2020高考数学 艺考生冲刺 第六章 函数、导数及其应用 第15讲 函数与函数图象及性质课件.pptx

第六章函数 导数及其应用 第15讲函数与函数图象及性质 1 函数的有关概念 1 函数的定义域 值域 在函数y f x x A中 x叫做自变量 x的取值范围A叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 显然 值域是集合B的子集 2 函数的三要素 定义域 值域和对应关系 3 相等函数 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 则这两个函数相等 这是判断两函数相等的依据 2 分段函数若函数在其定义域内 对于定义域内的不同取值区间 有着不同的对应关系 这样的函数通常叫做分段函数 3 分段函数的相关结论 1 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 2 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集 值域等于各段函数的值域的并集 4 函数的单调性与最值 1 单调函数的定义 2 单调区间的定义若函数y f x 在区间D上是增函数或减函数 则称函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间D叫做函数y f x 的单调区间 3 函数的最值 4 函数最值存在的两条结论 1 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值 当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到 2 开区间上的 单峰 函数一定存在最大或最小值 5 函数的奇偶性与周期 1 定义 2 函数奇偶性常用结论如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 在公共定义域内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 3 周期函数对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x T f x 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 6 函数的图象 1 利用描点法画函数图象的流程 2 利用图象变换法作函数的图象平移变换 伸缩变换 对称变换 翻折变换 题型一求函数定义域 A 3 0 B 3 1 C 3 3 0 D 3 3 1 A 1 B 1 C 1 1 1 D 1 1 1 答案 1 A 2 C 规律方法 易错警示 求定义域时 对解析式不要化简 求出定义域后一定要将其写成集合或区间形式 注意 不要对解析式进行化简变形 以免定义域发生变化 变式训练一 A 4 1 B 4 1 C 1 1 D 1 1 C x 0 1 3 1 已知函数f x 的定义域为 0 1 求f x2 的定义域 2 已知函数f x2 的定义域为 2 4 求f x 的定义域 3 已知函数f x2 的定义域为 1 2 求f 2x 1 的定义域 解 1 f x 的定义域为 0 1 即0 x 1 故0 x2 1 1 x 1且x 0 f x2 的定义域为 1 0 0 1 2 f x2 的定义域为 2 4 即2 x 4 4 x2 16 故f x 的定义域为 4 16 3 f x2 的定义域为 1 2 即1 x 2 1 x2 4 题型二函数的解析式 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 则f x 2 设f x ax b a 0 则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax 5a b即ax 5a b 2x 17 不论x为何值都成立 规律方法 求函数解析式的常用方法 1 待定系数法 若已知函数的类型 可用待定系数法 2 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 式 通过解方程组求出f x 4 配凑法 由已知条件f g x F x 可将F x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 即得f x 的表达式 变式训练二 f x x2 2 x 2或x 2 f x x2 2 x 2或x 2 题型三函数的单调性 2 2019 青岛模拟 已知函数f x x3 sinx x 1 1 则满足f a2 1 f a 1 0的a的取值范围是 3 若函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 2 由题意知f x x 3 sin x x3 sinx x3 sinx f x x 1 1 f x 在区间 1 1 上是奇函数 又f x 3x2 cosx 0 f x 在区间 1 1 上单调递增 f a2 1 f a 1 0 f a 1 f a2 1 f 1 a f a2 1 3 当a 0时 f x 2x 3 在定义域R上是单调递增的 故在 4 上单调递增 解得2 a 3 即实数a的取值范围是 2 3 答案 1 B 2 B 3 D 4 2 3 规律方法 1 判断函数单调性的常用方法 2 确定函数的单调区间的方法 变式训练三 C 解析 当x 1时 loga1 0 若f x 为R上的减函数 则 3a 1 x 4a 0在x 1时恒成立 令g x 3a 1 x 4a 值范围是 A 1 B 1 4 C 4 D 1 4 D 解析 作出f x 的图象如图 由图象可知f x 的单调递增区间是 2 和 4 函数y f x 在 a a 1 上单调递增 需满足a 4或a 1 2 即a 1或a 4 故选D 题型四函数的奇偶性 对称性及周期性 例4 1 1 判断下列函数的奇偶性 f x 的定义域为 1 1 又f 1 f 1 0 f 1 f 1 0 f x f x f x 既是奇函数又是偶函数 易知函数的定义域为 0 0 关于原点对称 又当x 0时 f x x2 x 则当x0 故f x x2 x f x 当x0时 x 0 故f x x2 x f x 故原函数是偶函数 3 f x 是定义在R上的奇函数 f 0 0 又当x0 f x x2 4x 又f x 为奇函数 f x f x 即f x x2 4x x 0 4 由题意 得f 1 f 1 0 即2 a 1 0 解得a 1 经检验 a 1时 函数f x 为奇函数 答案 1 奇函数 奇函数 既奇又偶函数 偶函数 2 2 例4 2 1 2019 沈阳模拟 已知函数f x 满足f x 1 f x 且当0 x 1时 f 1 f 2 f 3 f 2018 的值为 解析 1 由f x 1 f x 得f x 2 f x 1 f x 即函数f x 的周期为2 f 1 f 2 f 3 f 2018 504 f 1 f 2 f 3 f 4 f 504 4 1 f 504 4 2 1348 答案 1 A 2 A 3 1348 规律方法 1 判断函数周期性的方法 定义法 判断函数的周期性只需证明f x T f x T 0 