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华东理工大学线性代数作业簿（第一册）学 院_专 业_班 级_学 号_姓 名_任课教师_1.1 矩阵的概念1. 矩阵.解：.2设其中对角阵为_，三角阵有_.解：对角阵为D；三角阵有A，C，D.1.2矩阵的运算1. 已知，求矩阵.解：依题意，由，即得.2. 如果矩阵与满足，试求之间的关系.解：.3. 填空：(1) ；(2) ；(3) ;(4) .解： (1) ；(2) 14；(3) ；(4) .4. 已知矩阵，试求与可交换的所有矩阵.解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为3阶方阵，不妨设其为，于是有=，由，即得，由相应元素相等，则得故均为任意常数）为与可交换的所有矩阵.5. 计算下列各题：(1)；解：原式等于： (2) ，求；解：记，则， .(3) ，求.解：.6. 利用等式计算.解：.7. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该公司现有2000人正在脱产轮训，而不脱产职工有8000人，若每年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训，同时又有60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令试用与通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人.解：一年后职工状况为：不脱产职工6800人，轮训职工3200人. 两年后职工状况为：不脱产职工6680人，轮训职工3320人.8. 设矩阵，求: 解： ； .9. 设是对称矩阵，是反对称矩阵，则（ ）是反对称矩阵.（A）; （B）; （C）; （D）. 解：B.10试将矩阵表示成对称矩阵与反对称矩阵之和.解：.11. 设是反对称矩阵，是对称矩阵，试证：是反对称矩阵的充分必要条件为.证：必要性: 由及即得.充分性: 若，则，知是反对称阵.12. 设，记为方阵的多项式，即（1） 设，证明；（2） 设，证明.解：（1） （2） 13设矩阵，其中为阶单位阵，为维列向量，试证为对称矩阵，且.证： 故是对称矩阵，且.1.3逆矩阵1. 设为阶矩阵，且满足，则下列命题中正确的是（ ）.（A）； （B）； （C）若A不可逆，则； （D）若A可逆，则. 解：D.2. 设阶矩阵满足，则必有（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）. 解：B.3已知矩阵，求及（是正整数）.证：由，即可得及，亦即.4. 已知阶矩阵满足，求: .解：依题意，有，即，故，再由已知凑出，即得.5. 设为同阶可逆阵，试证：(1) 可逆
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