2020年中学生标准学术能力诊断性测试数学（理）试题（一卷）—附答案

第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 理科数学试卷 一卷 理科数学试卷 一卷 本试卷共本试卷共 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 若集合 12Axx 2 0 1 2B 则AB A B 0 1 C 0 1 2 D 2 0 1 2 2 若 2 5i z 则z的虚部为 A 1 B 1 C i D i 3 已知双曲线 22 2 10 2 xy b b 的两条渐近线互相垂直 则b A 1 B 2 C 3 D 2 4 由两个 1 4 圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 3 B 2 C D 2 5 函数 x exxxf 2 2 的图象可能是 A B C D 6 已知关于x的不等式 2 230axxa 在 0 2 上有解 则实数a的取值范围是 A 3 3 B 4 7 C 3 3 D 4 7 7 已知a b为实数 则01ba 是loglog ab ba 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知随机变量 的分布列如下表所示 则 A EEDD B EEDD C EEDD D EEDD 9 在ABC 中 若2AB BCBC CACA AB 则 AB BC A 1 B 2 2 C 3 2 D 6 2 10 在矩形ABCD中 已知3 4ABAD E是边BC上的点 1EC EFCD 将平面EFDC绕EF旋转 90后记为平面 直线AB绕AE旋转一周 则旋转过程中直线AB与平面相 交形成的点的轨迹是 A 圆 B 双曲线 C 椭圆 D 抛物线 第 10 题图 11 已知函数 ln1 2 1 2 i f xxxm i e是自然对数的底数 存在Rm A 当1 i时 f x零点个数可能有 3 个 B 当1 i时 f x零点个数可能有 4 个 C 当2 i时 f x零点个数可能有 3 个 D 当2 i时 f x零点个数可能有 4 个 12 已知数列 n a的前n项和为 n S 且满足 2 1 nnn aSa 则下列结论中 数列 2 n S是等差数列 2 n an 1 1 nn a a A 仅有 正确 B 仅有 正确 C 仅有 正确 D 均正确 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 1742 年 6 月 7 日 哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出 任一大于 2 的偶数都可写成两个质 数的和 这就是著名的 哥德巴赫猜想 可简记为 1 1 1966 年 我国数学家陈景润证明了 1 2 3 1 2 3 1 6 1 2 1 3 P 1 3 1 2 1 6 P 俯视图 侧视图 正视图 1 1 2 2 第 4 题图 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 1 2 获得了该研究的世界最优成果 若在不超过 30 的所有质数中 随机选取两个不同的数 则两数之和不超过 30 的概率是 14 已知ABC 的面积等于1 若1BC 则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时 sin A 15 已知F是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的一个焦点 P是C上的任意一点 则FP称为椭圆C 的焦半径 设C的左顶点与上顶点分别为AB 若存在以A为圆心 FP为半径长的圆经过点 B 则椭圆C的离心率的最小值为 16 设函数 32 6 f xxxaxb 若对任意的实数a和b 总存在 3 0 0 x 使得 mxf 0 则实数m的最大值为 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题为必考题 每个试 题考生都必须作答 第题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 60 分分 17 12 分 已知角 的顶点与原点O重合 始边与x轴的非负半轴重合 终边经过点 1 3 P 1 求cos 2 的值 2 求函数 22 sin cos Rf xxxx 的最小正周期与单调 递增区间 18 12 分 如图 多面体ABCDFE中 四边形ABEF和四边形CDFE是 两个全等的菱形 2 AB 60 ECDBAF 1 求证 DCBD 2 如果二面角BEFD 的平面角为 60 求直线BD与平面BCE所 成角的正弦值 19 12 分 已知等比数列 n a的公比1 q 且42 531 aaa 9 3 a是 1 a 5 a的等差中项 数列 n b的通项公式 11 2 1 nn n n aa b Nn 1 求数列 n a的通项公式 2 证明 12 1 21 n n bbb Nn 20 12 分 已知抛物线 2 2 0 C xpy p 焦点为F 准线与 y 轴交于点 E 若点 P 在 C 上 横 坐标为 2 且满足 PFPE2 1 求抛物线C的方程 2 若直线PE交x轴于点Q 过点Q做直线l 与抛物线C有 两个交点 M N 其中 点M在第一象限 若QMMN 当 2 1 时 求 OMP ONP S S 的取值范围 21 12 分 已知函数 1 1 x f xxe 1 求 f x在点1 1 f 处的切线方程 2 若方程 f xb 有两个实数根 21 x x 且 21 xx 证明 113 1 1 12 e eb e eb xx 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分分 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 作答时请写清题号作答时请写清题号 22 选修 4 4 极坐标与参数方程 10 分 1 以极坐标系Ox的极点O为原点 极轴x为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy 并在两种 坐标系中取相同的长度单位 把极坐标方程2cossin 2 化成直角坐标方程 2 在直角坐标系xOy中 直线l 3 2cos 4 3 1sin 4 xt t yt 为参数 曲线 2cos sin x C ya 为参数 其中0 a 若曲线C上所有点均在直线l的右上方 求a的取值范围 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知正数zyx 满足1xyz 1 求证 5 1 323232 222 yx z xz y zy x 2 求 2 161616 zyx 的最小值 第 18 题图 第 20 题图 第1页 共 8 页 理理科数学 一卷 答案科数学 一卷 答案 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C