2020年高三年级第一次模拟数学（理科）试题试卷PDF版—附解析答案

2020 年高考模拟检测 一 年高考模拟检测 一 数学 理科 参考答案数学 理科 参考答案 1 命题立意 本题考察用描述法表示集合时集合交集运算 综合考察集合的表 示和绝对值不等式的解法 属于简单题 体现了数学运算的核心素养 解析 解不等式51 x得 46 xxA易得 04 ABxx 故选 C 2 命题立意 本题考察了复数的除法运算和复数的模的计算 属于简单题 体 现了数学运算的核心素养 解析 22 22 1 1 2 1 1112 1 1 1 iii i ZiZiiiZ iii 故选C 3 命题立意 本题考察向量数量积的坐标运算和向量垂直的充要条件 属于简 单题 体现了直观想象 数学运算的核心素养 解析 由题知 2a c 7 2 2a c b 7m 14 0 m 2 故选 A 4 命题立意 本题考查归纳推理 体现了逻辑推理与数据分析等核心素养 解析 根据题意可得到 这个数列从第三项起 每一项等于其前相邻两项的和 所以此数列为 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 第八项为 47 即 88 47ab 选 A 5 命题立意 本题考查样本估计总体 体现了数据分析 直观想象等核心素养 解析 由选项知甲乙的平均数相同 实际 甲得分分别为 10 13 12 14 16 乙得分分别为 13 14 12 12 14 经计算甲乙的平均数均为 13 图中明显实线波动较大 方差大 从折线图看甲 的成绩基本呈上升状态 而乙的成绩上下波动 可知甲的成绩在不断提高 而乙的成绩无明 显提高 选 C 6 命题立意 本题考查充分必要条件和直线和圆的位置关系问题的综合 体现 了逻辑推理的核心素养 解析 q 由直线y k 2与圆 2 y2 1相切 所以 2 2 13 1 k k 又 p k 3 q 3k 所以 p 是 q 的充分不必要条件 故选 C 7 7 命题立意 命题立意 本题考查了指数函数 对数函数的图像及分段函数 函数图像变 换等知识点 体现了直观想象 逻辑推理 数学抽象等核心素养 解析 解析 1 1 由 1 1 3 3 0 log 1 0 x x f x xx 得 1 1 3 1 0 3 log 1 0 x x yfx xx 作 1 3 x y 的图像 然后向右平移 1 个单位 保留0 x 的部分 作 1 3 logyx 的图像 向左平移 1 个单位后再关于 y 轴对称 或关于 y 轴对称后再右移 1 个单位 保留0 x 的部分 选 D 解析 解析 2 2 取0 x 得 0 3yf 排 A C 取1x 得 1 1yf 排 B 选 D 8 命题立意 本题考察任意角三角函数的定义 诱导公式及二倍角公式 属于 中等难度 体现了逻辑推理 数学运算的核心素养 解析 1 由角 的终边在直线xy3 上得3tan 2 2 cos 2 3 1tan tan2 cossin cossin2 cossin22sin 22 选 B 解析 2 由角 的终边在直线xy3 上得tan30 sin 与cos 同号 又cos 2 sin22sincos0 2 所以选 B 9 命题立意 命题立意 本题考查了椭圆的定义及简单性质 发现 212 PFFF 是快速解题的 关键 体现了数学运算 逻辑推理等核心素养 解析解析 由已知2a 2 2 c e a 得2c 又 1 3PF 由椭圆定义得 21 21PFaPF 又 222 1 2 2 3 所以 212 PFFF 所以 1 2 2 PF F S 选 B 10 命题立意 本题考察与正弦型函数的有关概念及性质及正弦型函数在闭区 间上的最值 属于中等难度题 体现了直观想象 逻辑推理和数学运算的核心 素养 解析 由已知得 2 22 3sin 3 8 T T sin 2 1 8 又 2 所以 4 所以 3sin 2 4 f xx 因为 x 12 4 得 4 3 4 2 12 x 故2 42 x 即 8 x 时 xf的最大值为 3 选 A 11 11 命题立意 命题立意 本题考查了双曲线的离心率 渐近线 三角形的边角关系等不本题考查了双曲线的离心率 渐近线 三角形的边角关系等不 同章节知识的综合应用 体现了逻辑推理 直观想象 数学运算等核心素养 解析解析 选 D 易得 21 2PFb OPa PFb 在 2 POF中 2 2 cos OPa POF OFc 在 1 POF中 222 1 4 cos 2 acb POF ac 由 21 coscos0POFPOF 得 222 4 0 2 acba acc 从而求得 21 3 e 选D 12 12 命题立意 命题立意 本题考查了函数图像 