中科院计算流体力学最新讲义CFD2011-第11讲-湍流及转捩1.ppt

计算流体力学讲义2011第十一讲湍流与转捩 1 李新亮lixl 力学所主楼219 82543801 知识点 1 讲义 课件上传至 流体中文网 流体论坛 CFD基础理论 讲课录像及讲义上传至网盘http cid CopyrightbyLiXinliang 线性稳定性理论转捩的预测方法壁湍流转捩的涡动力学机制 CopyrightbyLiXinliang 2 11 1线性稳定性理论 一 稳定性基本概念 常识 流体中的不稳定性 K H不稳定性 A K H Kelvin Helmholtz 不稳定性 自由剪切流的无粘不稳定性 混合层 K H不稳定性 K H不稳定性的关键 速度剖面有拐点 Lee Lin 速度剖面的拐点是无粘不稳定性的必要条件 流体不禁搓 一搓搓出涡 已知某运动状态 在此基础上施加微小扰动 如扰动随时间 或空间 衰减 则称系统稳定 否则为不稳定 CopyrightbyLiXinliang 3 自然界中K H不稳定性图片 智利塞尔扣克岛的卡门涡街 澳大利亚Duval山上空的云 Kelvin HelmholtzinstabilitycloudsinSanFrancisco 佛兰格尔岛周围的卡门涡街 高速流 低速流 自由剪切层受到扰动界面变形后的情况K H不稳定性的产生机理 受阻减速 压力升高 产生高压区 高压导致变形加剧 CopyrightbyLiXinliang 4 B T S Tollmien Schlichting 不稳定性 不可压壁面剪切流的粘性不稳定性 Mack不稳定性 超声速壁面剪切流的不稳定性 不可压边界层速度剖面 Blasius解 无拐点 可压缩情况 Mach数足够高时会出现广义拐点 出现无粘不稳定性 不可压缩无粘不稳定性 需存在拐点可压缩无粘不稳定性 需存在广义拐点 Mach6钝锥 1 攻角 不同子午面的分布 超音速平板边界层的不稳定波 第1模态 T S波 第2模态 Mack模态 CopyrightbyLiXinliang 5 激波 密度界面 R M Richtmyer Meshkov 不稳定性 激波与密度界面作用的斜压效应 惯性约束聚变 ICF 示意图 小知识 涡的产生机制 粘性 斜压 有旋的外力 激波 密度界面 斜压项 CopyrightbyLiXinliang 6 D R T Reyleigh Taylor 不稳定性 重力带来的不稳定性 R T Reyleigh Taylor 不稳定性 重介质 轻介质 CopyrightbyLiXinliang 7 EBarnard热对流不稳定性 其他学科的不稳定性 Euler压杆的不稳定性 Barnard热对流的胞格结构 板壳的不稳定性 CopyrightbyLiXinliang 8 二 稳定性问题的常用数学方法 线性稳定性分析 Step1 得到线性化的扰动方程 控制方程为 已知其具有解 最好是精确解 也可用高精度的数值解 令 舍弃高阶小量 得到线性化的扰动方程 1 例如 平板的Blasius解 槽道的Poiseuille解 线性方程 CopyrightbyLiXinliang 9 Step2 求解的特征值问题 什么条件下具有非零解 非零解如何 通常假设在某些方向具有周期性 转化为一维问题 数值方法 将 1 离散 代数方程何时有非零解 非零解如何 特征值问题 什么条件下有非零解 特征值问题计算量巨大 目前通常只能处理一维问题 CopyrightbyLiXinliang 10 三 稳定性问题示例 不可压缩槽道流动的线性稳定性 LST 理论 以二维为例 Step1 获得线性化扰动方程 令 Poiseuille解 2 代入方程 2 并舍去高阶小量得到线性化的扰动方程 3 1 控制方程及边界条件 CopyrightbyLiXinliang 11 研究扰动发展的空间模式和时间模式 扰动源 空间模式 任一点的扰动具有时间周期性 符合物理条件 假设扰动具有如下形式 沿流向及时间方向具有波动特性称为Tolmien Schlichting T S 波 任意扰动可分解为正弦波的叠加 线性系统各成分无相互作用 可独立研究 为实数 为复数 扰动波的振幅沿流向指数变化 空间增长率 时间模式 扰动具有流向的周期性假设一窗口沿流向运动 研究窗口内扰动的演化 为实数 为复数 扰动波的振幅虽时间变化 时间增长率 CopyrightbyLiXinliang 