圆-经典讲义——.讲义.doc

圆初探性质及基本概念板块一：基本概念1定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径；圆O记作O2相关概念：（1）弧： 半圆、优弧、劣弧：_；（2）弦： 直径：_；（3）弦心距：_叫做弦心距；（4）圆心角： （5）圆周角： （6）弓形： 弓形的高：板块二：基本性质1对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，其对称中心为圆心；2旋转不变性：内容:在同圆或等圆中，如果两组圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量都分别相等板块三：重要定理垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧1过圆心的直线2垂直于弦3平分弦4平分弦所对的优弧5平分弦所对的劣弧板块四、面积、弧长相关计算1 弧长 2 2.扇形面积：；3.圆锥的侧面积： 4阴影面积： （1）直接求；（2）转化为易求面积的和或者差例题精讲例1.如图，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是 例2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC长为_例3.如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，若AB=10，CD=8，则线段OE的长为_例4如图，是一条铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水最深为_米例5已知：O的半径为13cm，弦ABCD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为（ ） A17cm B7cm C12cm D17cm或7cm例6.如图，ABC内接于O，D为线段AB的中点，延长OD交O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论（1）ABDE，AE=BE，OD=DE，AEO=C， = 正确结论的个数是（ ）A2 B3 C4 D5例7.点P是O内的一点，OP=4cm，圆的半径是5cm求过点P的最长弦和最短弦的长例8.如图，AD、BC是O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD9（2011福建）如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60的扇形ABC那么剪下的扇形ABC（阴影部分）的面积为 ； 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r= 10（2011福建）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60，此时点B到了点B，则图中阴影部分的面积是（ ）A3pB6p C5pD4p 考点一：圆的对称性出题类型一：圆的轴对称性 圆是轴对称图形，图的直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴【例题】圆的对称轴是 出题类型二：圆的中心对称 圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，将圆绕中心旋转任意度数，所得图形都与原图形重合。【例题】同心圆是指 的圆，等圆是指 的圆 考点二：点与圆的位置关系出题类型：判断点的位置 点与圆有三种位置关系：在圆上，在圆内，在圆外，通过点与圆心的距离可加以判断【例题】已知三角形ABC边长BC=12，AC=5，C=90，D为BCAC中点，以A为圆心，5为半径画圆，则B点在圆 ，以B为圆心，以12为半径画圆，则A点在圆 ，以D为圆心，6.5为半径画圆，则C点在圆 AOBC考点三：优弧与劣弧出题类型一：表示出图中的优弧与劣弧 优弧是指大于半圆的弧，劣弧是指小于半圆的弧，半圆不是优弧也不是劣弧【例题】表示出图中的各个弧出题类型二：找出各个弦所对的弧 一般来说，每条线所对的弧有两条，除直径外，弦所对的两条弧为一优弧与一劣弧【例题】找出图中所有的弦，并写出弦所对的弧 考点四：垂径定理出题类型一：根据垂径定理的定义进行判断【例题】下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【同类变式】下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧出题类型二：根据垂径定理计算线段长【例题】.在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是_cm.ABDCEO【同类变式】.如图，已知O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30，求CD的长.出题类型三：根据垂径定理计算角的度数【例题】、已知：在中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径. 出题类型四：利用垂径定理进行证明【例题】如图，已知在中，弦，且，垂足为，于，于.（1）求证：四边形是正方形.（2）若，求圆心到弦和的距离.考点五：垂径定理的推论出题类型一:根据直径平分弦得出垂直的关系 根据垂径定理的推论，平分弦的直径垂直线，平且平分弦所对的两条弧【例题】：如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.求证：AMNCNM DCBAOMN出题类型二:根据直径平分弧得出垂直的关系 根据垂径定理的推论，平分弧的直径平分弧所对的弦，平且垂直于这条弦【例题】： 如图，的直径平分弧CD,，相交于点，求，的度数出题类型三：拱桥问题 拱桥中会遇到求拱桥的高，拱桥的半径，车或轮船能否通过等问题【例题】.