2020高考数学 艺考生冲刺 第八章 立体几何 第24讲 空间几何体的平行与垂直课件.pptx

第24讲空间几何体的平行与垂直 1 直线与平面平行的判定定理和性质定理 2 平面与平面平行的判定定理和性质定理 3 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 4 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 题型一空间线面位置关系的判定与异面直线所成的角 例1 1 1 设 是两个不同的平面 m是直线且m m 是 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 2 教材改编 设 是两个不同的平面 l m是两条不同的直线 且l m A 若l 则 B 若 则l mC 若l 则 D 若 则l m 3 设m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 若m n 则m n 若 m 则m 若 n m n m 则m 若 则 其中是真命题的是 填上序号 解析 1 当m 时 过m的平面 与 可能平行也可能相交 因而m 当 时 内任一直线与 平行 因为m 所以m 综上知 m 是 的必要而不充分条件 2 l l 面面垂直的判定定理 故A正确 3 对于 m n或m n异面 故 错误 易知 正确 对于 m 或m 故 错误 对于 或 与 相交 故 错误 答案 1 B 2 A 3 例1 2 1 2018 全国卷 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为棱CC1的中点 则异面直线AE与CD所成角的正切值为 2 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC 1 BB1 1 P是AB的中点 则异面直线BC1与PD所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 1 如图 连接BE 因为AB CD 所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角 即 EAB 不妨设正方体的棱长为2 则CE 1 BC 2 由勾股定 2 取CD的中点Q 连接BQ C1Q P是AB的中点 BQ PD C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角 在 C1BQ中 C1B BQ C1Q C1BQ 60 即异面直线BC1与PD所成的角等于60 故选C 答案 1 C 2 C 规律方法 用平移法求异面直线所成的角的步骤 1 一作 根据定义作平行线 作出异面直线所成的角 2 二证 证明作出的角是异面直线所成的角 3 三求 解三角形 求出作出的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 变式训练一1 已知m n表示不同的直线 表示不同的平面 下列命题为真的是 A 若m m n 则n B 若m 则m C 若m n n 则m D 若 m n m 则n D 解析 当m m n时 n与 的位置关系有n 或n 或n与 相交 故A不正确 当m 时 m与 的位置关系有m 或m 或m与 相交 故B不正确 当m n n 时 有m 或m 故C不正确 当 m n m 时 必有n 故D正确 2 已知直线a和平面 l a a 且a在 内的射影分别为直线b和c 则直线b和c的位置关系是 A 相交或平行B 相交或异面C 平行或异面D 相交 平行或异面 D 解析 依题意 直线b和c的位置关系可能是相交 平行或异面 选D 3 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为棱C1D1 C1C的中点 有以下四个结论 直线AM与CC1是相交直线 直线AM与BN是平行直线 直线BN与MB1是异面直线 直线AM与DD1是异面直线 其中正确的结论为 把你认为正确的结论的序号都填上 解析 直线AM与CC1是异面直线 直线AM与BN也是异面直线 故 错误 4 1 已知P是 ABC所在平面外的一点 M N分别是AB PC的中点 若MN BC 4 PA 4 则异面直线PA与MN所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 A 2 如图 已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形 C是圆柱下底面弧AB的中点 C1是圆柱上底面弧A1B1的中点 那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 解析 1 取AC的中点O 连接OM ON 则 ONM 30 即异面直线PA与MN所成角的大小为30 故选A 2 取圆柱下底面弧AB的另一中点D 连接C1D AD 因为C是圆柱下底面弧AB的中点 所以AD BC 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角 因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点 所以C1D 圆柱下底面 所以C1D AD 题型二空间平行 垂直关系的证明 BC DC SC的中点 求证 1 直线EG 平面BDD1B1 2 平面EFG 平面BDD1B1 证明 1 如图 连接SB E G分别是BC SC的中点 EG SB 又 SB 平面BDD1B1 EG 平面BDD1B1 直线EG 平面BDD1B1 2 连接SD F G分别是DC SC的中点 FG SD 又 SD 