12 以时间模式为例 4 5 6 线性偏微方程 3 转化成为含参数的线性常微方程组 4 6 谱方法的常规做法 通过消元法 转化为更高阶的常微方程 不是必须的 常用做法 通常还可以反向为之 高阶方程转化为低阶方程组 消去 Orr Sommerfeld O S 方程 其中 最终 控制方程为O S方程 CopyrightbyLiXinliang 13 边界条件 y 1 固壁 y 0 中心线 对称 可以取计算域 1 1 使用固壁边界条件 也可以取计算域 1 0 使用固壁及对称边界条件 流函数形式的O S方程 引入流函数 使得 计算出后 利用公式 计算其他两个量 则 令 常数倍 满足的方程及边界条件与完全相同 如果恒大于 或恒小于0 则必有 CopyrightbyLiXinliang 14 小知识 关于O S方程 1 O S方程适用于不可压平行流的稳定性问题 不仅槽道流 2 准平行流 流线沿x方向接近平行 也可使用 例如边界层流动 3 如果舍去粘性 左端 项 则方程称为Rayleigh方程 Rayleigh拐点定理 Rayleigh方程存在不稳定解的必要条件是速度型存在拐点 即存在某点使得 若存在无粘不稳定性 该项必有0点 分部积分 并取虚部 得 不存在非稳定解 CopyrightbyLiXinliang 15 2 O S方程的解法 数学表述 奇性 特征值 问题 参数为何值时 方程有非零解 非零解如何 时间发展槽道湍流 通常 给定Re及a 问w取何值时 O S方程有非零解 增长率 求解步骤 1 将O S方程离散 得到线性代数方程组离散方法 差分法 有限元法 谱方法 打靶法 2 求w 使得该方程有非零解 奇性或特征值问题 求出w 局部法 只求出一个w全局法 计算出全部的w 试计算的时间发展槽流中 即波长2p T S波的频率及增长率 CopyrightbyLiXinliang 16 四 例题 Step1 离散 差分法 一维问题 网格 均匀网格 简单 但需要较多网格点N 300 非均匀网格 差分离散 2阶格式 4阶格式 自行推导 利用小程序 非均匀网格 问题 会产生大量非物理解 例 1000个网格点算出1000个特征值 可通过不同网格的对比 进行筛选 CopyrightbyLiXinliang 17 离散化后得 Step2 求广义解特征值问题 1 即w为何值时 1 有非零解 1 方法1 全局法 一次计算出全部特征值 常用Q Z分解法 其他 幂法 反幂法 Jacobi法 Householder 狭义特征值问题 广义特征值问题 求解特征值是计算数学的主要研究方向 有大量成熟的方法 可借助软件包或Lapack库等 自行到网上搜索 通常关心最不稳定的扰动波 最大的那个 CopyrightbyLiXinliang 18 方法2 局部法 令 方法 Newton法 弦位法 抛物线 Muler 法 Newton法 弦位法 差分化 抛物线法 已知 可连成一条抛物线 令 求出新的值 消元法计算行列式 利用5对角特征 计算出后 求解方程 1 就可得到特征向量 1 方程有奇性 可补充一个条件 例如给定某个点的值 CopyrightbyLiXinliang 19 效果更好的方法 Malik提出的紧致差分格式求解参考文献 周恒等 流动稳定性 p 10 13 国防工业出版社 非均匀网格的超紧致格式 4阶精度 优点 紧致 网格基仅2点精度高 4阶直接适用于非均匀网格 无需坐标变换 原方程组 形式变换变为一阶方程组 通常的做法 推导仓促可能有误请仔细推导 与y无关 CopyrightbyLiXinliang 20 令 带入差分格式 得 CopyrightbyLiXinliang 21 令 边界处表达式 C1 D1 CN DN 根据边界条件而定 内点的表达式 特点 离散形成的代数方程组呈块两对角特征 求行列式 特征值都非常便利 其余步骤与前文相同可用矩阵广义特征值理论计算全部模态也可利用计算单个模态 计算域可以取为 1 1 也可取为 1 0 在中心线给对称 或反对称 边界条件 CopyrightbyLiXinliang 22 边界条件 1 如果取完整计算域 1 1 2 如果取一半计算域 1 0 处可设定对称或反对称边界条件 如设定对称条件 只能计算出对称扰动模态如设定反对称条件 只能计算出反对称模态 对于槽道流 最不稳定模态是对称模态 但有些情况下 稳定模态在转捩过程中也发挥作用 例如感受性过程 见Zhongetal