求该车的平 均速度 均速度 解析 解析 解析 解析 想求汽车的平均速度 汽车行驶的全程 总时间 在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程 进而就能求出总时间 那么问题就迎刃而解了 在此我们不妨采用 特殊值 法 这是奥数里面非 常重要的一种思想 在很多题目中都有应用 把甲 乙两地的距离视为 1 千米 总时间为 1 72 1 48 平均速度 2 1 72 1 48 57 6 千米 时 我们发现 中的取值在计算过程中不 太方便 我们可不可以找到一个比较好计算的数呢 在此我们可以把甲 乙两地的距离视为 72 48 144 千米 这样计算时间时就好计算一些 平均速度 144 2 144 72 144 48 57 6 千米 时 巩固 巩固 从前有座山 山上有座庙 庙里有个老和尚会讲故事 王先生开车去拜访这位老和尚 汽车上从前有座山 山上有座庙 庙里有个老和尚会讲故事 王先生开车去拜访这位老和尚 汽车上 山以山以 30303030 千米 时的速度 到达山顶后以千米 时的速度 到达山顶后以 60606060 千米 时的速度下山千米 时的速度下山 求该车的平均速度求该车的平均速度 解析 解析 解析 解析 设两地距离为 30 6060 千米 上山时间为 60302 小时 下山时间为 60601 小时 所以该飞机的平均速度为 6022140 千米 巩固 巩固 某人上山速度为每小某人上山速度为每小时时 8 8 8 8 千米千米 下山的速度为每小下山的速度为每小时时 1 1 1 12 2 2 2 千米千米 问此人上下山的平均速度是多少 问此人上下山的平均速度是多少 解析 解析 解析 解析 方法一 用设数代入法 设从山脚至山顶路程为 48 千米 下山用时为 小时 共用时6410 小 时 路程为48296 千米 平均速度为96109 6 千米 小时 方法二 设路程为单位 1 上山用时为 1 8 下山用时为 1 12 共用时 115 81224 距离为122 平 均速度为 5 29 6 24 千米 小时 巩固 巩固 胡老师骑自行车过一座桥 上桥速度为每小时胡老师骑自行车过一座桥 上桥速度为每小时 12121212 千米 下桥速度为每小时千米 下桥速度为每小时 24242424 千米 而且上桥千米 而且上桥 与下桥所经过的路程相等 中间也没有停顿 问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少 与下桥所经过的路程相等 中间也没有停顿 问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少 解析 解析 解析 解析 16千米 小时 例 例 9 9 9 9 小明去爬山小明去爬山 上山时每时行上山时每时行 2 52 52 52 5 千米千米 下山时每时行下山时每时行 4 4 4 4 千米千米 往返共用往返共用 3 93 93 93 9 时时 小明往返一趟共小明往返一趟共 行了多少千米 行了多少千米 解析 解析 解析 解析 方法一 路程 总时间 平均速度 先求出平均速度 设上下山路程为 10 千米 10 2 10 2 5 10 4 20 6 5 40 13 千米 时 所以总路程 40 13 3 9 12 千米 方法二 设上山用x小时 下山用 3 9x 小时 所以列方程为 2 54 3 9xx 解得2 4x 3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 7 of 12 所以小明往返共走 2 42 5212 千米 巩固 巩固 小明上午九点上山 每小时小明上午九点上山 每小时 3 3 3 3 千米 在山顶休息千米 在山顶休息 1 1 1 1 小时候开始下山 每小时小时候开始下山 每小时 4 4 4 4 千米 下午一点千米 下午一点 半到达山下 问他共走了多少千米半到达山下 问他共走了多少千米 解析 解析 解析 解析 上午九点上山下午 1 点半下山 用时 4 5 小时 除去休息的一个小时 上山和下山共用时 3 5 小 时 上山速度 3 千米 小时 下山速度 4 千米 小时 若假设上下山距离为 12 千米的话 则上山用时 4 小时 下山用时 3 小时 总用时应为 7 小时 而实际用时 3 5 小时 则实际路程应为1226 千 米 巩固 巩固 小明从甲地到乙地 去时每时走小明从甲地到乙地 去时每时走 2 千米 回来时每时走千米 回来时每时走 3 千米 来回共用了千米 来回共用了 5 小时 小明去时小时 小明去时 用了多长时间 用了多长时间 解析 解析 解析 解析 方法一 路程 总时间 平均速度 先求出平均速度 设上下山路程为 6 千米 6 2 6 2 6 3 12 5 2 4 千米 时 所以总路程 2 4 5 12 千米 所以去时用时间为 