2020届高三上学期单科质量检查数学（文）试题—附答案解析

市市单单科科质质检检数数学学 文文科科 试试题题第第 1 页页 共共 8 页页 准准考考证证号号 姓姓名名 在此卷上答题无效 保保密密 启启用用前前 2020 届届高高中中毕毕业业班班单单科科质质量量检检查查 文文科科数数学学 注注意意事事项项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并收回 一一 选选择择题题 本本题题共共 12 小小题题 每每小小题题 5 分分 共共 60 分分 在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中 只只有有一一项项是是符符合合题题目目 要要求求的的 1 已知集合 2 20Ax xx 则A R A 0 B 2 C 0 2 D 0 2 试题简析 易得集合 0 2 A 故 0 2 A R 选 B 2 若复数 2i 1 i a 为纯虚数 则实数a的值是 A 2 B 1 C 1D 2 试题简析 复数 2i 1 i a 2 2 iaa 为纯虚数 所以20a 解得2a 故选A 3 若 2 sin cos 445 则cos2 A 4 5 B 2 5 C 2 5 D 4 5 试题简析 由 2 sin cos 445 得 4 sin 2 25 即 5 4 2cos 故选 A 4 新中国成立 70 周年 社会各界以多种形式的庆祝活动祝福祖国 其中 快闪 因其独特新颖的传播方 式吸引大众眼球 根据腾讯指数大数据 关注 快闪 系列活动的网民群体年龄比例构成 及男女比例构 成如图所示 则下面相关结论中不正确的是 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 2 页 共页 共 8 页 页 A 35 岁以下网民群体超过 70 B 男性网民人数多于女性网民人数 C 该网民群体年龄的中位数在 15 25 之间 D 25 35 岁网民中的女性人数一定比 35 45 岁网民中的男性人数多 试题简析 依题意可得 35 岁以下网民群体所占比例为 74 故 A 对 由男女比例构成图可得男性所 占比例为 55 故B对 因为 15 岁以下所占比例为 23 35 岁以下所占比例为 54 故 该网民群体年龄的中位数在 15 25 之间 C 对 D 答案无法判断 所以 D 错 故选 D 5 设E是中心在坐标原点的双曲线 若 2 0 A是E的一个顶点 4 0 F 是E的一个焦点 则E的一 条渐近线方程为 A 1 3 yx B 3 3 yx C 3yx D 3yx 试题简析 由已知双曲线的焦点在x轴上 2 a 4 c 所以 22 2 3bca 所以双曲线E的 渐近线方程为 b yx a 即3yx 故选 C 6 已知等差数列 n a中 36 8aa 则 47 5 aa A 32B 27C 24D 16 试题简析 设等差数列 n a公差d 则872 163 daaa 所以24 72 32165 1174 dadaaa 故选 C 7 堑堵 是中国古代数学名著 九章算术 中记载着的一种多面体 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某 堑堵 的三视图 则该 堑堵 的体积等于 A 12B 8C 6D 4 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 3 页 共页 共 8 页 页 试题简析 由已知可得该 堑堵 是直三棱柱 其体积 1 2 3 26 2 V 故选 C 8 函数 sinf xxx 的图象大致为 A B C D 试题简析 结合各选项 函数xxxfsin 是偶函数且在 0 2 上单调递增 故选 B 9 明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的 等程律 在创造律制的过程中 他不仅给出了求解三项等 比数列的等比中项的方法 还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法 比如 若已知黄钟 大吕 太簇 夹钟四个音律值成等比数列 则有 大吕黄钟 太簇 2 3 大吕黄钟夹钟 2 3 太簇黄钟夹钟 据此 可得正项等比数列 n a中 k a A 1 1 nk nk n aa B 1 1 n k n k n a a C 1 1 1 n kk n n aa D 1 1 1 kn k n n aa 试题简析 因为 1 1 n n aa q 所以1 1 n n a q a 所以 1 1 1 1 k n n k a aa a 1 1 1 1 k n n a a a 1 11 1 n kk nn n aa 1 1 1 n kk n n aa 故选 C 10 若直线0 xay 与函数 e x f x x 的图象有且只有一个公共点 则a的取值范围为 A 2 4 0 e B 2 4 e C 2 e 4 D 2 1 e e4 