B A A C C D C D 二 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 2 3 14 8 17 15 31 2 16 2 三 解答题三 解答题 共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 60 分分 17 解 1 由题意得2OP 则 1 cos 2 3 sin 2 2 分 3 cos sin 22 5 分 2 22 13131 sincoscossincos2 22222 f xxxxxx 8 分 故 2 2 T 10 分 由222kxk 知单调递增区间为 2 kkkZ 12 分 第2页 共 8 页 18 解 1 如图 取的中点 连接 在菱形中 是正三角形 1 分 同理 在菱形CDFE中 可证 DGBGG 2 分 且DGBG均 在 面BDG内 平 面 BDBDG 面 4 分 又 5 分 2 由 1 知 就是二面角的平面角 即 又 所以是正三角形 故有 7 分 如图 取的中点 连接 则 又由 1 得 又因为 DGEFG DGCDEF EFCDEF 平面平面 所以 平面 且 又 在直角中 所以 9 分 设到平面的距离为 则 所以 11 分 EFGBGDG ABEF 60BAF BEF EFBG EFDG EF BDG EFBD CDEF CDBD BGD BEFD 60BGD 3BGGD BDG 3BD DGOBOBODG EFBO BO CDFE 3 2 BO BDCD BDC 7BC 173 7 74 244 BCE S DBCEh 11333 4 33242 B DCEDCE VBO S 113 73 3342 D BCEBCE Vh Sh 2 21 7 h 第19题图 E FD C B A G 第 18 题图 O E FD C B A G 第 18 题图 第3页 共 8 页 故直线与平面所成角正弦值为 12 分 建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分 19 解 1 由 3 9a 是 1 a 5 a的等差中项得 153 218aaa 1 分 所以 1353 31842aaaa 解得 3 8a 3 分 由 15 34aa 得 2 2 8 834q q 解得 2 4q 或 2 1 4 q 因为1q 所以2q 5 分 所以2n n a 6 分 2 法 1 由 1 可得 1 2 2121 n n nn b nN 1 111 22 2121 2121 2121 2121 nnnn n nnnnnn b 11 1 1 2 2121 2 2121 2121 21 212 nnnnnn nn nnn 9 分 21321 12 2121 2121 2121 nn n bbb 11 21 121 nn 12 分 法 2 由 1 可得 1 2 2121 n n nn b nN 我们用数学归纳法证明 1 当1n 时 1 2 3 13 13 b 不等式成立 7 分 2 假设nk kN 时不等式成立 即 BDBCE 2 7 7 h BD 第4页 共 8 页 1 12 21 k k bbb 那么 当1nk 时 1 1 121 12 2 21 2121 k k kk kk bbbb 112 1 1212 2 2121 21 2121 2121 kkk k kkkk 9 分 112 12 1 2 2121 2121 2 kkk kk k 11 分 即当1nk 时不等式也成立 根据 1 和 2 不等式 1 12 21 n n bbb 对任意 nN 成立 12 分 20 解 1 由已知可得0 2 p F 0 2 p E 2 2 P p 2PEPF 22 22 424 22 pp pp 0 2pp 抛物线 C 的方程为 2 4xy 4 分 2 由 1 得 2 10 1PE 易求得 1 0Q 5 分 由题意得 直线l的斜率存在且不为 0 可设直线l的方程为1xmy 联立方程组 2 1 4 xmy xy 整理得 22 2410 m ymy 16 160 1 mm 设点 1122 M x yN xy 1212 22 421 m yyyy mm 7分 第5页 共 8 页 12 1212 4211 42 1 yym m yyyy QMMN 1 121 2 1 y yyy y 1 2 1 2 1 2 12 3 y y 9 分 设OMP 在OP边上的高为 M h ONP 在OP边上的高为 N h OMP ONP S S 11 22 1 2 2 1 2 2 M M N N OP h xyh hxy OP h 11 22 21242 21242 mymy mymy 10 分 11 22 1 2 2 3 yy yy OMP ONP S S 的取值范围是 1 2 2 3 12 分 21 解 1 21 x fxxe 1 分 1 11f e 10f 2 分 所以切线方程为 1 1 e yx e 3 分 2 由 1 知 f x在点 1 1 f 处的切线方程为 1 1 e yx e 2 11 2 11 224 224 2 21 1 21 2 1 y yy y yy ym ym 第6页 共 8 页 设 1 1 e S xx e 构 造 11 11 x e F xf xxxe ee 1 2 x Fxxe e 3 x Fxxe 所以 Fx 在 3 上单调递减 在 3 上单调递增 5 分 又 3 11 30F ee 1 lim x Fx e 10F 所以 F x在 1 上单调 递减 在 1 上单调递增 所以 1 101 e F xFf xS xx e 当 且仅当1x 时取 方程 1 1 e xb e 的根 1 1 1 eb x e 又 111 bs xf xs x 由 s x在R上 单调递减 所以 11 xx 7 分 另一方面 f x在点 1 22e 处的切线方程为 311yexe 设 31 1t xexe 构造 1131113 xx G xf xt xxeexexeexe 23 x Gxxee 3 x Gxxe 所以 Gx 在在 3 上单调递减 在 3 上单调递增 9 分 又 3 1 330Ge e lim3 x G xe 10G 所以 G x在 1 上单调递 减 在 1 上单调递增 所以 10311G xGf xt xexe 当且仅当1x 时取 10 分 方程 311 t xexeb 的根 2 1 31 eb x e 又 222 bt xf xt x 由 第7页 共 8 页 t x在R上单调递增 所以 22 xx 所以 2121 1 1 311 beeb xxxx ee 得 证 12 分 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 作答时请写清题号 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 作答时请写清题号 22 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 10 分 分 解 1 当0 时 极坐标方程两边同乘以 得 3 sincos2