北师大版选修45 1.2.1 绝对值不等式 课件（24张）.ppt

2含有绝对值的不等式 2 1绝对值不等式 1 实数的绝对值的概念 2 a 的几何意义 a 表示数轴上实数a对应的点与原点之间的距离 3 两个重要性质 ab a b a b a2 b2 4 x a 的几何意义 数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离 或数轴上表示x a的点到原点的距离 5 x a 的几何意义 数轴上实数x对应的点与实数 a对应的点之间的距离 或数轴上表示x a的点到原点的距离 2 绝对值不等式定理 1 定理 对任意实数a和b 有 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 2 定理的另一种形式 对任意实数a和b 有 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 名师点拨绝对值不等式定理的完整形式 a b a b a b 其中 1 a b a b 成立的条件是ab 0 且 a b 2 a b a b 成立的条件是ab 0 3 a b a b 成立的条件是ab 0 且 a b 4 a b a b 成立的条件是ab 0 做一做 若 lgab lga lgb 成立 则实数a b满足的条件可以是 a ab 1b 01解析 由已知得 lga lgb lga lgb 所以lga lgb 0 因此a 1且b 1或0 a 1且0 b 1 答案 c 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 a b a b 中 等号成立的条件是a b同号 2 a b a b 成立的条件是ab 0 3 数轴上任意一点到两点的距离之和都大于这两点间的距离 4 形如 x a x b 的代数式只有最小值没有最大值 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 若 a c a c d b 0 b b 因为 a c a c 所以 a c b 即选项c正确 这时 a b c 即选项a正确 又 c a a c 所以 c a b 故 c b a 即选项b正确 由选项a成立知选项d错误 答案 d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判断绝对值不等式是否成立的技巧 1 注意对影响不等号的因素进行分析 如一个数 或式子 的正 负 零等 数 或式子 的积 平方 取倒数等都对不等号产生影响 注意考查这些因素在不等式中的作用 2 如果对不等式不能直接判断 可以对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断 3 注意不等式性质尤其是传递性的正确应用 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知实数a b满足ab a b b a b a b c a b a b d a b a b 解析 因为ab 0 所以 a b a b 又 a b a b 所以 a b a b 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 求解下列各题 1 求函数f x x 4 x 2 的最大值和最小值 2 若函数f x x a x 1 的最小值等于5 求实数a的值 分析 1 利用绝对值不等式求解 注意等号成立的条件 2 先用a表示函数的最小值 再求得实数a的值 解 1 由绝对值不等式可得 x 4 x 2 x 4 x 2 即 x 4 x 2 6 所以 6 x 4 x 2 6 故函数f x 的最小值是 6 最大值是6 2 由绝对值不等式可得 x a x 1 x a x 1 即 x a x 1 1 a 因此函数f x x a x 1 的最小值为 1 a 于是 1 a 5 解得a 4或a 6 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用绝对值不等式求最值的技巧 1 绝对值不等式定理反映了绝对值之间的关系 形如y x a x b 或y x a x b 型的函数的最值 均可利用绝对值不等式或其几何意义进行求解 2 一般地 函数y x a x b 有最小值 a b 无最大值 函数y x a x b 的最大值为 a b 最小值为 a b 3 求最值时 还应注意等号成立的条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2 1 函数f x 2x 1 2x 4 的最小值等于 2 若 x 2 x 3 m恒成立 则实数m的取值范围是 解析 1 f x 2x 1 2x 4 2x 1 2x 4 5 所以函数的最小值为5 2 因为函数y x 2 x 3 的最小值为 1 所以实数m的取值范围是 1 答案 1 5 2 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析将欲证不等式左边进行变形 重新组合 与已知条件相对应 再利用绝对值不等式证明 证明 a b c a b c a a b b c c a a b b c c 故原不等式 a b c a b c s成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用绝对值不等式证明的技巧 1 含绝对值不等式的证明一般可通过平方法 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明 或利用绝对值不等式 a b a b a b 通过适当的添项 拆项证明 2 注意与不等式的性质及证明不等式其他方法的结合 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知 x a y b 求证 x 3y a 3b 4 证明 x 3y a 3b x a 3 y b x a 3 y b x a 3 y b 3 4 故原不等式成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对题意理解不清致误 典例 若关于x的不等式 x 5 x 7 a的解集不是r 则参数a的取值范围是 错解依题意 a x 5 x 7 min 而 x 5 x 7 min 2 所以a 2 正解若关于x的不等式 x 5 x 7 a的解集是r 即该不等式恒成立 因此a x 5 x 7 min 而 x 5 x 7 min 2 所以a 2 故要使不等式的解集不是r 参数a的取值范围是 2 纠错心得本题错误在于对 解集不是r 的意义理解不清导致的 事实上 可以利用补集思想解决这个问题 即先求出使不等式解集为r的a的取值范围 再取其补集解得所求 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练若关于x的不等式 x 5 x 3 a有解 则实数a的取值范围是 解析 因为 x 5 x 3 的最大值等于8 所以当a 8时 不等式 x 5 x 3 a无解 从而当不等式有解时 实数a的取值范围是 8 答案 8 1 2 3 4 5 1 若 a b a b 则必有 a ab 0b ab 0c ab 0d ab 0解析 因为 a b a b 又 a b a b 所以 a b a b 因此必有ab 0 答案 b 1 2 3 4 5 2 函数f x x 2 x 2 的最小值为 a 4b 2c 0d 4解析 因为 x 2 x 2 x 2 x 2 4 所以函数f x 的最小值为4 答案 a 1 2 3 4 5 3 若 x a h y a k 则下列不等式一定成立的是 a x y 2hb x y 2kc x y h kd x y