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 4 页 共页 共 8 页 页 试题简析 解法解法 1 由 0 ex xay y x 消去y 得 2 0 ex x ax 则依题意 可知直线ya 与曲线 2 0 ex x yx 恰有一个公共点 如图 10 1 作出ya 与 2 0 ex x yx 的图象 由图可得 2 e 4 a 图 10 1图 10 2 解法解法 2 如图 10 2 作出直线 x y a 与函数 e x f x x 的图象 设过原点的直线l与曲线 x y x e 相切 于点 e 0 0 0 x xP x 则 2 0 0 0 0 00 0 ee 0 0 e x x x x k xx x l 故2 0 x 4 e2 l k 由图可知 4 e1 0 2 l k a 故 2 e 4 a 故选 B 11 若椭圆E的顶点和焦点中 存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点 则E的离心率等于 A 2 2 B 51 2 C 1 2 或 2 2 D 2 2 或 51 2 试题解析 依题意 由菱形对角线互相垂直可转化为 在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成 一个直角三角形 结合椭圆的对称性 只需考虑以下三种情况 1 如图 11 1 若以顶点D焦点B为菱形顶点 C为中心 则DCBC 由勾股定理得 2222 abaac 由 222 bac 化简得 22 0caca 两边同除以 2 a 得 2 10ee 又因为01e 可得 51 2 e 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 5 页 共页 共 8 页 页 图 11 1图 11 2图 11 3 2 如图 11 2 若以焦点A B为菱形顶点 C为中心 则ACBC 故 45OCB 易得 2 2 c e a 3 如图 11 3 若以焦点B为菱形的中心 C E为顶点 则CBEB 易得 2 2 c e a 故选 D 12 已知函数 sin 0 0 2 f xx 若 8 f x 为奇函数 8 f x 为偶函数 且 2 2 f x 在 0 6 至多有2个实根 则 的最大值为 A 10B 14C 15D 18 试题简析 由题意 可得 0 8 为 f x的图象的对称中心 直线 8 x 为 f x的图象的一条对称轴 所以 1 12 2 8 82 k k k k 两式相加得 12 42 kk 又因为 0 2 所以 4 代入 2 82 k 得82 kk 因为 0 6 x 时 44 64 tx 即由已知可得 2 sin 2 t 4 64 t 至多有 2 个实根 即 11 644 由此可得015 又因为82 kk 所以1k 时 的最大值为 10 故选 A 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 6 页 共页 共 8 页 页 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 已知向量 a b 且 3 2 a 5 2 a b 则 b 试题简析 2 4 ba ba 所以 22 242 5 b 答案 2 5 14 若 x y满足约束条件 0 1 0 220 x xy xy 则32zxy 的最大值为 试题简析 不等式组表示的可行域如图所示 由32zxy 得 3 22 z yx 在y轴上的截距越大 z越大 所以当直线 3 22 z yx 过 点 0 2A时 z取得最大值 所以z的最大值为4 答案 4 15 已知直线 1 10 l mxm ym R与圆 22 8O xy 交于 A B两点 C D分别为 OA AB的 中点 则AB CD 的最小值为 试题简析 直线l的方程可化为 10m xyy 由 0 10 xy y 解得 1 1 x y 直线l恒过点 1 1 P 因为 C D分别为 OA AB的中点 所以 1 2 2 CDOB 当OPAB 时 AB最小 此时 2 2 22 222 6AB 所以 22 2 6 4 3ABCDAB 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 7 页 共页 共 8 页 页 答案 4 3 16 已知正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 1 动点P在棱 1 AA上 四棱锥 11B BDDP 的顶点都在球O 的球面上 则球O的表面积取值范围是 试题简析 如图 设球O的球心为G 1 AA的中点 1 O 1 CC的中点 2 O 21O O的中点O 且 2 2 1 OO 2 3 OBOA 因为 11 BDDB在球面上 所以球心在线段 2 OO上 点P也在球面上 RGBGP 设yGOxPO 11 则 2 2 yOG 在 1 RtO PG 中 222 yxR 在RtBOG 中 22 