第19章第12课时正方形判定.doc

正方形的性质【目标导航】1、掌握正方形的判定方法。进一步理解特殊四边形之间的内在联系与区别2、会用正方形的判定方法判定四边形是正方形。3、培养综合运用知识分析解决问题的能力。【要点梳理】1正方形的定义：有一组_，有一个角_是的平行四边形叫做正方形。2正方形的识别：_的平行四边形是正方形；（定义） _的矩形是正方形_的菱形是正方形1邻边相等 直角 2 有一个角是直角且有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角【问题探究】例1(菱形、正方形的判定)四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）AOA=OB=OC=OD，ACBD BABCD，AC=BD CADBC，A=C DOA=OC，OB=OD，AB=BC【练习】1对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（ ）A正方形 B菱形 ECDBAOC矩形 D等腰梯形例2 (菱形、正方形的判定) 如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AED=2EAD，求证：四边形ABCD是正方形【练习】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC。分别以AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC。求证：FN=EC。例3 （开放题）如图，以ABC(BAC60)的三边为边，分别作三个等边三角形。BCFADE （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）当ABC分别满足什么条件时，四边形ADEF是菱形、是矩形、是正方形？【练习】1在ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE（1）如图，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图，当EFGH时，四边形EGFH的形状是 ；（3）如图，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ；（4）如图，在（3）的条件下，若ACBD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由HGFEODCBA图HGFEODCBA图ABCDOEFGH图ABCDOEFGH图【课堂操练】1下列命题中，真命题有（ ）（1）邻补角的平分线互相垂直 （2）对角线互相垂直平分的四边形是正方形（3）四边形的外角和等于360 （4）矩形的两条对角线相等A1个B2个C3个D4个2有若干张面积分虽为的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为的正方形纸片，4张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（ ）A2张B4张C6张 D8张3在四边形中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD是 （只要写出一种即可）4已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC =1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_5如图，将正方形ABCD中的ABD绕对称中心O旋转至GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论6已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论ADBEFOCM7观察控究，完成证明和填空如图91，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图92，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【每课一测】（完成时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（每题5分，共25分）1下列命题中是真命题的是（ ）A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C两条对角线相等的平行四边形是矩形 D两边相等的平行四边形是菱形2下列说法不正确的是（ ）A一组邻边相等的矩形是正方形 B对角线相等的菱形是正方形C对角线互相垂直的矩形是正方形 D有一个角是直角的平行四边形是正方形3如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为() A60B30C45D90第7题图4如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) A 669 B 670 C671 D 6725已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点若， 下列结论：；点到直线的距离为；其中正确结论的序号是（ ）A B C D 二、填空题（每题5分，共25分）6 的平行四边形是是正方形（只填一个条件）7如图，正方形ABCD边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为_；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为_（用含自然数n的式子表示）ADCBE8如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 BCEADF9如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm210若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BFAE，则BM的长为 三、解答题（每题10分，共50分）11已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明12如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，OC1交BC于点F（1）求证：AOEBOF（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ONM13 (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90求证：BECF(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90, EF4求GH的长 14(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH90,EF4 直接写出下列两题的答案：如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； 如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示)15如图，ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证：PE=PF；（2）当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；ANFCPEMBD图9（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且求此时A的大小【参考答案】【要点梳理】1一组邻边相等 2 四条边相等 3 对角线互相垂直【问题探究】例1A 变式：A例2 证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AO=CO 又ACE是等边三角形，EOAC，即DBAC 平行四边形ABCD是菱形； （2）ACE是等边三角形，AEC=60EOAC，AEO=AEC=30AED=2EAD，EAD=15，ADO=EAD +AED=45四边形ABCD是菱形，ADC=2ADO=90四边形ABCD是正方形变式：证明：FN=EC。证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，FEN=EBC=90AB=2BCEN=BC FENEBC FN=EC。 例3（1）证明：由BDEEFC得到DB=EF=AD，由BDEBAC得到DE=AC=AF，从而推出四边形ADEF是平行四边形（2）当AB=AC时，四边形ADEF是菱形；当BAC=150时，四边形ADEF是矩形；当AB=AC且BAC=150时四边形ADEF是正方形变式：解：（1）四边形EGFH是平行四边形 证明：ABCD的对角线AC、BD交于点O点O是ABCD的对称中心EO=FO，GO=HO四边形EGFH是平行四边形 （2）菱形 （3）菱形 （4）四边形EGFH是正方形 证明：AC=BD，ABCD是矩形 又ACBD， ABCD是菱形ABCD是正方形，BOC=90，GBO=FCO=45OB=OCEFGH ，GOF=90BOG=COFBOGCOFOG=OF，GH=EF 由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又EFGH，EF=GH四边形EGFH是正方形 【课堂操练】1C 2B 3 答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求如：正方形、矩形4 1或55猜想：BM=FN 证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心,BO=DO ,BDA=DBA=45GEF为ABD绕O点旋转所得FO=DO, F=BDA OB=OF OBM=OFN 在 OMB和ONF中OBMOFN BM=FN 6证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABAD,B = D = 90AE = AF，RtABERtADFBEDF（2）四边形AEMF是菱形四边形ABCD是正方形，BCA=DCA=45，BC=DCBEDF，BCBE=DCDF即CE=CFOE=OFOM = OA，四边形AEMF是平行四边形AE = AF，平行四边形AEMF是菱形7解：（1）证明：连接BDE、H分别是AB、AD的中点，EH是ABD的中位线EHBD，EHBD 同理得FGBD，FGBDEHFG，EHFG 四边形EFGH是平行四边形 （2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形 （3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的 【每课一测】1C 2D 3C 4B 5D6对角线互相垂直相等7解析：本题考查正方形中的探索规律问题，由题意知，点P运动一周路程为4，点P从A点出发，当运动的路程是2008时，点P恰好回到点A，所以当运动路程为2009时，点P所在位置是点B，点P从点A运动到点D运动的路程是3，当运动n圈后，点P走的路程为4n3，故填点B；4n38910或如下图是其中的一种情况：因为BF=AE，且AB=BC，则ABEBCF，则BAEBFC，则BME=90，则ABBE=AEBM，则BM=另一种情况如另一图形，此时可连接FE，则可证明四边形ABEF这矩形，则对角线互相平分，则BM=111）因为ADBC，CEAN，AD、AE分别是BAC的内角、外角平分线，所以DAN=900, 四边形ADCE为矩形。（2）条件：ABC是以BAC为直角的等腰直角三角形。当AD=CD时，四边形ADCE是一个正方形。所以ADC是等腰直角三角形。从而易证ABC也是等腰直角三角形。 12（1）证明：在正方形ABCD中，AO=BO，AOB=90，OAB=OBC=45AOE+EOB=90, BOF+EOB=90AOE=BOF在AOE和BOF中AOEBOF(2)答：两个正方形重叠部分面积等于因为AOEBOF所以：S四边形OEBF=SEOB+SOBF= SEOB+SAOE=SAOB=S正方形ABCD=13 证明：如图1， 四边形ABCD为正方形， AB=BC,ABC=BCD=90， EAB+AEB=90 EOB=AOF90, FBC+AEB=90， EAB=FBC， ABEBCF ， BE=CF 14解：如图,过点A作AM/GH交BC于M，过点B作BN/EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， EF=BN,GH=