12223 小时 方法二 设上山用x小时 下山用 5x 小时 所以列方程为 23 5xx 解得3x 所以 去时用时间为 3 小时 方法三 因为路程 速度 时间 来回的路程是一样的 速度不同导致所用的时间不同 同时 速 度与时间的乘积是不变的 因为去时的速度与回来时的速度之比为 2 3 所以去时的时间与回来 时的时间比为 3 2 把去时用的时间看作 3 份 那么回来时所用时间为 2 份 它们的和为 5 由 和倍关系式 去时所用的时间为5 23 33 小时 巩固 巩固 小明从甲地到乙地小明从甲地到乙地 去时每时走去时每时走 2 千米千米 回来时每时走回来时每时走 3 千米千米 来回共用了来回共用了 15 小时小时 小明去时小明去时 用了多长时间 用了多长时间 解析 解析 解析 解析 假设总路程为 6 千米 那么去时用623 小时 回来用632 小时 来回共用 5 小时 而题目中是 15 小时 是假设时间 5 小时的 3 倍 那么总路程就是6318 千米 所以 去时 用了1829 小时 例 例 10101010 小王每天用每小时小王每天用每小时 15151515 千米的速度骑车去学校千米的速度骑车去学校 这一天由于逆风这一天由于逆风 开始三分之一路程的速度是每开始三分之一路程的速度是每 小时小时 10101010 千米 那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同千米 那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同 分析 分析 分析 分析 由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同 在距离不变的情况下 平时的 15 千米 小时相当 于平均速度 若能再把总路程 任我意 出来 在已知总距离和平均速度的情况下 总时间是可求的 例如假设总路程是 30 千米 从而总时间为30152 小时 开始的三分之一路程则为 10 千米 所 用时间为10101 小时 可见剩下的 20 千米应用时 1 小时 从而其速度应为 20 千米 小时 例 例 11111111 有一座桥 过桥需要先上坡 再走一段平路 最后下坡 并且上坡 平路及下坡的路程相等 有一座桥 过桥需要先上坡 再走一段平路 最后下坡 并且上坡 平路及下坡的路程相等 某人骑自行车过桥时某人骑自行车过桥时 上坡上坡 走平路和下坡的速度分别为走平路和下坡的速度分别为 4 4 4 4 米米 秒秒 6 6 6 6 米米 秒和秒和 8 8 8 8 米米 秒秒 求他过桥求他过桥 的平均速度 的平均速度 解析 解析 解析 解析 假设上坡 走平路及下坡的路程均为 24 米 那么总时间为 24 4 24 6 24 8 13 秒 过桥的 平均速度为 7 243 13513 米 秒 3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 8 of 12 巩固 巩固 有一座桥 过桥需要先上坡 再走一段平路 最后下坡 并且上坡 平路及下坡的路程相等有一座桥 过桥需要先上坡 再走一段平路 最后下坡 并且上坡 平路及下坡的路程相等 某某 人骑电动车过桥时 上坡 走平路和下坡的速度分别为人骑电动车过桥时 上坡 走平路和下坡的速度分别为 11111111 米 秒 米 秒 22222222 米 秒和米 秒和 33333333 米 秒 求米 秒 求 他过桥的平均速度他过桥的平均速度 解析 解析 解析 解析 假设上坡 平路及下坡的路程均为 66 米 那么总时间 66 11 66 22 66 33 6 3 2 11 秒 过 桥的平均速度 66 3 11 18 米 秒 巩固 巩固 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由 A A A A 点开始爬行一周点开始爬行一周 在三条边上它每分钟分别爬行在三条边上它每分钟分别爬行 50cm50cm50cm50cm 20cm20cm20cm20cm 40cm40cm40cm40cm 如右图 如右图 它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米 它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米 解析 解析 解析 解析 假设每条边长为 200 厘米 则总时间 200 50 200 20 200 40 4 10 5 19 分钟 爬行一周的 平均速度 200 3 19 11 3119 厘米 分钟 例 例 12121212 2007 年年 4 月月 希望杯希望杯 四年级四年级 2 试 赵伯伯为了锻炼身体 每天步行试 赵伯伯为了锻炼身体 每天步行 3 小时 他先走平路小时 