2 2 2 2 3 yR 联立 得yx2 4 5 2 因为 1 0 2 x 所以 25 2 28 y 所以 32 25 4 3 4 3 2 2 4 5 2 22222 yyyyxR 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 8 页 共页 共 8 页 页 所以球O的表面积取值范围为 25 3 8 答案 25 3 8 市市单单科科质质检检数数学学 文文科科 试试题题第第 1 页页 共共 11 页页 准准考考证证号号 姓姓名名 在此卷上答题无效 保保密密 启启用用前前 2020 届届高高中中毕毕业业班班单单科科质质量量检检查查 文文科科数数学学 三三 解解答答题题 共共 70 分分 解解答答应应写写出出文文字字说说明明 证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 第第 17 21 题题为为必必考考题题 每每个个试试题题考考 生生都都必必须须作作答答 第第 22 23 题题为为选选考考题题 考考生生根根据据要要求求作作答答 一一 必必考考题题 共共 60 分分 17 12 分 记数列 n a的前n项和为 n S 若233 nn Sa 1 证明 n a为等比数列 2 设 9 log nn ba 求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 命题意图 本题主要考察等比数列的定义及通项公式 数列求和的裂项相消法等基础知识 考查运算求 解能力 考查化归与转化思想 体现基础性 导向对发展数学抽象 数学运算及数学建模等 核心素养的关注 试题简析 解解 1 由已知 得233 nn Sa 当2n 时 11 233 nn Sa 2 分 得 1 1 22 33 33 nnnn SSaa 即 1 233 nnn aaa 整理 得 1 32 n n a n a 5 分 又由 11 233Sa 得 1 3 0a 所以 n a是以 3 为首项 3 为公比的等比数列 6 分 2 由 1 得 3n n a 所以 9 log 3 2 n n n b 8 分 所以 1 1411 4 11 nn b bn nnn 10 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 2 页 共页 共 11 页 页 故 n T 11111114 4 4 4 4 1 1223111 n nnnn 12 分 18 12 分 ABC 的内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知 3cos cosaCcA 1 求 b a 2 求cos A的最小值 命题意图 本小题主要考查正弦定理 余弦定理等解三角形的基础知识 结合考察了基本不等式的基础 知识 考查推理论证能力与运算求解能力等 考查数形结合思想 化归与转化思想 函数与 方程思想等 体现基础性 综合性与应用性 导向对发展直观想象 逻辑推理 数学运算及 数学建模等核心素养的关注 试题简析 解法解法 1 1 在ABC 中 由正弦定理 得 sinsinsin abc ABC 1 分 从而由 3cos cosaCcA 可得sin 3cos sincosACCA 2 分 整理 得3sinsincoscossinAACAC 即3sinsin AAC 4 分 又因为 ABC 所以sin3sinBA 5 分 所以3 b a 6 分 2 由 1 不妨设33ba 则3131c 7 分 在ABC 中 由余弦定理 得 222 cos 2 bca A bc 8 分 所以 2222 3 12126 cos 3232 32 3 cc Ac ccc 11 分 当 2 c c 即2c 时 等号成立 故cos A取到最小值为 6 3 12 分 解法解法 2 1 同解法 1 6 分 2 因为 3sinsinAB 所以 3aba 则A为锐角 7 分 因为sin1B 所以 33 sinsin 33 AB 8 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 3 页 共页 共 11 页 页 当且仅当sin1B 即 2 B 时 sin A的最大值为 3 3 9 分 因为sin A在 0 2 单调递增 所以此时A最大 10 分 又因为cos A在 0 2 单调递减 11 分 所以A最大时 cos A取到最小值为 2 6 1 sin 3 A 12 分 19 12 分 如图 MA平面ABCD CN平面ABCD 四边形ABCD是边长为2的菱形 60BAD 1 CN 3 AM 1 证明 BN平面ADM 2 求三棱锥NADM 的体积 命题意图 本小题主要考查直线与平面平行的判定 线面垂直的性质 三棱锥体积的求解等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力等 考查化归与转化思想等 体现基础性 综合性与应用性 导向对逻辑推理 