人教A版选修21 第三章直线的方向向量与直线的向量方程 学案 (1).docx

案例（二）精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点和一个向量，再任给一个实数，以为起点作向量，如下左图，这时点的位置被完全确定，向量方程通常称作直线以为参数的参数方程，向量称为该直线的方向向量。 如上右图，若在直线上取，则式可化为，或或都叫做空间直线的向量参数方程。和的推导依据的是向量加法的三角形法则。 知识点二 用向量方法证明平行关系。 （1）设直线和的方向向量分别为和，则由向量共线的条件，得（或与重合）。 （2）已知两个非零向量，平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得或存在两个实数，使。 （3）如果三点不共线，则点在平面内的充分必要条件是：存在一对实数，使向量表达式成立。 （4）已知两个不共线的向量与平面共面，则由两平面平行的判定与性质，得或与重合且。 知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角 （1）两直线垂直的条件如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线、的方向向量分别为、，则有。 由上述条件，证明空间两条直线可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明。 （2）两条直线所成的角设空间两条直线所成的角为，当两直线平行时，当两直线垂直时，既不平行也不垂直的两直线所成的角，所以空间两直线所成的角。如上右图所示，设直线和的方向向量分别为和，则有。由式计算两直线的夹角的大小转化为求两直线的方向向量的夹角的大小的绝对值。注意 直线的方向向量间的夹角与相等或互补，所以上式右端有绝对值。典型例题分析题型1 直线的方向向量与向量参数方程【例1】 在空间直角坐标系中，设直线经过点，直线的方向向量为，是直线上的任意一点，求满足的关系式。解析 利用直线的向量参数方程求点的轨迹。答案 由题意可得：，因为是直线的方向向量，所以，所以有，即，所以满足题意的关系式为。方法指导 已知直线上一点和直线的方向向量，则这条直线就是确定的直线，应用此法，我们也可以判定一点是否在直线上。 【变式训练1】 在空间直角坐标系中，设直线经过点，直线的方向向量为，是直线上的任意一点，求所满足的关系式。 答案，即。 【变式训练2】 设分别是直线的方向向量，判断的位置关系。 （1）； （2）； （3）。 答案（1）因为，所以，所以，即； （2）因为，所以，所以，即； （3）因为，所以与不共线也不垂直，所以的位置关系是相交或异面。 题型2 平行关系 【例2】 如右图所示，在平行六面体中，是的中点。求证：平面。 解析 证明线面平行的关键是平行平面内的任意一条直线，即向量被平面内的两不共线向量表示。答案 设，因为为平行四边形，所以，又是的中点，所以。因为 所以。所以。设存在实数，使成立，则。因为不共线，所以所以所以，所以、是共面向量。因为不在、所确定的平面内，所以平面，即平面。方法指导 本例是立体几何中平行位置关系的证明题。我们给出了应用向量运算证明的方法，虽然证明过程书写较长，但因不用添加辅助线所以减少了思考时间。【变式训练3】 已知正方体的棱长为1，是上的点，且，是上的点，且。证明：平面。答案 建立恰当的空间直角坐标系，如图，则。由于， 所以，平面，又平面，故平面。题型3 垂直关系【例3】 如下图，已知空间四边形中，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点。若，求证：。解析 要证明线线垂直，可以转化为两条直线对应的方向向量垂直，进一步可转化为两个方向向量的数量积为零。答案 设，。又，所以，所以，所以，即。规律总结 由于本题中出现的几何体是一个不很特殊的四面体，所以本题证明方法用的基向量证明方法，也就是说，选择交于一点的三条不共面的线段所在方向向量为空间一个基底，其他向量都用它们来表示，然后，通过向量的运算得到结论，从而，原问题得到解决。 本题中的几何体没有出现过一点且两两垂直的三条线段，所以最好不用坐标向量来证明。 【变式训练4】 在正三棱柱中，求证。 答案 ，即。 ， 式化为，即 ， 。 而，由于是正三棱柱，对照式可知，故。 【例4】 如下图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，作交于，证明： （1）直线平面； （2）直线平面。 解析 建立恰当的空间直角坐标系，用坐标向量求解。以所在的直线分别为轴、轴、轴建立如右图所示的空间直角坐标系。 答案 设，则得下列各点的坐标，。（1）是的中点，。，。又平面，平面。（2），又，又，且，所以直线平面。方法指导 由所给几何图形的特征，本题宜采用坐标向量求解。要证明直线平面，不但要证明平面，而且还要交代直线在平面外。要证明线面垂直，只要转化为证明线线垂直，进而转化为对应直线的方向向量数量积为零，最后不要忘记交代平面内两条直线相交。 【变式训练5】 在正方体中，分别是棱的中点，试在棱上找点，使得平面。 答案 如右图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则。 设，则，。平面，且，于是，故取的中点为就能满足平面。