2020届高三上学期期末考试数学理试题试卷—附定稿答案

理科数学试卷 第 1 页 共 1 页 绝密绝密 启用前启用前 2020年高三期末考试试卷 理科数学 2020 本试卷共 23 题 共 150 分 共 8 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生先将自己的姓名 准考证号码填写清楚 将条形码粘贴在条形码区 域内 2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂 非选择题必须使用 0 5 毫米的黑色字迹的签字笔书 写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答 超出答题区域书写的答案无 效 在草稿纸 试卷上答题无效 4 作图可先使用铅笔画出 确定后必须黑色字迹的签字笔描黑 5 保持卡面清洁 不要折叠 不要弄破 弄皱 不准使用涂改液 修正带 刮纸刀 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 2 230 Ax xx lg1 Bxx 则集合 RA B A 0 10 B C 0 10 D 0 1 2 若复数 2 34 ai i 为纯虚数 i是虚数单位 则实数a A 3 2 B 3 2 C 8 3 D 8 3 理科数学试卷 第 2 页 共 2 页 3 下表是某城市在 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温 C 的数据表 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 12 3 1 2 7 17 19 23 25 10 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系 根据该表 则下列结论错误的是 A 最低温与最高温为正相关 B 每月最低温与最高温的平均值在前 8 个月逐月增加 C 月温差 最高温减最低温 的最大值出现在 1 月 D 1 至 4 月温差 最高温减最低温 相对于 7 至 10 月 波动性更大 4 设函数 22 sincosf xxx 则下列结论正确的是 A f x 的最小正周期为2 B f x 的一个零点为 3 4 C f x 在 2 上单调递增 D f x的图像关于直线 5 4 x 对称 5 函数 x x xxfln 1 的图象大致是 6 设 表示三个不同的平面 m n l表示三条不同的直线 则 的 一个充分条件是 A B m n C l m n lm ln D mm 理科数学试卷 第 3 页 共 3 页 7 已知 为圆周率 e为自然对数的底数 则 A 3 ee B 22 33 ee C 3 log3logee D 3 loglogee 8 已知双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分别为 21 F F 过 2 F的直线交双 曲线右支于 P Q两点 且 1 PQPF 若 4 3 1 PFPQ 则该双曲线离心率e A 10 3 B 10 5 C 17 3 D 37 5 9 设抛物线 2 0 C xpy p 焦点为F 点M在C上 且 3MF 若以MF为直径 的圆过点 2 0 则C的方程为 A 2 4xy 或 2 8xy B 2 2xy 或 2 4xy C 2 4xy 或 2 16xy D 2 2xy 或 2 16xy 10 31N 猜想 是指对于每一个正整数n 若n为偶数 则让它变成 2 n 若n为奇 数 则让它变成31n 如此循环 最终都会变成 1 若数字 4 5 6 7 8 按照以上 的规则进行变换 则变换次数为偶数的概率是 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 11 在三棱锥PABC 中 ABC 与PBC 均为边长为 1 的等边三角形 PA BC 四点在球O的球面上 当三棱锥PABC 的体积最大时 则球O的表面积为 A 5 3 B 2 C 5 D 20 3 12 设曲线 1 1 0 x m Cyem 上一点 11 A x y 曲线 2 lnCyx 上一点 22 B xy 当 12 yy 时 对于任意 1 x 2 x 都有 2 ABe 恒成立 则m的最小值为 A 1 B e C 1e D 2 1e 理科数学试卷 第 4 页 共 4 页 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 设 a b c 是单位向量 ca cb a b 的夹角为60 则 a b c 14 关于圆周率 数学发展史上出现过许多很有创意的求法 如著名的蒲丰实验和查理 斯实验 受其启发 我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值 先请 200 名同学 每人随机写下一个都小于 1 的正实数对 x y 再统计两数能与 1 构成钝角三角形三 边的数对 x y的个数m 最后再根据统计数m来估计 的值 假如统计结果是 60m 那么可以估计 15 现代足球运动是世上开展得最广泛 影响最大的运动项目 有人称它为 世界第一运动 早在 2000 多年前的春秋战 国时代 就有了一种球类游戏 蹴鞠 后来经过阿拉伯人 传到欧洲 发展成现代足球 1863 年 10 月 26 日 英国人 在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织 英国足球协会 并统一了足球规则 人 们称这一天是现代足球的诞生日 如图所示 足球表面是由若干黑色正五边形和白色 正六边形皮围成的 我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面 任何相邻两个 面的公共边叫做足球的棱 已知足球表面中的正六边形的面为 20 个 则该足球表面 中的正五边形的面为 个 该足球表面的棱为 条 本题第一空 2 分 第二空 3 分 16 已知等差数列 n a中 首项 1 2 a 公差0d 若 123 n kkkk aaaa 成等比数 列 且 123 1 3 11kkk 则数列 n k的通项公式是 理科数学试卷 