2020年中学生标准学术能力诊断性测试数学（文）试题（一卷）—附答案

第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 文科数学试卷 一卷 文科数学试卷 一卷 本试卷共本试卷共 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知集合 216UN Ax xn nN BxxnN 则 UA B A 2 3 4 5 6 B 2 4 6 C 1 3 5 D 3 5 2 复数 2 1 zmi i为虚数单位 为纯虚数 则实数m A 1 B 1 C 1 D 0 3 以双曲线 2 2 1 3 y x 的顶点为焦点 离心率为 3 3 的椭圆的标准方程为 A 22 1 43 xy B 22 1 34 xy C 22 1 96 xy D 22 1 69 xy 4 函数 3 ln x f x x 的部分图像是 A B C D 5 已知 0 3 sin 35 则cos 2 6 A 24 25 B 24 25 C 7 25 D 7 25 6 点 P Q在圆 22 430 xykxy 上 Rk 且点 P Q关于直线20 xy 对称 则该圆 的半径为 A 3 B 2 C 1 D 2 2 7 已知函数 3 f xxx 和点 11P 则过点 P 与该函数图像相切的直线条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积是 A 3 7 cm 2 B 3 7 cm 3 C 3 7 cm 6 D 3 7cm 9 已知数列 n a是等比数列 前n项和为 n S 则 315 2aaa 是 21 0 n S 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 10 在OAB 中 已知2 1 45 OBABAOB 点P满足 ROPOAOB 其 中 满足23 则 OP的最小值为 A 3 5 5 B 2 5 5 C 6 3 D 6 2 11 边长为 2 的等边ABC 和有一内角为30的直角 1 ABC 所在半平面构成60的二面角 则下 列不可能是线段 1 CC的取值的是 A 30 3 B 10 C 10 2 D 10 3 12 已知不等式 1 ln a x xaxx e 对 1x 恒成立 则实数a的最小值为 A e B 2 e C e D 2e 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 俯视图俯视图 侧视图侧视图正视图正视图 22 1 11 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 13 如图所示的程序框图的输出值 0 1y 则输入值x 14 在ABC 中 2 sincos 6 bAaB 2b 若满足条件的 ABC 有且仅有一个 则实数a的取值范围是 15 过点 1 1 P作直线l与双曲线 2 2 2 y x 交于 A B两点 若点 P 恰 为线段AB的中点 则实数 的取值范围是 16 如图 正三角形ABC边长为 2 D是线段BC上一点 过C点作直线 AD的垂线 交线段AD的延长线于点E 则ADDE 的最大值 为 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每题为必考题 每道道试试 题考生都必须作答 第题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 60 分分 17 12 分 根据某省的高考改革方案 考生应在 3 门理科学科 物理 化学 生物 和 3 门文科 学科 历史 政治 地理 的 6 门学科中选择 3 门学科参加考试 根据以往统计资料 1 位同学 选择生物的概率为 0 5 选择物理但不选择生物的概率为 0 2 考生选择各门学科是相互独立的 1 求 1 位考生至少选择生物 物理两门学科中的 1 门的概率 2 某校高二段 400 名学生中 选择生物但不选择物理的人数为 140 求 1 位考生同时选择生 物 物理两门学科的概率 18 12 分 设数列 n a是公差不为零的等差数列 其前n项和为 n S 1 1a 若 125 a a a成等比数 列 1 求 n a及 n S 2 设 2 1 1 1 n n b a nN 求数列 n b前n项和 n T 19 12 分 如图 四棱锥 P ABCD中 AP 平面PCD ADBC 2 DAB 1 2 APABBCAD E为AD的中点 AC与BE相交于点O 1 求证 POABCD 平面 2 求AB与平面PBD所成角 的正弦值 20 12 分 已知 lnf xx g xx 1 若 a f xg x g x 在 0 1 恒成立 求实数a的取值范围 2 若m 0n 1mn 求证 22 1 4 f m f ng mg n 21 12 分 如图 已知圆 22 221Q xy 抛物线 2 4C yx 的焦点为 F 过 F 的直线l与抛物线C交于 A B两点 过 F 且与l垂直 的直线 l 与圆 Q 有交点 1 求直线 l 的斜率的取值范围 2 求AOB 面积的取值范围 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分分 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请写清题号作答时请写清题号 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 12cos 32sin x y 其中 为参数 R 在极 坐标系 以坐标原点O为极点 以轴非负半轴为极轴 中 曲线 2 C的极坐标方程为 sin 6 a 1 求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程 2 若曲线 1 C上恰有一个点到曲线 2 C的距离为 1 求曲线 2 C的直角坐标方程 