导数几何意义 导数及函数图像的综合 应用等知识点和方法 体现了逻辑推理 直观想象 数学运算等核心素养 解析解析 直线1ykx 与 f x的图像有四个交点 先考虑直线1ykx 与函数 2 3 0 2 f xxx x 相切 消去 y 得 2 3 10 2 xk x 由0 得 1 2 k 或 7 2 k 舍去 再考虑直线 1ykx 与函数 ln2 0 f xxxx x 相切 设切点为 00 xy 由导数几何意义 得 0000 00 0 ln2 1 ln1 yxxx ykx kx 解得 0 1 1xk 结合图像有 1 1 2 k 选 A 13 13 命题立意 本题考查几何概型和模拟实验 部分估计整体 体现了数学建 命题立意 本题考查几何概型和模拟实验 部分估计整体 体现了数学建 模 数学运算等核心素养模 数学运算等核心素养 解析解析 4 9 400 225 22 S S 14 14 命题立意 命题立意 本题考查函数奇偶性与周期性 求函数的值 体现了数学抽象 数学运算 逻辑推理等核心素养 解析 解析 由 f x 是定义在R上的奇函数得 fxf x 且 0 0f 又 1 1 f xf x 所以 f x是以 为周期的周期函数 因此 4 0 0ff 2 9111 log 2 4444 fff 故 9 4 2 4 ff 15 15 命题立意 本题考察了解三角形问题 即正弦定理 三角恒等变换 数形 结合思想及函数方程思想 要注意充分利用图形特征 体现了直观想象 数学 运算等核心素养 答案 8 3 5 4 33 10 解析 如图 在BCD 中 由正弦定理有 sinsin BDBC ACBBDC 而 4 3 3 ABBCBDC 22 5AC AB BC 4 sin 5 AB ACB AC 所以 8 3 5 BD 又 43 sin cos 55 BCAB ACBACB ACAC coscos cos CBDBDCACBBDCACB 34 34 33 coscossinsin 33101010 ACBACB 16 命题立意 本题考察异面直线所成角的定义及其解三角形 体现了直观想 象 数学运算 逻辑推理的核心素养 解析 取 BC 的中点 F 连接 AF EF 易知AEF 即为 AE 和 PB 所成角 在三 角形 AEF 中易知 AE 2 EF 2 AF 3 由余弦定理得 1 cos 4 AEF 17 命题立意 本题第一问考察线面垂直的判定定理 第二问考察二面角的余 弦值计算 属简单题 第一问用几何法较为简单 第二问可以建立空间直角坐 标系用向量法解较为简单 体现了直观想象 逻辑推理和数学运算的核心素养 解析 1 证明 底面为正方形 又 平面 3 分 同理 平面 6 分 2 建立如图的空间直角坐标系 不妨设正方形的边长为 2 则 8 分 设 y z nx 为平面的一个法向量 又 0 1 1 2 0 0 AEAB 令 得 0 1 1 n 同理 1 0 2 n 是平面的一个法向量 10 分 则 二面角的余弦值为 12 分 18 命题立意 本题考查独立事件的概率计算 离散型随机变量的分布列和期 望 体现了数据分析 数学抽象 数学运算等核心素养 解析 1 设 中国队获胜 为事件 A 中国队以 3 0 胜利 为事件 A1 中国队以 3 1 胜利 为事件 A2 中国队以 3 2 胜利 为事件 A3 由题意知 各局比赛结果相互独立 3 1 3108 A 4256 P 1 分 22 23 31381 A 444256 PC 3 分 222 34 31236 A 443256 PC 5 分 所以 123 1088136225 A A A A 256256256256 PPPP 6 分 ABCDBCAB BCPB ABPBB BC PAB BCPA CDPA BCCDC PA ABCD Axyz 0 0 0 2 2 0 0 1 1 2 0 0ACEB ABE 0 20 AEyz ABx n n 1 1yz BCE 210 cos 525 m n m n m n ABEC 5 10 2 由题意得 X 的取值为 0 1 2 3 12 10881189 0 A A 256256256 p XPP 3 36 1 A 256 p XP 22 2 4 13118 2 443256 p XC 2 2 3 11113113 3 444444256 p XC 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 p 256 189 256 36 256 18 256 13 361813111 123 256256256256 E X 12 分 19 命题立意 本题考查递推数列求通项 列项相消求和 体现了数学抽象 