7.1正切函数定义.doc

第一章三角函数- 1.7正切函数 - 学 案一、学习目标 通过对正切函数的图像与性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知 识的能力.学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.二、自主学习 预习课本P3638，思考并完成以下问题1正切函数的定义是什么？ 2正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？ 3正切值在各象限的符号是什么？ 4正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性分别是什么？ 1正切函数的定义(1)任意角的正切函数如果角满足R，k(kZ)，那么，角的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan ，其中R，k，kZ(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan .(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负(4)正切线在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线与角的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角的正切线点睛(1)若k(kZ)，则角的终边落在y轴上，此时P(0，b)，比值无意义，因此正切函数的定义域为.(2)正切函数tan 是一个比值，这个比值的大小与在角终边上所取的点的位置无关2正切函数的图像及特征(1)ytan x，xR且xk，kZ的图像(正切曲线)(2)正切曲线的特征正切曲线是被相互平行的直线xk(kZ)所隔开的无穷多支曲线组成的这些直线叫作正切曲线各支的渐近线点睛正切曲线是被相互平行的直线xk(kZ)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正弦、余弦函数的有界性3正切函数的性质函数ytan x定义域值域R周期性周期为k(kZ，k0)，最小正周期为奇偶性奇函数单调性在(kZ)上是增加的1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)ytan x的定义域为()(2)正切函数在其定义域内为增函数()(3)若角的终边在yx上则tan 1()答案：(1)(2)(3)2直线ya与ytan x的图像的相邻两个交点的距离是()A.BC2 D与a的值的大小有关解析：选B由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为.3函数ytan x，x的值域是_答案：0,14函数f(x)12cos x|tan x|是_函数(填“奇”或“偶”)解析：f(x)的定义域为，且f(x)12cos(x)|tan(x)|12cos x|tan x|f(x)，f(x)是偶函数答案：偶三、合作探究: 探究1: 利用定义求正切值典例1如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，AOP，AOQ，0，)(1)若已知角的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tan ；(2)若已知Q，试求tan .解(1)角的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P，故的终边与单位圆交于P，则tan .(2)AOQ且Q，tan .利用定义求任意角的正切函数值的方法由正切函数的定义知：若点P为角的终边(终边不与y轴重合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点P的纵坐标与横坐标的比值；若点P为角的终边(终边不与y轴重合)上的任意一点(除坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点P的纵坐标与横坐标的比值探究2：正切函数的定义域、值域典例2(1)求函数f(x)3tan的定义域(2)求下列函数的值域ytan，x；ytan2x4tan x1.解(1)由题意知，2xk(kZ)，x(kZ)，(2)x，x，ytan在上为增函数，且y1，函数ytan，x的值域为.令ttan x，则tR，yt24t1(t2)255，函数ytan2x4tan x1的值域为.(1)求由正切函数构成的函数的定义域时，要特别注意使三角函数有意义例如，若函数含有tan x，需xk，kZ.(2)求正切函数的值域常用的方法有：直接法、配方法、反解函数法、单调性法、分离常数法、换元法探究3：正切函数的图像及其单调性题点一：正切函数图像的识别1函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图像大致是()解析：选D法一：由题意，得y作出该函数的大致图像，故选D.法二：当x从右边无限接近时，tan x趋向于，故|tan xsin x|趋向于，y趋向于.故选D.题点二：利用正切函数图像求解不等式2解不等式：tan x1.解：作出函数ytan x在区间内的大致图像，如图tan1，在内满足tan x1的x的取值范围为.由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为.题点三：求单调区间3写出下列函数的单调区间(1)ytan； (2)y|tan x|.解：(1)当kk(kZ)，即2kx2k(kZ)时，函数ytan单调递增函数的单调递增区间是(kZ)(2)y|tan x|可作出其图像(如下图)，由图像知函数y|tan x|的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为(kZ)解含有正切函数的简单三角不等式时，可先画出正切函数的一个周期的图像，由图像得到在一个周期内满足条件的x的取值范围，然后加上周期的整数倍，即可得到满足不等式的解 探究4：正切函数的奇偶性与周期性 典例4已知f(x)atan x(a0)(1)判断f(x)在x上的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期；(3)求f(x)的单调区间解(1)f(x)atan x(a0)，x，f(x)atan(x)atan xf(x)又定义域关于原点对称，f(x)为奇函数(2)f(x)的最小正周期为.(3)ytan x在(kZ)上单调递增，当a0时，f(x)在上单调递减，当a0时，f(x)在上单调递增(1)判断与正切函数有关的奇偶性问题时要注意其定义域是否关于原点对称(2)注意正切函数的最小正周期为.四、自主小测1函数ytan 的最小正周期是()AaB|a|C. D.解析：选BT|a|.2下列函数中，同时满足条件在上是增加的，是奇函数，是以为最小正周期的函数的是()Aytan xBycos xCytan Dy|sin x|解析：选A验证知A符合.3函数y的定义域是A(0,3B(0，)C. D.解析：选C根据函数有意义的条件，得即故0x或x3，即函数y的定义域是，故选C.4.已知P是角终边上一点，且tan ，求x的值解：由题意得tan ，解得x，故