直观想象 数学运算等核心素养的关注 试题简析 解法解法 1 1 因为 MA平面ABCD CN平面ABCD 所以NCMA 1 分 又 MA平面ADM NC平面ADM 所以 NC平面ADM 2 分 因为四边形ABCD是菱形 所以ADBC 3 分 又 AD平面ADM BC平面ADM 所以 BC平面ADM 4 分 又BCNCC BC 平面BCN CN 平面BCN 所以平面 BCN平面ADM 5 分 又 BN平面BCN 所以 BN平面ADM 6 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 4 页 共页 共 11 页 页 2 由 1 知 BN平面ADM 所以点N到平面ADM的距离等于点B到平面ADM的距离 8 分 取AD的中点E 连接BE BD 因为四边形ABCD是边长为2的菱形 60BAD 所以ABD 是边长为2的等边三角形 所以ADBE 且3 BE 10 分 又因为 MA平面ABCD BE 平面ABCD 所以BEMA 又MAADA MA 平面ADM AD平面ADM 所以 BE平面ADM 故所以点N到平面ADM的距离为BE 11 分 所以三棱锥NADM 的体积 111 2 333 332 NADMADM VSBE 12 分 解法解法 2 1 同解法 1 6 分 2 由 1 知 BN平面ADM 所以点N到平面ADM的距离等于点B到平面ADM的距离 8 分 所以 NADMB ADM VV 9 分 因为 MA平面ABCD 所以MA是三棱锥MABD 的高 10 分 又ABD 是边长为 2 的正三角形 所以 113 4 33 334 NADMB ADMMABDABD VVVSMA 12 分 20 12 分 已知抛物线E的顶点在原点 焦点在y轴上 过点 1 0 A且斜率为 2 的直线与E相切 1 求E的标准方程 2 过A的直线l与E交于 P Q两点 与y轴交于点R 证明 2 ARAPAQ 命题意图 本小题主要考查抛物线的标准方程和几何性质 直线与抛物线的位置关系等基础知识 考查 推理论证能力 运算求解能力等 考查化归与转化思想 数形结合思想 函数与方程思想等 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 5 页 共页 共 11 页 页 体现基础性 综合性与应用性 导向对发展逻辑推理 直观想象 数学运算等素养的关注 试题简析 解法解法 1 1 过点 1 0 A且斜率为 2 的直线方程为2 1 yx 即22yx 1 分 设E的方程为 2 0 xay a 2 分 由 2 22 yx xay 消去y 得 2 220 xaxa 3 分 因为直线与E相切 所以 2 480aa 4 分 解得0a 舍去 或2a 所以E的标准方程为 2 2xy 5 分 2 设l的方程为 1 yk x 1122 P x yQ xy 令0 x 得yk 即 0 Rk 6 分 由 2 1 2 yk x xy 消去y 得 2 220 xkxk 7 分 因为l与E相交 所以 2 480kk 解得2k 或0k 设 则 1212 2 2xxk x xk 12 2xxk 12 2x xk 8 分 2 1 11APkx 2 2 11AQkx 9 分 从而 222 211212 1 11 1 11APAQkxxkx xxxk 10 分 又 2 2 1ARk 11 分 所以 2 ARAPAQ 12 分 解法解法 2 1 过点 1 0 A且斜率为 2 的直线方程为2 1 yx 即22yx 1 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 6 页 共页 共 11 页 页 设E的方程为 2 0 xay a 即 2 1 yx a 2 分 则 2 yx a 3 分 直线22yx 与E相切于点 00 22 B xx 则 0 2 00 2 2 1 22 x a xx a 4 分 解得 0 2 2 x a 所以E的标准方程为 2 2xy 5 分 2 设l的方程为 1 yk x 1122 P x yQ xy 6 分 由 2 1 2 yk x xy 消去y 得 2 220 xkxk 7 分 因为l与E相交 所以 2 480kk 解得2k 或0k 12 2xxk 12 2x xk 8 分 分别过 P Q作 PPx 轴于 P QQx 轴于 Q 则 PPQQ 所以 APAP ARAO ARAO AQAQ 9 分 又 1 1APx 2 1AQx 1AO 10 分 所以 2 1212 11APAQx xxxAO 11 分 故 APAO AOAQ 从而 APAR ARAQ 即 2 ARAPAQ 12 分 21 12 分 已知函数 2 1 ln 2 a f xxaxx 1 讨论 f x的单调性 2 当1x 时 e 2 f x 求a的取值范围 命题意图 本题考查导数的应用 利用导数研究函数的单调性 最值等问题 考查抽象概括能力 推理 论证能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 