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 由 1 知 EG 平面BDD1B1 且EG 平面EFG FG 平面EFG EG FG G 平面EFG 平面BDD1B1 例2 2 如图所示 已知AB 平面ACD DE 平面ACD ACD为等边三角形 AD DE 2AB F为CD的中点 求证 1 AF 平面BCE 2 平面BCE 平面CDE 证明 1 如图 取CE的中点G 连接FG BG F为CD的中点 GF DE且GF DE AB 平面ACD DE 平面ACD AB DE GF AB 又AB DE GF AB 四边形GFAB为平行四边形 AF BG AF 平面BCE BG 平面BCE AF 平面BCE 2 ACD为等边三角形 F为CD的中点 AF CD DE 平面ACD AF 平面ACD DE AF 又CD DE D 故AF 平面CDE BG AF BG 平面CDE BG 平面BCE 平面BCE 平面CDE 规律方法 1 平行 证明线面平行时 先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行 若找不到这样的直线 可以考虑通过面面平行来推导线面平行 应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置 有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线 利用平面几何知识证明线线平行的主要方法 有中点 找中点 连中线 证平行 构造三角形的中位线 构造平行四边形条件 2 垂直 变式训练二1 如图 四棱锥P ABCD中 AD BC AB BC AD E F H分别为线段AD PC CD的中点 AC与BE交于O点 G是线段OF上一点 1 求证 AP 平面BEF 2 求证 GH 平面PAD 证明 1 连接EC 因为AD BC BC AD 所以BC AE 所以四边形ABCE是平行四边形 所以O为AC的中点 又因为F是PC的中点 所以FO AP 因为FO 平面BEF AP 平面BEF 所以AP 平面BEF 2 连接FH OH 因为F H分别是PC CD的中点 所以FH PD 所以FH 平面PAD 又因为O是AC的中点 H是CD的中点 所以OH AD 所以OH 平面PAD 又FH OH H 所以平面OHF 平面PAD 又因为GH 平面OHF 所以GH 平面PAD 2 如图 四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形 四条侧棱长均为2 点G E F H分别是棱PB AB CD PC上共面的四点 平面GEFH 平面ABCD BC 平面GEFH 1 证明 GH EF 2 若EB 2 求四边形GEFH的面积 解 1 证明 因为BC 平面GEFH BC 平面PBC 且平面PBC 平面GEFH GH 所以GH BC 同理可证EF BC 因此GH EF 2 如图 连接AC BD交于点O BD交EF于点K 连接OP GK 因为PA PC O是AC的中点 所以PO AC 同理可得PO BD 又BD AC O 且AC BD都在底面内 所以PO 底面ABCD 又因为平面GEFH 平面ABCD 且PO 平面GEFH 所以PO 平面GEFH 因为平面PBD 平面GEFH GK 所以PO GK 且GK 底面ABCD 从而GK EF 所以GK是梯形GEFH的高 由AB 8 EB 2得EB AB KB DB 1 4 3 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 CD AE 2 PD 平面ABE 证明 1 在四棱锥P ABCD中 因为PA 底面ABCD CD 平面ABCD 所以PA CD 因为AC CD PA AC A 所以CD 平面PAC 而AE 平面PAC 所以CD AE 2 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA 因为E是PC的中点 所以AE PC 由 1 知AE CD 且PC CD C 所以AE 平面PCD 而PD 平面PCD 所以AE PD 因为PA 底面ABCD 所以PA AB 又因为AB AD且PA AD A 所以AB 平面PAD 而PD 平面PAD 所以AB PD 又因为AB AE A 所以PD 平面ABE 4 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 已知AC BC BC CC1 设AB1的中点为D B1C BC1 E 求证 1 DE 平面AA1C1C 2 BC1 AB1 证明 1 由题意知 E为B1C的中点 又D为AB1的中点 因此DE AC 又因为DE 平面AA1C1C AC 平面AA1C1C 所以DE 平面AA1C1C 2 因为棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱 所以CC1 平面ABC 因为AC 平面ABC 所以AC CC1 又因为AC BC CC1 平面BCC1B1 BC 平面BCC1B1 BC CC1 C 所以AC 平面BCC1B1 又因为BC1 平面BCC1B1 所以BC1 AC 因为BC CC1 所以矩形BCC1B1是正方形 因此BC1 B1C 因为AC 平面B1AC B1C 平面B1AC AC B1C C 所以BC1 平面B1AC 又因为AB1 平面B1AC 所以BC1 AB1 题型三平面图形的折叠问题 例3 如图 1 在Rt ABC中 C 90 D E分别为AC AB的中点 点F为线段CD上的一点 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1F CD 如图 