第 5 页 共 5 页 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 1717 2121 题为必题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第考题 每个试题考生都必须作答 第 2222 2323 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 6060 分分 17 12 分 ABC 的内角 A B C所对的边分别为 a b c 且满足 cos3cos 3 cosaBCcbA 1 求 c b 的值 2 若角 2 3 C 4a 求ABC 的周长 18 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 PD 平面ABCD ABCD是平行四边形 2AC ABAD ACBD 交于点O E是PB上一点 1 求证 ACDE 2 已知二面角APBD 的余弦值为 3 4 若E为PB的中点 求EC与平面PAB所 成角的正弦值 理科数学试卷 第 6 页 共 6 页 19 12 分 在新中国成立七十周年之际 赤峰市某中学的数学课题研究小组 在某一个社区设计了 一个调查 在每天晚上 7 30 10 00 共 2 5 小时内 居民浏览 学习强国 的时间 如 果这个社区共有成人按 10000 人计算 每人每天晚上 7 30 10 00 期间打开 学习强国 APP 的概率均为p 某人在某一时刻打开 学习强国 的概率p 学习时长 调查总时长 01p 并且是否打开进行学习是彼此相互独立的 他们统计了其中 100 名成人每天 晚上浏览 学习强国 的时间 单位 min 得到下面的频数表 学习时长 min 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 频数 10 20 40 20 10 以样本中 100 名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间 1 试估计p的值 2 设X表示这个社区每天晚上打开 学习强国 进行学习的人数 求X的数学期望 E X和方差 D X 若随机变量Z满足 XE X Z D X 可认为 0 1 ZN 假设当49505100X 时 表示社区处于最佳的学习氛围 试由此估计 该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间 长度 结果保留为整数 附附 若 2 ZN 则 0 6827 220 9545 PZPZ 330 9973 PZ 理科数学试卷 第 7 页 共 7 页 20 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 经过点 6 0 A和 2 1 B 1 求椭圆E的标准方程 2 过 1 0 P的直线MN交椭圆E于M N两点 若 m n分别为BM BN 的最大 值和最小值 求 m n的值 21 12 分 已知函数 2 ln 1 1 x e f xax ax x a为常数 当 1 3 x 时 f x有三个极值点 123 x x x 其中 123 xxx 1 求实数a的取值范围 2 求证 1 313 x xxx 理科数学试卷 第 8 页 共 8 页 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 二题中任选一题做答 如果多做 则按 所做的第一题计分 做答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22 10 分 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线C的极坐标方程为 2 4 3cos2 以极点为原点 以极轴所在直 线为x轴建立直角坐标系 曲线C分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于点 A B P为直线 AB上任意一点 点Q在射线OP上运动 且2OPOQ 1 求曲线C的直角坐标方程 2 求点Q轨迹围成的面积 23 10 分 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 设函数 3 f xxmxm mN 存在实数x 使得 4f x 成立 1 求不等式 2f xx 的解集 2 若3 3ab 且满足 12f af b 求证 419 10ab 理科数学答案 第 1 页 共 1 页 2020年高三期末考试试卷 理科数学参考答案 2020 说明 说明 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 A 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B 11 A 12 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 A 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B 11 A 12 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 2 14 16 5 或写成3 2 15 12 90 16 21 21 3 n n knN 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 解 1 由题设及正弦定理得 sincos3cossin3sincossincosABCACABA 2 分 整理得 sincos sincos3sincos 3cossinABBACACA sin 3sin ABCA 4 分 180ABC sin3sinCB 由正弦定理得3 c b 6 分 2 由已知及余弦定理得 222 24 cos 32 4 bc b 8 分 3cb 222 491 2 42 bb b 理科数学答案 第 2 页 共 2 页 2 240bb 1 33 4 b 10 分 ABC 的周长为 133 44 44533 4 abcb 12 分 18 