如图，有一圆弧形拱桥，桥的跨度，拱高，则拱桥的半径是【同类变式1】如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？【同类变式2】.某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面2m,半径为1.5m,一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗? 考点六：圆心角定理 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。出题类型一：利用定理判断命题的正确性【例题】.下列说法正确的是（ ）A.相等的圆心角所对的弧相等。B.相等的圆心角所对的弦相等。C.度数相等的两条弧相等。D.相等的圆心角所对的弧的度数相等。出题类型二：运用定理证明弧相等【例题】.已知如图，12求证：ABDC12O【同类变式1】.如图，已知AB、CD为的两条直径，弦DEAB求证：【同类变式2】如图，AB为直径，OCAB,EF过CO的中点D且EFAB求证：出题类型三：运用定理证明弦相等【例题】已知：如图， AB为的弦，E、F是AB上的两点，且,OE、OF分别交AB于点C、D，求证：AC=BD考点七：圆心角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等如图所示，OEAB于E，OFCD于F，若下列四个等式：AOB=COD；AB=CD；OEOF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若成立，成立；若成立，成立；若成立，成立；若成立，成立前提条件：在同圆或等圆中！出题类型一：利用圆心角定理推论进行证明利用圆心角相等进行证明【例题】已知：如图, AB、DE是O的两条直径，C是O上一点，且。求证：BE=CE CEBDAO利用弧相等进行证明【例题】已知：如图，在中，弦求证： BADC 利用弦心距相等进行证明【例题】.如图A与B是两个等圆,直线CFAB,分别交A于点C、D，交B于点E、F。求证：CAD=EBF AAAAAAABCDEF【同类变式】.如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。求证：CD=EF 出题类型二：利用圆心角定理推论进行计算 弧的度数等于弧所对圆心角的度数。【例题】在中,BC为的一条弦且等于的半径,则BC的度数是 【同类变式1】AB是O的直径，AC、AD是O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求DAC的度数【同类变式2】如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？【总结】：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。如下表：在同圆或等圆中如果弧相等 弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果弦相等弦所对的圆心角相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果弦心距相等 弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等考点八：圆周角与圆心角的关系 圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半出题类型一：运用圆心角与圆周角的关系求角的度数AOBCAOCB【例题】：如图，直径垂直于弦，垂足为，则的度数为，的度数为，的度数为，的度数为来源:学|科|网Z|X|X|KABCOD【同类变式】1.如图，在O中，BAC=32，则BOC=_。 2.如图，O中，ACB = 130，则AOB=_ 出题类型二：运用同弧所对的圆周角相等来求角的度数【例题】如图，在O中，A = 40，则BOC = _，BDC=_。【同类变式1】如图1，内接于，点，分别在和上，若，则，【同类变式2】. 如图2，是的直径，弦与相交于点，则下列结论一定成立的是（）【同类变式3】. 如图，已知圆心角AOB=100，求圆周角ACB、ADB的度数？【同类变式4】.一条弧所对的圆周角为80，它所对的圆心角是_度，它所含的圆周角是_出题类型三：运用弦与弧之间的关系求圆心角与圆周角的度数【例题】例题已知O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数【同类变式】一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数出题类型四：运用同弧所对圆周角相等进行证明【例题】. 如图，已知是外任意一点，过点作直线，分别交于点，求证：（的度数的度数）【同类变式1】已知：如图，在ABC中，AD，BD分别平分BAC和ABC，延长AD交ABC的外接圆于E，连接BE求证：BE=DE【同类变式2】如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD. (1)P是上一点(不与C、D重合),试判断CPD与COB的大小关系, 并说明理由. (2)点P在劣弧CD上(不与C、D重合时),CPD与COB有什么数量关系?请证明你的结论.考点九：圆周角定理 圆周角定理：直径多对的圆周角是直角，圆周角是直角时所对的弦是直径。