2 1 2 1 求证 DE 平面A1CB 2 求证 A1F BE 3 线段A1B上是否存在点Q 使A1C 平面DEQ 请说明理由 证明 1 因为D E分别为AC AB的中点 所以DE BC 又因为DE 平面A1CB BC 平面A1CB 所以DE 平面A1CB 证明 2 由题图 1 得AC BC且DE BC 所以DE AC 所以DE A1D DE CD 所以DE 平面A1DC 而A1F 平面A1DC 所以DE A1F 又因为A1F CD 所以A1F 平面BCDE 又BE 平面BCDE 所以A1F BE 解析 3 线段A1B上存在点Q 使A1C 平面DEQ 理由如下 如图 分别取A1C A1B的中点P Q 则PQ BC 又因为DE BC 所以DE PQ 所以平面DEQ即为平面DEP 由 2 知 DE 平面A1DC 所以DE A1C 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点 所以A1C DP 所以A1C 平面DEP 从而A1C 平面DEQ 故线段A1B上存在点Q 使得A1C 平面DEQ 规律方法 解决由平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况 根据翻折的过程 把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来 这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征 变式训练三 AC与BE的交点 将 ABE沿BE折起到图2中 A1BE的位置 得到四棱锥A1 BCDE 图1图2 1 证明 CD 平面A1OC 解 1 证明 在题图1中 连接EC 图略 即在题图2中 BE A1O BE OC 从而BE 平面A1OC 又CD BE 所以CD 平面A1OC 2 由已知 平面A1BE 平面BCDE 且平面A1BE 平面BCDE BE 又由 1 可得A1O BE 所以A1O 平面BCDE 即A1O是四棱锥A1 BCDE的高 题型四空间中的平行 垂直综合问题 例4 2015 山东卷 如图 三棱台DEFABC中 AB 2DE G H分别为AC BC的中点 1 求证 BD 平面FGH 2 若CF BC AB BC 求证 平面BCD 平面EGH 证明 1 方法一如图 连接DG 设CD GF M 连接MH AB 2DE G为AC的中点 可得DF GC DF GC 所以四边形DFCG为平行四边形 则M为CD的中点 又H为BC的中点 所以HM BD 又HM 平面FGH BD 平面FGH 所以BD 平面FGH 可得BH EF BH EF 所以四边形HBEF为平行四边形 可得BE HF 在 ABC中 G为AC的中点 H为BC的中点 所以GH AB 又GH HF H 所以平面FGH 平面ABED 又因为BD 平面ABED 所以BD 平面FGH 2 连接HE 因为G H分别为AC BC的中点 所以GH AB 由AB BC 得GH BC 又H为BC的中点 所以EF HC EF HC 因此四边形EFCH是平行四边形 所以CF HE 又CF BC 所以HE BC 又HE GH 平面EGH HE GH H 所以BC 平面EGH 又BC 平面BCD 所以平面BCD 平面EGH 规律方法 线线平行 垂直 线面平行 垂直 和面面平行 垂直 是空间中三种基本平行 垂直 关系 它们之间可以相互转化 其转化关系如下 变式训练四1 2017 山东卷 由四棱柱ABCD A1B1C1D1截去三棱锥C1 B1CD1后得到的几何体如图所示 四边形ABCD为正方形 O为AC与BD的交点 E为AD的中点 A1E 平面ABCD 1 证明 A1O 平面B1CD1 2 设M是OD的中点 证明 平面A1EM 平面B1CD1 证明 1 取B1D1的中点O1 连接CO1 A1O1 由于ABCD A1B1C1D1是四棱柱 所以A1O1 OC A1O1 OC 因此四边形A1OCO1为平行四边形 所以A1O O1C 又O1C 平面B1CD1 A1O 平面B1CD1 所以A1O 平面B1CD1 2 因为AC BD E M分别为AD和OD的中点 所以EM BD 又A1E 平面ABCD BD 平面ABCD 所以A1E BD 所以EM B1D1 A1E B1D1 又A1E EM 平面A1EM A1E EM E 所以B1D1 平面A1EM 又B1D1 平面B1CD1 所以平面A1EM 平面B1CD1 2 2017 北京卷 如图 在三棱锥P ABC中 PA AB PA BC AB BC PA AB BC 2 D为线段AC的中点 E为线段PC上一点 1 求证 PA BD 2 求证 平面BDE 平面PAC 3 当PA 平面BDE时 求三棱锥E BCD的体积 解 1 证明 因为PA AB PA BC 所以PA 平面ABC 又因为BD 平面ABC 所以PA BD 2 证明 因为AB BC D为AC的中点 所以BD AC 由 1 知 PA BD 所以BD 平面PAC 所以平面BDE 平面PAC 3 因为PA 平面BDE 平面PAC 平面BDE DE 所以PA DE 因为D为AC的中点 由 1 知 PA 平面ABC 所以DE 平面ABC 题型五空间中的平行 垂直探索性问题 例5 如图 四棱锥PABCD中 AB CD AB 2CD E为PB的中点 1 求证 CE 平面PAD 2 在线段AB上是否存在一点F 使得平面PAD 平面CEF 若存在 证明你的结论 若不存在 请说明理由 证明 1 如图所示 取PA的中点H 连接EH DH 因为E为PB的中点 所以EH CD EH CD 因此四边形DCEH是平行四边形 所以CE DH 又DH 平面PAD CE 平面PAD 所以CE 平面PAD 又AF CD 所以四边形AFCD为平行四边形 