12 分 1 PD 平面ABCD PDAC 又 四边形ABCD为菱形 BDAC 又BDPDD AC 平面PBD DE 平面PBD ACDE 5 分 2 连OE 在PBD 中 OEPD OE 平面ABCD 分别以OA OB OE 为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 设PDt 则 1 0 0A 0 3 0B 1 0 0C 0 0 2 t E 0 3 Pt 7 分 由 1 知 平面PBD的一个法向量为 1 1 0 0n 设平面PAB的一个法向量为 2 nx y z 则 2 2 0 0 nAB nAP 即 30 30 xy xytz 令1y 则 2 2 3 3 1 n t 9 分 二面角A PBD 的余弦值为 3 4 12 2 33 cos 3 412 4 n nt t 理科数学答案 第 3 页 共 3 页 设EC与平面PAB所成角为 3 1 0 2 EC 2 2 3 3 1 3 n 2 33 2 33 sincos 13 1394134 14 4323 EC n 12 分 19 12 分 解 1 该社区内的成人每天晚上打开 学习强国 的平均时间为 55 0 1 65 0 2 75 0 4 85 0 2 95 0 1 75 min 而调查总时长为 150 min 故 751 1502 p 5 分 2 根据题意 1 10000 2 XB 故 111 100005000 1 100002500 222 E XnpD Xnpp 7 分 50001 100 502500 X ZX 当49505100X 时 12Z 0 1 ZN 0 95450 6827 12 20 9545 0 8186 2 PZPZ 故 49505100 120 8186 PZPZ 10 分 所以估计 该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为 150 0 8186123 min 12 分 20 12 分 解 1 由椭圆 22 22 1 xy E ab 的右顶点为 6 0 A 得 2 6a 2 分 又椭圆 22 22 1 xy E ab 过点 2 1 B 则 2 4 6 1 1 b 解得 2 3b 椭圆E的标准方程为 22 1 63 xy 5 分 理科数学答案 第 4 页 共 4 页 2 当直线MN斜率存在时 设MN的方程为 1122 1 yk xM x yN xy 由 22 1 63 1 xy yk x 得 2 22 216xkx 即 2222 124260kxk xk 6 分 1 0 在椭圆内部 0 2 12 2 2 1 1 2 4 12 26 21 k xx k k x x k 7 分 1212 2211BMBNxxyy 121212 2411x xxxkxkkxk 222 1212 1225kx xkkxxkk 8 分 将 代入 得 22 222 22 264 1225 2121 kk BM BNkkkkk kk tBM BN 2 2 1521 21 kk t k 9 分 2 152210 t kktkR 2 24 15210tt 215110tt 即 2 213160tt 又 m n是 2 213160tt 两个根 13 2 mn 10 分 当直线MN斜率不存在时 联立 22 1 63 1 xy x 得 10 2 y 理科数学答案 第 5 页 共 5 页 不妨设 1010 1 1 22 MN 10 3 1 2 BM 10 3 1 2 BN 1015 91 42 BM BN 可知 15 2 nm 综上得 13 2 mn 12 分 21 12 分 解 1 函数 f x函数的定义域为 1 由 2 ln 1 1 x e f xax ax x 得 2 2 2 1 x eax ax fx x 令 0fx 得 2x是一个根 要使 f x在 1 3 上有三个极值点 123 x x x 则 0fx 有三个解 所以 2 0 x eax a 在 1 3 必有 2 个解 13 x x 2 1 x e a x 令 2 1 x e g x x 则 2 2 2 1 x ex g x x 由 0 13 gx x 得23x 由 0 13 gx x 得12x 3 分 g x 在 1 2 上单调递减 2 3 上单调递增 min 2 1g xg 当1x 时 g x 3 2 e g 为了满足题意 必有1 2 e a a 的取值范围为1 2 e a 6 分 另另解解注注 g x 在 1 2 上单调递减 2 3 上单调递增 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 3 1 2 222 e e eeee ggge e e 当1 2 e a 时 ya 与 2 1 x e g x x 在 1 2 和 2 3 上各有一个公共点 即两个公共点 理科数学答案 第 6 页 共 6 页 当 1a时 只有一个公共点 当1a 时 无公共点 当 2 e a 时 只在 1 2 上有一个公共点 综上 a的取值范围为1 2 e a 2 解法一 由 1 知 13 x x是方程 2 0 x eax a 在 1 3 内的 2 个解 31 22 13 xx eaxa eaxa 由 1 13 3 2 1 2 3 1 1 x xx x xe e ex 令 1 1x 3 1x 则e 即 lnln 1 要证 1 313 x xxx 只要证1 1 01 2 结合函数lnyx 的图像知 两点 11 ln ln 连线的斜率比两点 ln ln 连线的斜率小 即只要证 1 lnln 1 12ln0 01 1 就行 令 1 2ln 01 h 2 22 12 1 10h h 在 0 1 单调递减 1 0hh 1 313 x xxx 解法二 由 1 知 123 123xxx 令1xu 则 11 1xu 22 1xu 于是 1 u e g xh u u 由 1 知 h u在 0 1 单调递减 在 1 2 单调递增 13 012uu 则 1 1 1 u 8 分 理科数学答案 第 7 页 共 7 页 111 1 1 1 1 11 1 11 111 1 1 1 uuu u eee gg uu e uuu u 令 1 1 1 1 1 11 1 u u e F uu e u 则 11