便可证明函数是周期函数 且周期为T 结论法 对f x 定义域内任一自变量的值x 若f x a f x 则T 2a a 0 2 函数周期性的应用 根据函数的周期性 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 即周期性可将未知区间上的函数值 解析式 图象转化到已知区间上 在解决具体问题时 要注意结论 若T是函数的周期 则kT k Z且k 0 也是函数的周期 变式训练四1 已知函数f x x3 sinx 1 x R 若f a 2 则f a 的值为 A 3B 0C 1D 2 A 1B 2C 1D 2 B 解析 设F x f x 1 x3 sinx 显然F x 为奇函数 又F a f a 1 1 所以F a f a 1 1 从而f a 0 故选B A 解析 因为f x 为奇函数 所以f 8 f 8 log39 2 所以g f 8 g 2 f 2 f 2 log33 1 3 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 则x 0时 f x 则下列函数值为1的是 A f 2 5 B f f 2 5 C f f 1 5 D f 2 x 1 x 解析 当x0 所以f x x 1 x 又f x 为奇函数 所以f x f x x 1 x 所以f x x 1 x D 解析 由f x 1 f x 知f x 2 f x 1 f x 于是f x 是以2为周期的周期函数 从而f 2 5 f 0 5 1 f f 2 5 f 1 f 1 1 f f 1 5 f f 0 5 f 1 1 f 2 f 0 1 故选D 5 设定义在R上的函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x 2x x2 则f 0 f 1 f 2 f 3 f 2019 1010 解析 f x 2 f x 函数f x 的周期T 2 又当x 0 2 时 f x 2x x2 f 0 0 f 1 1 f 0 f 1 1 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 2018 f 2019 1 f 0 f 1 f 2 f 2019 1010 题型五作函数图像 例5 作出下列函数的图象 2 将函数y log2x的图象向左平移1个单位 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去 即可得到函数y log2 x 1 的图象 如图 先用描点法作出 0 上的图象 再根据对称性作出 0 上的图象 即得函数图象如图 规律方法 函数图象的画法 变式训练五作下列函数的图象 2 y x2 2x 2 x 1 2 3 y x 1 x R 2 用描点法作出函数f x x2 2x 2 x 1 2 的图象 如图 所示 3 可先作出y x 1的图象 将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方 x轴上方的图象保持不变可得y x 1 的图象 如图 中实线部分所示 题型六函数图象的识别 例6 1 函数y x3 x 2 x 的图象大致是 ABCD 2 如图 矩形ABCD的周长为8 设AB x 1 x 3 线段MN的两端点在矩形的边上滑动 且MN 1 当N沿A D C B A在矩形的边上滑动一周时 线段MN的中点P所形成的轨迹为G 记G围成的区域的面积为y 则函数y f x 的图象大致为 ABCD 解析 1 易判断函数为奇函数 由y 0得x 1或x 0 且当01时 y 0 故选B 2 法一 由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示 其中四个角均是半径为的扇形 因为矩形ABCD的周长为8 AB x 答案 1 B 2 D 规律方法 识辨函数图象的入手点 1 从函数的定义域 判断图象的左右位置 从函数的值域 判断图象的上下位置 2 从函数的单调性 判断图象的变化趋势 3 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 4 从函数的周期性 判断图象的循环往复 5 从函数的特征点 排除不合要求的图象 变式训练六 ABCD A B B 解析 由定义知 当x 0时 2x 1 f x 2x 当x 0时 2x 1 f x 1 4 如图 不规则四边形ABCD中 AB和CD是线段 AD和BC是圆弧 直线l AB交AB于点E 当l从左至右移动 与线段AB有公共点 时 把四边形ABCD分成两部分 设AE x 左侧部分的面积为y 则y关于x的图象大致是 C 解析 当l从左至右移动时 一开始面积的增加速度越来越快 过了D点后面积保持匀速增加 图象呈直线变化 过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢 故选C 1 若函数y f x 的定义域为M x 2 x 2 值域为N y 0 y 2 则函数y f x 的图象可能是 B 解析 可以根据函数的概念进行排除 使用筛选法得到答案 B 3 设函数f x 2x 3 g x 2 f x 则g x 的表达式是 A g x 2x 1B g x 2x 1C g x 2x 3D g x 2x 7 B 解析 令t x 2 x t 2 则有g x 2 f x g t f t 2 2 t 2 3 2t 1 D 5 2019 开封模拟 已知f x 是定义在R上周期为4的奇函数 当x 0 2 时 f x 2x log2x 则f 2019 A 5B C 2D 2 D 解析 由题意得f 2019 f 4 505 1 f 1 f 1 21 log21 2 故选D 6 下列四个函数中 在区间 0 1 上是减函数的是 D 0 1 上是单调递增的 故排除 7 若函数f x x2 2ax与g x a 1 1 x在区间 1 2 上都是减函数 则a的取值范围是 A 1 0 B 1 0 0 1 C 0 1 D 0 1 A c b aB b a cC b c aD a b c D 解析 f x2 2ax 2 a2 因为f x 在区间 1 2 上是减函数 所以a 1 因为g x a 1 1 x 在区间 1 2 上是减函数 所以a 1 1 即a 0 所以a的取值范围为 0 1 B 9 已知函数f x log2x 若x1 1 2 x2 2 则 A f x1 0C f x1 0 f x2 0 f x2 0 B 10 y x2 2 x 3的单调增区间为 1 0 1 由图象可以得知 函数y x2 2 x 3的单调增区间为 1 0 1 1 定义在R上的偶函数f x 对任意x1 x2 0 x1 x2 有 0 则 A f 3 f 2 f 1 B f 1 f 2 f 3 C f 2 f 1 f 3 D f 3 f 1 f 2 A 则f x 在x1 x2 0 x1 x2 上单调递增 又f x 是偶函数 故f x 在x1 x2 0 x1 x2 单调递减 且满足n N 时 f 2 f 2 3 2 1 0 得f 1 f 2 f 3 2 已知f x g x 分别是定义在R上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x2 1 则f 1 g 1 A 3