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文档简介

第二章极限与连续 1 2 1数列的极限 2 一 数列的概念 定义1设是一个以正整数集为定义域的函数 将其函数值按自变量n的大小顺序排成一列 称为一个数列 数列中的每一个数叫做数列的项 第n项叫做数 列的一般项或通项 数列也可表示为或 3 定义2若数列满足 则称是单调递增数列 如果 则称是单调递减数列 如果上述不等式中等号都不成立 则称是严格 单调递增数列或严格单调递减数列 单调递增和单调递减数列统称为单调数列 4 定义3若存在 使得对一切 都有 则称数列是有界的 否则称是无 界的 二 数列的极限 定义4设为一数列 若当n取正整数且无限增大时 数列中对应的项 即通项 无限接近于一个确定的常 数A 则称收敛于A 或称A为的极限 记作 此时也称的极限存在 否则称的极限不存在 或称发散 或 5 定义5设是一个数列 A是一个常数 若对任给的 存在正整数N 使得当时 都有 则称A是 数列的极限 或称收敛于A 记作 此时也称的极限存在 否则称的极限不存在 或称发散 或 注 1 定义5中的是预先给定的任意小的正数 因此 既 具有任意性 又具有确定性 6 2 一般说来 定义5中的N是随的变化而变化的 给定不 同的 所确定的N一般也不同 3 定义5中 当时 有 的意思是从第N 项的各项都满足 4 数列极限的几何意义 就是对以A为中心 以任意小的正数 为半径的邻域 总能找到一个N 从第项开 始 以后的各项 无限多项 都落在邻域内 而在 外 至多有N项 有限项 例1证明 7 三 数列极限的性质及收敛准则 定理1 唯一性定理 若数列收敛 则其极限值必唯一 定理2 有界性定理 若数列收敛 则必是有界数 列 8 定理3 保序性定理 设的极限存在 且 则存在正整数N 当时 有 推论1 保号性定理 设的极限存在 且 或 则存在正整数N 当时 有 或 0 推论2设的极限存在 若 当时 则 特别地 若 或 则 或 9 注 在推论2中即使是 也只能推出 定理4 夹逼定理 设数列满足 当 时 且 则 例2求 例3求 10 即单调有界数列必有极限 数列必有极限 单调递减且有下界的数列必有极限
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