他先走平路 然然 后上山 最后又沿原路返回 假设赵伯伯在平路上每小时行后上山 最后又沿原路返回 假设赵伯伯在平路上每小时行 4 千米 上山每小时行千米 上山每小时行 3 千米 下千米 下 山每小时行山每小时行 6 千米 在每天锻炼中 他共行走多少千米 千米 在每天锻炼中 他共行走多少千米 解析 解析 解析 解析 上山 3 千米 小时 平路 4 千米 小时 下山 6 千米 小时 假设平路与上下山距离相等 均为 12 千米 则首先赵伯伯每天共行走12448 千米 平路用时12246 小时 上山用时1234 小时 下山用时1262 小时 共用时64212 小时 是实际 3 小时的 4 倍 则假设的 48 千米也应为实际路程的 4 倍 可见实际行走距离为48412 千米 方法二 设赵伯伯每天走平路用a小时 上山用b小时 下山用c小时 因为上山和下山的路程 相同 所以36bc 即2bc 由题意知3abc 所以233accac 因此 赵伯伯 每天锻炼共行43643264124 3 4312abcaccacac 千米 平均速度是 1234 千米 时 例 例 13131313 张师傅开汽车从张师傅开汽车从 A A A A 到到 B B B B 为平地 见下图为平地 见下图 车速是 车速是 36363636 千米 时 从千米 时 从 B B B B 到到 C C C C 为上山路 车速为上山路 车速是是 28282828 千米 时 从千米 时 从 C C C C 到到 D D D D 为下山路 车速是为下山路 车速是 42424242 千米 时千米 时 已知下山路是上山路的已知下山路是上山路的 2 2 2 2 倍 从倍 从 A A A A 到到 D D D D 全程为全程为 72727272 千米 张师傅开车从千米 张师傅开车从 A A A A 到到 D D D D 共需要多少时间 共需要多少时间 解析 解析 解析 解析 方法一 设 BC 距离为 28 4284 千米 所以 CD 距离为842168 千米 那么 B C D 的平均速度为 8416884281684236 千米 小时 和平路的速度恰好相等 说明 A B C D 的平均速度为 36 千米 小时 所以从 A D 共需要的时间为 72362 小时 方 法 二 设 上 山 路 为x千 米 下 山 路 为 2x千 米 则 上 下 山 的 平 均 速 度 是 22824236xxxx 千米 时 正好是平地的速度 所以行AD总路程的平均速度就 3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 9 of 12 是 36 千米 时 与平地路程的长短无关 因此共需要72362 小时 巩固 巩固 老王开汽车从老王开汽车从 A A A A 到到 B B B B 为平地为平地 见右图见右图 车速是车速是 30303030 千米 时千米 时 从从 B B B B 到到 C C C C 为上山路为上山路 车速是车速是 22 22 22 22 5 5 5 5 千米 时 从千米 时 从 C C C C 到到 D D D D 为下山路 车速是为下山路 车速是 36363636 千米 时千米 时 已知下山路是上山路的已知下山路是上山路的 2 2 2 2 倍 从倍 从 A A A A 到到 D D D D 全程为全程为 72727272 千米 老王开车从千米 老王开车从 A A A A 到到 D D D D 共需要多少时间 共需要多少时间 解析 解析 解析 解析 设上山路为 x 千米 下山路为 2x 千米 则上下山的平均速度是 x 2x x 22 5 2x 36 30 千米 时 正好是平地的速度 所以行 AD 总路程的平均速度就是 30 千米 时 与平地路程的 长短无关 因此共需要 72 30 2 4 时 例 例 14141414 小明从家到学校有两条一样长的路 一条是平路 另一条是一半上坡路 一半下坡路 小明上小明从家到学校有两条一样长的路 一条是平路 另一条是一半上坡路 一半下坡路 小明上 学走两条路所用的时间一样多 已知下坡的速度是平路的学走两条路所用的时间一样多 已知下坡的速度是平路的 2 倍 那么平路的速度是上坡的多少倍 那么平路的速度是上坡的多少 倍 倍 解析 解析 解析 解析 方法一 设路程为 80 则上坡和下坡均是 40 设走平路的速度是 2 则下坡速度是 4 走下坡 用时间40410 走平路一共用时间80240 所以走上坡时间是 401030 走 与上坡同样距离的平路时用时间 40220 因为速度与时间成反比 所以平路速度 是上坡速度的30201 5 倍 方法二 因为距离和时间都相同 所以平均速度也相同 又因为上坡和下坡路各一半也相同 设 距离是 1 份 时间是 1 份 则下坡时间 11 2 24 上坡时间 13 1 44 上坡速度 132 