所以CF AD 又CF 平面PAD 所以CF 平面PAD 由 1 可知CE 平面PAD 又CE CF C 故平面CEF 平面PAD 故存在AB的中点F满足要求 规律方法 解决探索性问题的策略方法 1 根据探索性问题的设问 假设其存在并探索出结论 然后在这个假设下进行推理论证 若得到合乎情理的结论就肯定假设 若得到矛盾就否定假设 2 按类似于分析法的格式书写步骤 从结论出发 要使 成立 只需使 成立 变式训练五 1 若F为BB1的中点 判断AC1与平面DEF是否平行 若平行 请给予证明 若不平行 说明理由 解 1 法一 连接B1C BC1交于点G 连接DG FG 则DG AC1 因为DG 平面GDF AC1 平面GDF 则AC1 平面GDF 由于平面GDF 平面DEF DF 故AC1与平面DEF不可能平行 法二 连接B1C BC1交于点G 连接DG FG 则DG AC1 而DG 平面DEF 且DG与平面DEF交于点D 故AC1与平面DEF不可能平行 2 假设点F存在 由 1 若直线a 平面 直线b 直线a 点A b且A 则b与 的位置关系是 A b AB b C b 或b D b D 解析 由a b a b 或b 又b过 内一点 故b 2 2019 长春模拟 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列说法正确的是 A 若m n n 则m B 若m 则m C 若m n n 则m D 若m n n 则m C 解析 A中 由m n n 可得m 或m与 相交或m 错误 B中 由m 可得m 或m与 相交或m 错误 C中 由m n 可得m n 又n 所以m 正确 D中 由m n n 可得m 或m与 相交或m 错误 3 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 a b 是 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 B 解析 因为 b m 所以b 又直线a在平面 内 所以a b 但直线a m不一定相交 所以 a b 是 的必要不充分条件 故选B 4 在正方体ABCDA1B1C1D1中 E F分别是线段BC CD1的中点 则直线A1B与直线EF的位置关系是 A 相交B 异面C 平行D 垂直 A 解析 如图所示 直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1 EF 平面A1BCD1 且两直线不平行 故两直线相交 5 已知l m n为不同的直线 为不同的平面 则下列结论正确的是 A 若m n 则m nB 若m n 则m nC 若 l m m 则m lD 若 m n l m l n 则l C 解析 A m n可能的位置关系为平行 相交或异面 故A错误 B 根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误 C 根据线面平行的性质可知C正确 D 若m n 根据线面垂直的判定可知D错误 故选C 6 已知ABCD为空间四边形 AB CD AD BC AB AD M N分别是对角线AC与BD的中点 则MN与 A AC BD之一垂直B AC BD都垂直C AC BD都不垂直D AC BD不一定垂直 B 解析 AD BC AB CD BD BD ABD CDB 连接AN CN 则AN CN 在等腰 ANC中 由M为AC的中点知MN AC 同理可得MN BD 7 2019 黄山模拟 E是正方体ABCD A1B1C1D1的棱C1D1上的一点 不与端点重合 BD1 平面B1CE 则 A BD1 CEB AC1 BD1C D1E 2EC1D D1E EC1 D 解析 如图 设B1C BC1 O 可得平面D1BC1 平面B1CE EO BD1 平面B1CE 根据线面平行的性质可得D1B EO O为B1C的中点 E为C1D1中点 D1E EC1 故选D 8 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 点P是平面AA1D1D的中心 点Q是上底面A1B1C1D1上一点 且PQ 平面AA1B1B 则线段PQ的长的最小值为 A 解析 由PQ 平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上 易知点Q在A1D1 B1C1中点的连线MN上 故PQ的最小值为PM AA1 1 9 如图是长方体被一平面所截得的几何体 四边形EFGH为截面 则四边形EFGH的形状为 平行四边形 解析 平面ABFE 平面DCGH 又平面EFGH 平面ABFE EF 平面EFGH 平面DCGH HG EF HG 同理EH FG 四边形EFGH的形状是平行四边形 10 如图 在三棱锥S ABC中 已知点D E F分别为棱AC SA SC的中点 1 求证 EF 平面ABC 2 若SA SC BA BC 求证 平面SBD 平面ABC 证明 1 EF是 SAC的中位线 EF AC 又EF 平面ABC AC 平面ABC EF 平面ABC 2 SA SC D是AC的中点 SD AC BA BC D是AC的中点 BD AC 又SD 平面SBD BD 平面SBD SD DB D AC 平面SBD 又AC 平面ABC 平面SBD 平面ABC 1 在四面体ABCD中 截面PQMN是正方形 则在下列结论中 错误的是 A AC BDB AC 截面PQMNC AC BDD 异面直线PM与BD所成的角为45 C 解析 因为截面PQMN是正方形 所以MN PQ 则MN 平面ABC 由线面平行的性质知MN AC 则AC 截面PQMN 同理可得MQ BD 又MN QM 则AC BD 故A B正确 又因为BD MQ 所以异面直线PM与