JFM556 55 103 2006 按照内点方法计算 先根据处理内点的方法 求出所有点上的C D值 再对边界点进行特殊处理 D的前两行设为0 C的前两行设为 1 0 0 0 及 0 1 0 0 CopyrightbyLiXinliang 23 具体解法 局部法 求解 显然 因此只需计算每个4 4矩阵的行列式即可 可直接写出表达式 也可用消元法计算 编制好计算的子程序后 可利用Newton法 弦位法 抛物线法等求解 得到复增长率 CopyrightbyLiXinliang 24 计算出后 利用消元法求解方程 即可得到特征向量 消元过程中 充分利用两对角块矩阵的性质 可减少计算量 独立消元 注 由于方程有奇性 消元后 最后一个方程为0 0 舍弃最后一个方程 并令最后一个未知数为1 即可解出显然 a为任意常数 也是原方程的解 因此可用某一值 例如 归一化 最终 得到条件下 波数为的最不稳定扰动波 扰动波型函数的分布 CopyrightbyLiXinliang 25 11 2边界层转捩的预测方法 1 经验公式法 转捩位置 Mach6钝锥边界层表面的摩擦系数分布 Lietal Phys Fluid 22 025105 2010 Lietal AIAAJ 46 11 2899 2913 2008 x 摩阻或热流 转捩起始点 transitiononset 转捩峰 transitionpeak 充分发展湍流区 球锥的转捩Reynolds数 边界层外缘的Mach数 动量厚度定义的转捩Reynolds数 CopyrightbyLiXinliang 26 2 eN方法 LST理论 积分起始点 扰动波进入中性曲线后 开始增长 局部增长率为 eN理论 扰动波增长到eN倍 即发生转捩 N值需要由实验 或经验 确定 通常为8 11 即扰动增长4个量级 10000倍 左右 在不可压缩及航空领域 亚 跨 超 较为成熟 在航天领域 高超声速 还有待检验 不足之处 未考虑扰动波进入中性曲线前的衰减过程 没考虑感受性过程 他人的改进 苏彩虹 周恒等 考虑衰减过程C H Su andH Zhou ScienceinChinaG 52 1 115 123 2009 CopyrightbyLiXinliang 27 3 PSE 抛物化扰动方程 法 优点 1 无需平行流假设 2 可处理非线性 N PSE Step1 得到扰动的控制方程 已知解 线性化 L PSE N PSE Step2 假设扰动具有波动形式 振幅 沿x方向是个缓变量 相对y方向而言 Step3 带入扰动方程 得到振幅的控制方程 缓变量 是个很有用的概念 可用来简化方程 Plantdl边界层理论就是利用 缓变量 的概念进行简化的 LST的方程是一维的PSE的方程是二维的 Step4 利用缓变量性质 舍弃方程中的椭圆项 为高阶小量 得到抛物化的扰动方程 沿x方向推进求解 类似时间方向的处理 计算量相当于一维问题 抛物化 的优势 非线性项的处理方法与谱方法相似 CopyrightbyLiXinliang 28 4 转捩模型法 间歇因子模型 实际粘性系数 层流粘性系数 湍流粘性系数 由湍流模型给定 湍流间歇因子 0表示纯层流 1表示纯湍流 方法1 根据经验公式 给定沿流向的分布方法2 给出的发展方程 进行求解 CopyrightbyLiXinliang 29 常识 湍流的间歇性 外间歇性 层流及湍流交替出现的现象 Mach6钝锥边界层的密度分布 Lietal PoF22 2010 边界层有清晰锐利的界面 层流区 湍流区 泾渭分明 湍流信号 层流信号 内间歇性 湍流脉动的概率密度分布偏离Gauss分布 随机分布 概率论 中心极限定理 独立随机事件满足Gauss分布偏离Gauss分布 湍流不是完全随机的 既非确定 又非随机 湍流的复杂性 边界层湍流DNS Ma 0 7 2 25 6扰动 二维不稳定波 一对三维斜波 自然转捩 壁面吹吸扰动 Bypass 计算模型 平板边界层 13 3平板边界层转捩过程的涡动力学机制 动画演示 平板边界层拟序结构的形成及演化 Q 10的等值面 流场中的涡结构 发卡涡形成及发展的涡动力学机制 CopyrightbyLiXinliang 33 作业题11 1 以不可压缩槽道湍流为例 推导线性稳定性理论的控制方程及边界条件 要求 1 给出扰动量满足的线性化控制方程及边界条件 必须有推导步骤 2 推导扰动量振幅满