出题类型一：通过构造直角三角形，得出两角互余【例题】如图，为的直径，垂足为，与交于（1）求证：；（2）若，把半圆三等分，求的长【同类变式1】已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是中点，DEAB于E，交AC于F，DB交AC于G求证：AF=FG 【同类变式2】已知BC为半圆O的直径，ADBC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AEBE，求证： 出题类型二：通过构造直角三角形，利用勾股定理进行求解【例题】如图所示，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于D，BC=4cm（1）求证：ACOD； （2）求OD的长； 【同类变式1】如图，已知在中，直径为10cm，弦为6cm，的平分线交于求，和的长【同类变式2】如图，AB是O的直径，CDAB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长【同类变式3】如图，O的半径为R，弦AB=a，弦BCOA，求AC的长考点十：圆内接多边形 初中阶段常见的圆内接多边形为内接三角形与内接四边形出题类型一：圆内接三角形【例题】：如图，等边三角形ABC内接于O,连结OA,OB,OC AOB 、COB、 AOC分别为多少度？延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形是哪一种特殊三角形？判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。若O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？若等边三角形ABC的边长r,求O的半径为多少？【同类变式】如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上一点，且，是延长线上一点，与半圆相交于点，如果，则，出题类型二：圆内接四边形【例题】如图，四边形内接于，若，则的度数（）【同类变式1】. 如图，圆内接四边形的对角线，把四边形的四个内角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有（）1对2对3对4对【同类变式2】. 如图，则，【同类变式3】如图，O的内接正方形ABCD边长为1，P为圆周上与A，B，C，D不重合的任意点求PA2PB2PC2PD2的值出题类型三：圆内接多边形【例题】如图，若五边形ABCDE是O的内接正五边形，则BOC=_，ABE=_，ADC=_，ABC=_【同类变式】如图，若六边形ABCDEF是O的内接正六边形，则AED=_，FAE=_，DAB=_，EFA=_考点十一：弧，弦，圆心角，圆周角的关系出题类型：综合利用弧，弦，圆心角，圆周角的关系进行计算证明，此类题目一般要求较高， 学生需准确理解各个数学量之间的关系【例题】已知：如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，M为上一点，AM的延长线交DC于F求证：AMD=FMCEDBAOC【同类变式1】（2008广东湛江）如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC、OC、BC（1）求证：ACO=BCD （2）若EB=，CD=，求O的直径ACBDE【同类变式2】（2008陕西）如图，在RtABC中，ACB90，AC5，CB12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。（1）求证：ACAE；（2）求ACD外接圆的半径。考点十二：扇形的弧长与面积 出题类型一：求弧长 弧长L的计算公式 L=,其中R为圆的半径，n为弧所对圆心角的度数【例题】.如果一条弧长等于，它的半径等于，这条弧所对的圆心角增加，则它的弧长变为 【同类变式1】 在半径为3的中，弦，则的长为（ ）【同类变式2】.(2010年广东省广州市）一个扇形的圆心角为90半径为2，则这个扇形的弧长为_(结果保留)【同类变式3】 （2009钦州）如图，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为（ ）A.10cm B.3.5cm C.4.5cm D.2.5cm 【同类变式4】(2009年牡丹江市)如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的），点是这段弧的圆心，是上一点，AOCBD5，垂足为，则这段弯路的半径是 m出题类型二：求面积扇形面积的求法S=LR，其中S为扇形面积，R为圆半径，n为圆心角度数，L为弧长度【例题】（2008孝感）RtABC中，C90，AC8，BC6，两等圆A、B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为【 】A.B.C.D.【同类变式1】如果扇形所在圆的半径是6cm ,圆心角是60，那么这个扇形的面积是多少？CABS1S2【同类变式2】如图，是半圆的直径，以为圆心，为半径的半圆交于，两点，弦是小半圆的切线，为切点，若，则图中阴影部分的面积为【同类变式3】(2009年湖州)如图，已知在中，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 【同类变式4】（2009年广西梧州）一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120，则扇形的面积是 cm2考点十三：圆锥的侧面积与全面积出题类型一：求圆锥的高或底面半径记圆锥的母线长为L，底面圆半径为r，高为h,则满足直角三角形的勾股定理：2米1米【例题】：如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞高是 出题类型一：求圆锥的侧面积与全面积圆锥的侧面积 圆锥的全面积将扇形卷为一圆锥，则扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长为圆锥底面圆周长。【例题】：（2009年济宁市）一个几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体的侧面积是 A. 4 B.6 C. 8 D. 12 323【同类变式1】：（2009年湖北十堰市）如图，已知RtABC中，ACB=90，AC= 4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ABC旋转一周，则所得几何体的表面积