逻辑推理 数学运算等核心素养 解析 1 11 2 202 nn aaannnN 当2n 时 1 12 32 21 2 21 23 22 nn nn aan aan aa aa 1 2132 n aann 1 2132 121 2 n n n annn n 5 分 当1n 时 1 11 12a 也满足上式 数列 n a 的通项公式为 1 n an n 6 分 2 122 111 n nnn b aaa 111 1223221nnnnnn 111111 1223221nnnnnn 2 11 121231 n nnnn 12 分 20 命题立意 本题考查了导数与函数单调性的关系 构造函数 导数研究函 数的性质 隐零点的探索和隐零点代换等知识点 体现了数学运算 逻辑推理 等核心素养 解析 解析 1 f x的定义域为 2 且 1 2 fxb x 2 分 当0b 时 显然 0fx 所以 f x在 2 上单调递增 3 分 当0b 时 令 0fx 得 1 22x b 则有 x 1 2 2 b 1 2 b 1 2 b fx 正 0 负 f x 极大值 即 f x在 1 2 2 b 上单调递增 在 1 2 b 上单调递减 5 分 综上 当0b 时 f x在 2 上单调递增 当0b 时 f x在 1 2 2 b 上单调递增 在 1 2 b 上单调递减 6 分 2 当0b 时 ln 2 f xxa 又 1 x g xe 对 2 x 有 2 f x g x x 成立 2 1 ln 2 x axex 在 2 上恒成立 令 2 1 ln 2 x F xxex 2x 只需 min aF x 8 分 111 1 2 3 1 3 222 xxxx F xexexexe xxx 2x 30 x 令 1 2 2 x h xex x 由于 2 1 0 2 x h xe x 所以 h x在 2 上单调递增 又 11 1 10 0 10 2 hh e 存在唯一的 0 2 x 使得 0 0 0 1 0 2 x h xe x 10 分 由 0 0 0 1 0 2 x h xe x 得 0 0 2 1 x xe 两边取自然对数得 00 ln 2 0 xx x 0 2 x 0 x 0 x F x 负 0 正 F x 极小值 00 min000000 2 1 ln 2 2 2ln 2 1 xx F xF xxexxexx 所以1a 即a的最大值为1 12 分 21 命题立意 本题考查了轨迹方程的求法 方程思想 整体代换 设而不求 直径圆的方程等知识点 体现了数学抽象 数学运算 逻辑推理等核心素养 解析 解析 1 圆 22 2 2 3 20 1 1 44 xyxyx 1 分 设动圆Q圆心坐标为 Q x y 注意到已知圆在直线 1 0 2 x 的左侧 因为动圆Q与直线 1 0 2 x 相切 且与已知圆外切 显然0 x 所以 2 2 11 11 0 22 xyxxx 3 分 两边平方整理得 2 4yx 所以动圆Q圆心轨迹C的方程为 2 4yx 5 分 2 由题意可设直线 10AB xmym 代入 2 4yx 得 2 440ymy 设 22 12 12 44 yy AyBy 则 1212 4 4yym y y 6 分 设直线 AP BP的斜率分别为 12 k k 又 1 2P 则 1 12 11 24 2 1 4 y k yy 同理 2 2 4 2 k y 设 1 1 ST SyTy 又AP直线 11 1 1 ss yyk xyyk x 过 1 2P 1 111 48 2 22 2 222 2 S y y yyy 同理 2 22 22 22 8 2 T y y yy 8 分 从而 1212 12 121212 42422 22442 44 4 222442 44 ST y yyyyym y y yyy yyym 12 88 22 22 ST yy yy 12 11 48 22yy 12 1212 84 4 24 yy y yyy 8 444 4 4244 m mm 9 分 又以ST为直径的圆的方程为 2 10 ST xyyyy 即 2 2 10 STST yyyyy yx 即 22 4 230 xxyy m 11 分 圆方程与m取值无关 则0y 由方程 得 2 230 xx 解得3x 或1x 从而以ST为直径的圆恒过定点 3 0 和 1 0 12 分 22 命题立意 本题考查了极坐标与参数方程的基本概念 极坐标与直角坐标 方程的互化 参数方程与普通方程的互化 直线参数方程中的参数几何意义求 弦长等知识点 体现了数学运算 逻辑推理等核心素养 解析 解析 1 由直线l极坐标方程为 2 sin 42 即 222 sincos 222 根据极坐标与直角坐标的互化公式