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 1 解不等式12532 20 xx 2 求函数3 242 3yxx 的最大值 x 第 16 题图 第 19 题图 第 21 题图 第 13 题图 第 21 题图 第 19 题图 第1页 共 5 页 文科数学 一卷 答案文科数学 一卷 答案 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A D A B B B C B A D C 二 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 1 00 1 14 0 24 15 1 00 2 16 1 4 三 解答题三 解答题 共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 60 分分 17 解 记 A 表示事件 考生选择生物学科 B 表示事件 考生选择物理但不选择生物学科 C 表示事件 考生至少选择生物 物理两门学科中的 1 门学科 D 表示事件 选择生物但不选择物理 E 表示事件 同时选择生物 物理两门学科 1 0 50 2P A P B CAB AB 2 分 0 7P CP ABP AP B 5 分 2 由某校高二段 400 名学生中 选择生物但不选择物理的人数为 140 可知 350 DP 7 分 因为DEA 9 分 15 035 05 0 DPAPEP 12分 第2页 共 5 页 18 解 1 设数列 n a的公差为 d 0d 由题意得 51 2 2 1 1 aaa a 解得 2 1 1 d a 3 分 所以 2 12nSna nn 6 分 2 因为 1 11 4 1 14 1 112 1 2 nnnnn bn 9 分 所以 41 n n T n 12 分 19 解 1 由已知AP 面PCD 可得AP PC AP CD 由题意得 ABCD为直角梯形 如图所示 易得 BECD 所以 APBE 又因为 BE AC 所以 BE 面APC 故 BE PO 3 分 在直角梯形ABCD中22 ACABAPAPPC 所以PAC 为等腰直角三角形 O 为斜边 AC 上的中点 所以POAC ABCD 面 BEOACBE 所以PO 平面ABCD 6 分 2 法一 以O为原点 分别以OBOCOP 为x轴 y轴 z轴的建立直角坐标系 不妨设1BO A 0 1 0 B 1 0 0 P 0 0 1 D 2 1 0 设 nx y z 是平面PBD的法向量 满足 0 0 n PB n BD 所以 0 30 xz xy 则令1x 解得 1 3 1 n 9 分 2 22 sincos 11 AB n AB n ABn 12 分 法二 等体积法求 A 到平面 PBD 的距离 第3页 共 5 页 设AB 1 点A到平面PBD的距离为h 计算可得 PB 1 PD 3 BD 5 4 11 PBD S A PBDP ABD VV 9 分 POShS ABD PBD 3 1 3 1 1 ABD S 2 2 PO 解得 2 22 11 h 11 分 2 sin22 11 h AB 12 分 20 解 1 x x a x ln在 1 0恒成立 得xxxaln 在 1 0恒成立 令xxxxhln 则 x xx x 2 2ln2 h 2 分 令 2ln2 xxxu则 11 0u x xx 在 1 0恒成立 所以在 1 0上 01 uxu所以在 1 0上 0 xh 所以 xh在 1 0上递增 所以在 1 0上 11 hxh 所以1 a 5 分 2 即证 4 1 lnln mnnm 0 1 m n 由 1 知 x x x 1 ln 即 x x x 1 ln 当且仅当1 x时取到等号 因为 0 1 m n 所以 n m n n n m n m m m 1 ln0 1 ln0 所以mnnm lnln 9 分 所以 4 1 4 1 2 1 mlnln 2 mnmnnmnnm 即 22 1 4 f m f ngm gn 成立 12 分 21 解 1 显然l的斜率存在且不为 0 第4页 共 5 页 设1 myxl 则0 mymxl 由题意 得 4 33 4 33 1 1 23 2 m m m 2 分 所以直线 l斜率的取值范围为 4 33 4 33 4 分 2 设 2211 yxByxA联立方程组 xy myx 4 1 2 得 044 2 myy 即4 4 2121 yymyy 6 分 1416161m1AB 222 21 2 mmmyy 7 分 O 到直线 AB 的距离为 1 1 2 m 22 AOB 2 11 S4 m121 2 1 m m 9 分 4 33 4 33 m 8 3314 8 3314 1 2 m 22 3 623 62 143 3 143 3 22 2 3 3 1 3 31 1 44 m 即 3 31 3 31 22 OAB S 所以AOB 面积的取值范围是 3 31 3 31 22 12 分 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分分 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 作答时请写清题号作答时请写清题号 22 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 1 1 C的普通方程为 2 2 134xy 2 分 ain 2 1 cos 2 3 s 6 sin 即023 ayx 第5页 共 5 页 曲线的直角坐标方程为023 ayx 5 分 2 由于圆的半径为 2 圆上恰有一个点到直线023 ayx的距离为 1 所以 圆心 31 到直线023 ayx的距离为 3 7 分 由3 2 231 a d 可得51 或a 9 分 曲线的直角坐标方程为023 yx或0103 yx 10 分 23 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 1 解 原