2013届高考数学一轮聪敖惨第二章 2[1]3 函数的单调.ppt

一轮复习讲义 函数的单调性与最值 忆一忆知识要点 上升的 下降的 忆一忆知识要点 增函数 减函数 函数单调性的判断及应用 求函数的单调区间 抽象函数的单调性及最值 02 函数的单调性与不等式 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 1 函数单调性的定义 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 忆一忆知识要点 任取x1 x2 D 且x1 x2 作差f x1 f x2 变形 判号 即判断差f x1 f x2 的正负 定论 即指出函数f x 在给定的区间D上的单调性 1 利用单调性定义 证明函数f x 在给定的区间 先判断定义域 D上的单调性的一般步骤 2 函数的单调性的判定方法 忆一忆知识要点 k 0时 函数y f x 与y kf x b具有相同的单调性 若函数f x g x 在给定的区间D上具有单调性 若f x 恒为正或恒为负时 函数f x 与1 f x 具有相反的单调性 若函数f x g x 都是增 减 函数 则f x g x 仍是增 减 函数 复合函数f g x 的单调性由f x 和g x 的单调性共同决定 同则增异则减 奇函数在对称的区间上有相同的单调性 偶函数在对称的区间上有相反的单调性 2 常见函数的单调性规律总结 忆一忆知识要点 以上规律还可总结为 同增异减 复合函数f g x 的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相关 其规律如下 复合函数单调性的判断 注意 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 忆一忆知识要点 2 函数的单调性的判定方法 3 导数法 若f x 在某个区间内可导 当f x 0时 f x 为增函数 当f x 0时 f x 为减函数 若f x 在某个区间内可导 当f x 在该区间上递增时 则f x 0 当f x 在该区间上递减时 则f x 0 忆一忆知识要点 例1 已知定义在R上的函数y f x 满足 f 0 0 且当x 0时 f x 1 且对任意的a b R f a b f a f b 1 求f 0 的值 2 判断f x 的单调性 一 抽象函数的单调性与最值 解 1 令a b 0 则 任取x1 x2 R 且x1 x2 2 令a x b x则 所以f x 0恒成立 由于当x 0时 f x 1 则f x2 f x2 x1 x1 f x1 即f x2 f x1 f x 是R上的增函数 f x2 x1 f x1 f x2 x1 1 1 若对一切实数x y都有 1 求f 0 的值 2 判定f x 的奇数偶性 令x y 0 则 令y x 则 故f x 是奇函数 解 因为对于任何实数x y都有 练一练 证明 任取x1 x2 R 且x1 x2 则f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 x1 1 f x2 f x1 0 即f x2 f x1 f x 是R上的增函数 2 若函数f x 对任意a b R都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 有f x 1 求证 f x 是R上的增函数 f x2 x1 1 0 f x2 x1 f x1 1 f x1 练一练 3 已知函数f x 对于任何实数x y都有f x y f x y 2f x f y 且f 0 0 求证 f x 是偶函数 令x y 0 则 令x 0 则 故f x 是偶函数 解 已知函数f x 对于任何实数x y都有f x y f x y 2f x f y 练一练 例2 判断函数在区间 1 1 上的单调性 解 设 则f x1 f x2 1 x1 x2 1 1 x1x2 0 x2 x1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故此函数在 1 1 上是减函数 二 函数单调性的判定及证明 例3 设为奇函数 且定义域为R 1 求b的值 2 判断函数f x 的单调性 3 若对于任意t R 不等式恒成立 求实数k的取值范围 解 1 由f x 是奇函数 则f x f x 整理 得 证明 2 任取x1 x2 且x1 x2 则 所以函数f x 在R内是减函数 所以实数k的取值范围是 解 3 因为f x 定义域为R的奇函数 且是减函数 从而判别式 所以对任意t R 不等式恒成立 从而不等式 等价于 所以