化归与转化思想 分类与整合思想 数形 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 7 页 共页 共 11 页 页 结合思想 有限与无限思想 体现综合性 应用性与创新性 导向对发展数学抽象 逻辑推 理 直观想象 数学运算以及数学建模等核心素养的关注 试题简析 解法解法 1 1 函数 f x的定义域为 0 2 1 1 1 1 1 1 axaxaxx fxaxa xxx 1 分 当0a 时 10ax 则 0fx 故 xf在 0 单调递减 2 分 当0 a时 令0 x f 得 a x 1 令0 x f 得 a x 1 0 故 xf在 1 0 a 上单调递减 在 1 a 单调递增 4 分 综上 可得当0a 时 xf在 0 单调递减 当0 a时 xf在 1 0 a 单调递减 在 1 a 单调递增 5 分 2 当0a 时 因为 242 e e e 1 e22 22 a fa 所以0a 不符合题意 6 分 当0 a时 由 1 知 xf在 1 0 a 单调递减 在 1 a 单调递增 当 1 1 a 即1a 时 1 1 0 a xx a fx x 所以 f x在 1 单调递增 7 分 故 31e 1 1 222 f xfa 故1a 满足题意 8 分 当1 1 a 即10 a时 f x在 1 1 a 单调递减 在 1 a 单调递增 9 分 故 min 111 1ln 2 f xf aaa 10 分 要使 当1x 时 e 2 f x 只需满足 1e 2 f a 令 1 1ln 0 2 g ttt t 则0 1 2 1 t tg 故 g t在 0 单调递减 11 分 又 e e 2 g 从而由 1e 2 f a 即 1 e gg a 可得 1 e a 解得 1 1 e a 综上 可得a的取值范围为 1 e 12 分 解法解法 2 1 同解法 1 5 分 2 当1x 时 e 2 f x 可化为 2lne 2 2 xx a x x 6 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 8 页 共页 共 11 页 页 令 22lne 1 2 xx g xx x x 则 22 2 1 2ln2e 2 xxx g x xx 7 分 因为 2ln2exxx 在 1 单调递减 且 e 0 8 分 所以当1ex 时 0 x 从而 0g x 故 g x在 1 e 单调递增 当ex 时 0 x 从而 0g x 故故 g x在 e 单调递减 9 分 所以 min 1 e e g xg 10 分 要使 当1x 时 e 2 f x 即 2lne 2 2 xx a x x 只需 min ag x 即 1 e a 所以a的取值范围为 1 e 12 分 解法解法 3 1 同解法 1 5 分 2 当1x 时 e 2 f x 可化为 1lne 1 1 22 x ax xx 6 分 令 lne 1 1 2 x g xx xx 则 e 1 1 2 g 222 1 lne2ln2e 22 xx g x xxx 7 分 令 0g x 得 2 e 2 ex 当 2 e 2 1ex 时 0g x 所以 g x在 2 e 2 1 e 单调递增 当 2 e 2 ex 时 0g x 所以 g x在 2 e 2 e 单调递减 9 分 设过点 2 0 的直线l与函数 g x的图象相切于点 00 x g x 则 0 0 0 0 2 g x g x x 即 00 0 2 000 e ln 2ln2e 2 2 2 xx x xx x 整理 得 00 2ln2exx 因为 2lnxxx 在 0 单调递增 且 e 2e 所以 0 ex 所以切线l的斜率 00 1 2e kg x 10 分 如图 作出函数 g x的图象 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 9 页 共页 共 11 页 页 由图可知 要使 当1x 时 e 2 f x 即 1lne 1 1 22 x ax xx 只需 1 22e a 解得 1 e a 所以a的取值范围为 1 e 12 分 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分分 请考生在第请考生在第 22 23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修44 坐标系与参数方程 10 分 在同一平面直角坐标系xOy中 经过伸缩变换 2 xx yy 后 曲线 22 1 1Cxy 变为曲线 2 C 1 求 2 C的参数方程 2 设 2 1A 点P是 2 C上的动点 求OAP 面积的最大值 及此时P的坐标 命题意图 本小题主要考查直角坐标系的伸缩变换 椭圆的参数方程 直线与椭圆的位置关系等基础知 识 考查推理论证能力与运算求解能力 考查函数与方程思想 转化与化归思想 数形结合 思想 体现基础性与综合性 导向对发展直观想象 逻辑推理