题型4 异面直线所成角【例5】 四棱锥中，平面，与平面所成的角为60，在四边形中，求异面直线与所成角的余弦值。 解析 用坐标向量求解。 答案 以点为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系。 由平面，得是与平面所成的角，。在中，由得。 于是，与所成角的余弦值为。规律总结 要求两条异面直线所成的角，首先建立恰当的空间直角坐标系，求出两条异面直线所在的方向向量，然后求出两个向量央角的余弦值，最后转化为两条异面直线所成的角，这里要注意的是，向量所成角的范围是，而异面直线所成角的范围是。若最后用向量法求出两向量所成的角是钝角时，要转化为其补角，才可以作为两条异面直线所成的角。故本题答案是，而不是。 【变式训练6】 在长方体中，分别是面与面的中心，求异面直线与所成角的余弦值。 答案 以为原点建立空间直角坐标系，则， ， ，。异面直线所成角的范围是，与所成角的余弦值为。 规律 方法 总结（1）直线的向量参数方程，或。由方程可确定点的位置，当为个定值时，点在直线上的位置就确定了，利用直线的向量参数方程，若、的坐标已知，也已知，可求出点的坐标，设出，建立、的方程，求出、的值。利用直线的向量参数方程，可以证明三点共线。 （2）两直线平行的充要条件，、是、的方向向量，把证明两条直线平行转化为证明两个向量平行，在空间图形中证明，即证明。 （3）、是非零且与共面的两个向量，是直线的一个方向向量。或或。这样证明直线转化为证明两个向量平行或三个向量共面。 （4）、分别为、的两个方向向量，两直线垂直的充要条件：，即，所以在证明直线直线时，转化为。 （5）空间两直线、所成的角为，、的方向向量分别为、，则。 注意：空间两条直线所成角的范围是，空间两异面直线所成角的范围是。 （6）在证明空间两直线平行、直线与平面平行、直线与直线垂直时，要结合空间图形，按以下过程进行思考： 要解决的问题可用什么向量知识来解决？需用到哪些向量？ 所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件化成的向量直接表示？ 所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ 怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 能够建立空间直角坐标系（往往图形中有两两垂直的三条相交直线）尽量建系，使问题得到解决。在求两条直线所成的角时，要运用向量夹角公式，但注意角的范围。定时 巩固 检测 第1课时 直线的方向向量与平行关系基础训练1已知点的坐标为，向量，则点的坐标为（ ）a.（7，-1，4） b.（9，1，4） c.（3，1，1） d.（1，-1，1）【答案】 （点拨：，则则，得。）2.在空间直角坐标系中，线段的中垂面为平面，点的坐标为（-1，2，4），则点的坐标是（ ）a.（-1，-2，4） b.（-1，2）c.（1，2，4） d.（1，-2，-4）【答案】 b（点拨：与点关于面对称，故其子坐标互为相反数。）3.已知线段的两端点的坐标为，则线段与坐标平面 （ ）a.平行 b.平行c.平行 d.或平行【答案】 c（点拨：，故平行面。）4.已知点、，为线段上一点，且。则点的坐标为（ ）a. b.c. d.【答案】 c（点拨：设，则，又。，得。）能力提升5.已知是平行四边形，若，则顶点的坐标为 。【答案】（点拨：由即得。）6.证明四点在同个平面上。【答案】，令， 解得点在确定的平面上，而四点共面。7.空间直角坐标系中，已知是平面内任意一点，试求满足的方程。【答案】根据共面向量定理的推论可知，在平面内的充要条件是存在有序实数对，使，即。 把、代入式，得方程。8.已知，以的方向为正向，如右图在直线上建立一条数轴，为轴上的两点，且分别满足条件：（1）；（2）。求点和点的坐标。【答案】（1）由已知得，即，。设，则，所以，因此点的坐标为。（2）因为，所以，即，设，则，所以，因此点的坐标为。9.已知、分别是空间四边形边、的中点。（1）用向量法证明、四点共面；（2）用向量法证明平面；（3）设m是和的交点，求证：对空间任一点，有。【答案】（1）连接，则。由共面向量定理的推论知、四点共面。（2）。，又面，面，所以平面。（3）连、，由（2）知，同理， ，、交于一点且被平分，。 第2课时 垂直关系与两条直线的夹角基础训练1.设，若，且记，则与轴正方向的夹角的余弦为 （ ）a. b. c. d.【答案】 a（点拨：，轴正向的单位向量，设与夹角，则。）2.如右图所示，是正方体，则与所成角的余弦值是 （ ）a. b.c. d.【答案】 a（点拨：以为原点，建立坐标系，设正方体棱长为4，则用向量法求解。）3.在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么，直线和所成角的余弦值是 （ ）a. b.c. d.【答案】 d（点拨：建立空间坐标系，利用向量法求解。）4.正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线与所成的角是 （ ）a.90 b.60c.45 d.30【答案】 b（点拨：如右图所示的坐标系，则、，。与所成的角为60。）能力提升5.已知，则向量和的夹角= 。【答案】 （点拨：，夹角为。）6.若正方体的两条对角线所成的角为，则 。【答案】（点拨：建立坐标系用