243 则平路速度是上坡速度的 23 1 32 倍 方法三 因为距离和时间都相同 所以12 路程 上坡速度12 路程2 路程1 得上坡 速度 2 3 则平路速度是上坡速度的 23 1 32 倍 模块三 假设法解行程题 例 例 15151515 王师傅驾车从甲地开往乙地交货王师傅驾车从甲地开往乙地交货 如果他往返都以每小时如果他往返都以每小时 60606060 千米的速度行驶千米的速度行驶 正好可以按时返回正好可以按时返回 甲地甲地 可是可是 当到达乙地时当到达乙地时 他发现从甲地到乙地的速度只有每小时他发现从甲地到乙地的速度只有每小时 50505050 千米千米 如果他想按时返回甲如果他想按时返回甲 地地 他应以多大的速度往回开他应以多大的速度往回开 解析 解析 解析 解析 假设甲地到乙地的路程为 300 那么按时的往返一次需时间 300 60 2 10 小时 现在从甲到乙花 费了时间 300 50 6 小时 所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是 10 6 4 小时 即如果 他想按时返回甲地 他应以 300 4 75 千米 时 的速度往回开 例 例 16161616 解放军某部开往边境 原计划需要行军解放军某部开往边境 原计划需要行军 18181818 天 实际平均每天比原计划多行天 实际平均每天比原计划多行 12121212 千米 结果提千米 结果提前前 3 3 3 3 天到达 这次共行军多少千米 天到达 这次共行军多少千米 解析 解析 解析 解析 提前 3 天到达 可知实际需要18315 天的时间 而 实际平均每天比原计划多行 12 千米 则 15 天内总共比原来 15 天多行的路程为 12 15180 千米 这 180 千米正好填补了原来 3 天的 行程 因此原来每天行程为180360 千米 问题就能很容易求解 原来的速度为 18312360 千米 天 因此总行程为 60 181080 千米 另外本题通过画矩形图将会更 3 1 1 行程问题基础 题库教师版page 10 of 12 容易解决 12 18 15 其中矩形的长表示时间 宽表示速度 由路程 速度 时间可知 矩形的面积表示的是路程 通 过题意可以知道甲的面积等于乙的面积 乙的面积为12 15180 所以 处应为180360 而 表示的是原计划的速度 则这次行军的路程为 60 181080 千米 巩固 巩固 某人要到某人要到 60606060 千米外的农场去 开始他以千米外的农场去 开始他以 6 6 6 6 千米千米 时的速度步行 后来有辆速度为时的速度步行 后来有辆速度为 18181818 千米千米 时的时的 拖拉机把他送到了农场 总共用了拖拉机把他送到了农场 总共用了 6 6 6 6 小时 问 他步行了多远 小时 问 他步行了多远 解析 解析 解析 解析 求步行路程 而且步行速度已知 需要求步行时间 如果 6 小时全部乘拖拉机 可以行进 186 108 千米 1086048 千米 其中 这 48 千米的距离是在某段时间内这个人在行走 而没有乘拖拉机因此少走的距离 这样我们就可以求出行走的时间为 481864 小时 即这个人走了 4 个小时 距离为 6424 千米 即这个人步行了 24 千米 另外本题通过画矩形图将会更容易解决 其中矩形的长表示时间 宽表示速度 由路程 速度 时间可知 矩形的面积表示的是路程 通过 题意可以知道阴影部分的面积等于 60 大矩形的面积为186108 所以小矩形的面积为 1086048 又因为小矩形的宽为18612 所以小矩形的长为 48124 所以 处矩 形的面积为4624 千米 表示的是步行的路程 即步行的路程为 24 千米 巩固 巩固 第六届 第六届 小数报小数报 数学竞赛初赛题第数学竞赛初赛题第 1 1 1 1 题题 小明每天早晨小明每天早晨 6 6 6 6 50505050 从家出发从家出发 7 7 7 7 20202020 到校到校 老师老师 要求他明天提早要求他明天提早 6 6 6 6 分钟到校 如果小明明天早晨还是分钟到校 如果小明明天早晨还是 6 6 6 6 50505050 从家出发 那么 每分钟必须比往从家出发 那么 每分钟必须比往 常多走常多走 25252525 米才能按老师的要求准时到校 问 小明家到学校多远 米才能按老师的要求准时到校 问 小明家到学校多远 解析 解析 解析 解析 原来花时间是 30 分钟 后来提前 6 分钟 就是路上要花时间为 24 分钟 这时每分钟必须多走 25 米 所以总共多走了 24 25 600 米 而这和 30 分钟时间里 后 6 分钟走的路程是一样的 所以 原来每分钟走 600 6 100 米 总路程就是 100 30 3000 米 模块四 综合题目 例 例 17171717 张明和李军分别从甲 乙两地同时相向