高一函数提高教案(含解题方法和答案).doc

函数题解题技巧所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。一、 换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)解：令u=1+sinx，则sinx=u-1 (0u2),则f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x+1 (0x2)二、待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例2已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解：由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)代入f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+cf(x-1)= a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+( b -2a)x+a-b+cf(x+1)+ f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , f(x)=x2-2x-1.三、赋值法 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,则f(2001)=_.解：令x=y=0，得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2,f(1)0 f(1)= . 令x=n,y=1，得f(n+1)=f(n)+2f(1)2=f(n)+ 即f(n+1)-f(n)= ，故f(n)= ，f(2001)= 例4已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的实数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若f(2)=2,un=f(2n) (nN*),求证：un+1un (nN*).解：(1)令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.(2)f(x)是奇函数。因为：令a=b=-1,得f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明：un=f(2n)0 (nN*)(略)四、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.例5设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0时f(x)0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值。解：令x=y=0，得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.设x10,由已知得f(x2-x1)0,故f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0,nN；f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*；f(2)=4同时成立？若存在，求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由。解：假设存在这样的函数f(x)，满足条件，得f(2)=f(1+1)= f(1) f(1)=4，解得f(1)=2又f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想：f(x)=2x (xN*) (数学归纳证明 略）例7已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5，f(x+1)f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_.解：由f(x+1)f(x)+1得f(x+5)f(x+4)+1f(x+3)+2f(x+2)+3f(x+1)+4又f(x+5)f(x)+5 f(x)+5f(x+1)+4 f(x)+1f(x+1) 又f(x+1)f(x)+1 f(x+1)=f(x)+1又f(1)=1 f(x)=x g(x)=f(x)+1-x=1，故g(2002)=1。六模型法 模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。 应掌握下面常见的特殊模型：特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 指数函数 f(x)=ax (a0且a1)f(x+y)=f(x)f(y)对数函数 f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx余切函数 f(x)=cotx例8已知实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x),方程f(x)=0有5个实根,则这5个根之和=_分析：因为函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x),方程f(x)=0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数y=k(x-2)2为模型引出解题思路，即函数的对称轴是x=2，并且函数在f(2)=0，其余的四个实数根关于x=2对称解：因为实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x),方程f(x)=0有5个实根，所以函数关于直线x=2对称，所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线x=2两侧，关于直线x=2对称，则这5个根之和为10。例9设定义在R上的函数f(x)，满足当x0时，f(x)1，且对任意x，yR，有f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=2 （1）解不等式f(3x-x2)4；（2）解方程f(x)2+f(x+3)=f(2)+1分析：可联想指数函数f(x)=ax。解：(1)先证f(x)0，且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)，x0时f(x)1，所以f(0)=1对于任意x0，f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1，f(x)=-x0，f(-x)1 0f(x)0任取x1,x2R且x10，f(x2-x1)1,所以f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10所以xR时，f(x)为增函数。不等式f(3x-x2)4可化为3x-x22 解得：x|1x0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b（ab），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a；6、定义在xR上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7. 若在xR恒成立，其中a0，则y=f(x)是周期为4a的周期函数掌握具体推导方法：函数图像的对称性：1. 若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；2. 曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0；3. 若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a对称。1.函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数2. 函数的图像大致为( ).1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 24.函数y=的图像（ ）（A） 关于原点对称 （B）关于主线对称（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称5. 设则（ ）（A） （B） （C） （D）6.设b,函数的图像可能是（ ） 7. 函数的定义域为( )ABCD8. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ）A B C D9. 已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是( )（A）（，） B.，） C.（，） D.，）10. 已知函数若，则 . 11. 在中，角的对边分别为，。（）求的值；（）求的面积.12. 在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 13.已知, f(x)=。(1)求函数在0,p上的单调增区间；(2)当时，f(x)的最大值为4，求实数m的值。14. ）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高15. 如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 答案解析1.-5 DACAB6-10 CCCA 11. 解（）A、B、C为ABC的内角，且，.（）由（）知， 又，在ABC中，由正弦定理，.ABC的面积12. 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。所以又，即由正弦定理得，故由，解得。13. 解：（1）依题意得：令得 上的单调增区间为（2）依题意得：14. 在中，由正弦定理得所以在中，15. 解法一（）依题意，有