8-8走向高考数学章节.ppt

考纲解读1 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 2 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 3 能用向量方法解决直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究几何中的作用 考向预测1 空间向量的数量积及其坐标运算 是高考考查的重点 多以选择 填空题为主 2 利用空间向量证明或判断线面平行 垂直问题 3 利用空间向量求空间角 空间距离是重中之重 多以解答题形式出现 知识梳理1 平面的法向量 1 所谓平面的法向量 就是指所在的直线与平面垂直的向量 显然一个平面的法向量也有个 它们是向量 2 在空间中 给定一个点A和一个向量a 那么以向量a为法向量且经过点A的平面是确定的 无数 共线 唯一 2 直线方向向量与平面法向量在确定直线 平面位置关系中的应用 2 直线与平面的夹角 定义 直线和平面的夹角 是指直线与它在这个平面内的投影的夹角 3 二面角 二面角的取值范围是 二面角的向量求法 若AB CD分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小就是向量与的夹角 如图 0 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的平面角的大小 如图 基础自测1 2010 江西理 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l 使l与棱AB AD AA1所成的角都相等 这样的直线l可以作 A 1条B 2条C 3条D 4条 答案 D 解析 如图 连接AC1 可知AC1与三边AB AD AA1所成角相等 由对称性知 另有3条直线过A且与三边所成角相等 故选D 2 设平面 的法向量为 1 2 2 平面 的法向量为 2 4 k 若 则k A 2B 4C 4D 2 答案 C 解析 2 4 k 1 2 2 2 k 2 k 4 3 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 点E F分别是棱AB BB1的中点 则直线EF和BC1所成的角是 A 45 B 60 C 90 D 120 答案 B 4 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 A 45 B 135 C 45 或135 D 90 答案 C 5 二面角 l 等于120 A B是棱l上两点 AC BD分别在半平面 内 AC l BD l 且AB AC BD 1 则CD的长等于 答案 2 6 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 M和N分别是A1B1和BB1的中点 那么直线AM与CN所成角的余弦值为 7 如图 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 1 求证 DE 平面ABC 2 求证 B1F 平面AEF 分析 可用向量法建立空间直角坐标系 用向量的坐标运算来解决 也可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理 例1 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 A1A 平面ABC AB BC AB BC 2 BB1 1 E为BB1的中点 证明 平面AEC1 平面AA1C1C 分析 要证明两个平面垂直 由两个平面垂直的条件 可证明这两个平面的法向量垂直 转化为求两个平面的法向量n1 n2 证明n1 n2 0 点评 1 证明两个平面垂直 关键是求出两个平面的法向量 把证明面面垂直转化为法向量垂直 2 立体几何中的向量方法 三步曲 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的关系 根据运算结果的几何意义来解释相关问题 例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面A1BD 点评 用向量法证明线面平行 可结合题设条件利用共线向量定理或共面向量定理证明 要注意说明直线在平面外 也可利用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 E F G分别是BB1 DD1 DC的中点 求证 1 平面ADE 平面B1C1F 2 平面ADE 平面A1D1G 3 在AE上求一点M 使得A1M 平面DAE 例3 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为2的菱形 DAB 60 对角线AC与BD交于点O PO 平面ABCD PBO 60 1 求四棱锥的体积 2 若E是PB的中点 求异面直线DE与PA所成角的余弦值 分析 对 1 只需求出高PO 易得体积 对 2 可利用定义 过E点作PA的平行线 构造三角形再求解 点评 高考中对异面直线所成的角的考查 一般出现在综合题的某一步 一般步骤为 平移 要充分挖掘图形的性质 寻找平行关系 如利用 中点 特征等 证明 证明所作的角是异面直线所成的角 寻找 在立体图形中 寻找或作出含有此角的三角形 并解之 取舍 因为异面直线所成的角 的取值范围是0 90 所以所作的角为钝角时 应取它的补角作为异面直线所成的角 若用向量法 则转化为求两向量的夹角 例4 2010 新课标理 如图 已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为H PH为四棱锥的高 E为AD中点 1 证明 PE BC 2 若 APB ADB 60 求直线PA与平面PEH所成角的正弦值 解析 本小题主要考查空间的线面位置关系的判定 考查空间想象能力以及用向量知识解决数学问题的能力 以H为原点 HA HB HP分别为x y z轴 线段HA的长为单位长 建立空间直角坐标系如图 则A 1 0 0 B 0 1 0 点评 在利用空间向量求线面角时 是首先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角 再求得相应的线面角 但要注意 若平面法向量与直线方向向量的夹角为 可为锐角或钝角 则直线与平面所成的角 应满足sin cos 2008 宁夏 海南 如图 已知点P在正方体ABCD A B C D 的对角线BD 上 PDA 60 1 求DP与CC 所成角的大小 2 求DP与平面AA D D所成角的大小 解析 如图 以D为原点 DA为单位长建立空间直角坐标系D xyz 例5 如图 矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直 BE CF BCF CEF 90 AD EF 2 1 求证 AE 平面DCF 2 当AB的长为何值时 二面角A EF C的大小为60 解析 解法1 1 过点E作EG CF交CF于G 连接DG 可得四边形BCGE为矩形 又ABCD为矩形 所以AD綊EG 从而四边形ADGE为平行四边形 故AE DG 因为AE 平面DCF DG 平面DCF 所以AE 平面DCF 解法2 如图 以点C为坐标原点 以CB CF和CD分别作为x轴 y轴和z轴 建立空间直角坐标系C xyz 2010 江西文 如图 BCD与 MCD都是边长为2的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD AB 2 1 求直线AM与平面BCD所成角的大小 2 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 注 空间角的求法每年高考都涉及 关键是找出垂线和垂面 培养自己观察问题 分析问题解决问题的能力 空间想象能力 并在平日学习中总结归纳出几何模型 做到 心中有型 例6 S是 ABC所在平面外一点 AB BC 2a ABC 120 且SA 平面ABC SA 3a 求点A到平面SBC的距离 解析 解法1 如图 作AD BC交BC于D 连接SD SA 平面ABC SA BC 又SA AD A BC 平面SAD 又BC 平面SBC 平面SBC 平面SAD 且平面SBC 平面SAD SD 解析 考查立体几何知识 考查学生的空间想象能力 推理能力 数学中的转化思想 或利用空间向量处理立体几何问题的能力 1 求平面DEF与平面ABC相交所成的锐二面角的大小 2 求点A1到平面DEF的距离 1 利用向量法的基本过程在正方体 直棱柱等较为规则的几何图形中建立恰当的空间直角坐标系 通过确定点的坐标找到问题求解时必须涉及的向量的坐标 并将立体几何问题中的几何语言译成向量问题中的向量关系 再借助向量的运算和向量的性质完成几何问题证明 3 利用空间向量求空间角 1 利用空间向量求直线与平面所成的角 可以有两种办法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 二是通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 2