3-2走向高考数学章节.ppt

考纲解读1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 3 会利用导数解决某些实际问题 考向预测1 利用导数研究函数的单调性 极值 最值以及解决生活中的最优化问题 已成为近几年高考炙手可热的考点 2 选择题 填空题 侧重于利用导数确定函数的单调性和极值 解答题 侧重于导数与函数 解析几何 不等式 数列的综合应用 一般难度较大 属中高档题 知识梳理1 函数的单调性在 a b 内可导函数f x f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于0 f x 0 f x 为 f x 0 f x 为 2 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 增函数 减函数 f x 0 f x 0 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程的根 检查f x 在方程的根左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 极大值 极小值 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的 将f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b f a f b 极值 f a f b A B C D 答案 B 解析 对于 f x 在原点附近为增函数 f x 0 而图像中当x 0时 f x 0 一定不正确 对于 同理 导函数开始应在x轴上方 一定不正确 故选B 2 已知函数f x x3 px2 qx的图像与x轴切于 1 0 点 则f x 的极大值 极小值分别为 答案 A 解析 f x 3x2 2px q由f 1 0 f 1 0得 3 设a R 若函数y ex ax x R有大于零的极值点 则 A a 1 答案 A 4 函数y ax3 x在R上是减函数 则 答案 D 解析 y 3ax2 1 函数y ax3 x在R上是减函数 3ax2 1 0在R上恒成立 a 0 5 函数f x x3 15x2 33x 6的单调减区间为 答案 1 11 解析 本题主要考查求导公式和单调区间 f x 3x2 30 x 33 3 x 11 x 1 由 x 11 x 1 0得 1 x 11 f x 的单调减区间为 1 11 解析 本题主要考查了导数在实际问题中的应用 求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数 进而利用导数工具求函数的最值 重点考查了考生的建模能力和运算能力 如图 设AD x 0 x 1 则DE AD x 梯形的周长为x 2 1 x 1 3 x 7 已知f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1时取得极值 且f 1 1 1 试求常数a b c的值 2 试判断x 1是函数的极小值点还是极大值点 并说明理由 解析 1 f x 3ax2 2bx c x 1是函数f x 的极值点 且f x 在定义域内任意一点处可导 x 1使方程f x 0 即为3ax2 2bx c 0的两根 当x 1或x0 当 1 x 1时 f x 0 函数f x 在 1 和 1 上为增函数 在 1 1 上为减函数 当x 1时 函数取得极大值f 1 1 当x 1时 函数取得极小值f 1 1 例1 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集R上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 3 证明 f x x3 ax 1的图像不可能总在直线y a的上方 分析 1 求f x 转化成恒成立问题 2 假设存在a 求出a值进行检验 解析 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是单调增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x R恒成立 3x2 0 只需a 0 又a 0时 f x 3x2 0 故f x x3 ax 1在R上是增函数 则a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2 x 1 1 恒成立 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 3 证明 f 1 a 2 a f x 的图像不可能总在直线y a的上方 2010 辽宁理 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 讨论函数f x 的单调性 分析 本题考查了导数的计算 导数的应用 体现了较强的分析能力 转化能力及应用能力 还体现了分类讨论思想 解题思路是求函数导数 讨论参数 确定导数的正负 判定函数的增减 例2 已知函数f x ax3 bx2 cx在点x0处取得极大值5 其导函数y f x 的图像经过点 1 0 2 0 如右图所示 1 求x0的值 2 求a b c的值 解析 1 结合图像可得 由上表可得f x 在x 1处取得极大值 所以x0 1 2 解法1 f x 3ax2 2bx c 由f 1 0 f 2 0 f 1 5得 点评 本题要求学生善于随机应变 根据实际情况 读图像 列表格 翻译不等式 定极大值 很好的考查了学生思维的灵活性 将传统二次函数问题结合导数方式出现 很好的兼顾了基础与能力的要求 新旧内容的衔接 源于教材又不拘泥于教材 是一道训练读图识图能力 运用 数形结合 思想解决问题的好题 设曲线y ax3 bx2 cx d a 0 以原点为极小值点 且函数图像过点 1 1 用a表示函数的极大值 分析 按求极值的步骤 先求f x 再由f x 0得到极值点 最后求出极大值 解析 f x 3ax2 2bx c f 0 0 c 0 f x ax3 bx2 d f 1 1 a b d 1 f 0 0 d 0 a b 1 分析 本题主要考查了函数的性质和利用导数研究函数的最值等知识 同时也考查了分类讨论的思想和函数与方程思想 点评 近年来 函数与导数 不等式结合的问题成为高考考查的热点 这类问题或给出新的情景 理解起来有一定的难度 或需要较强的运算和构造能力 给我们整理式子和寻找问题的突破口带来困难 因此 我们在复习时需要对这类问题进行针对性的训练 2010 重庆文 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 分析 本题主要考查函数的奇偶性 单调性 最值等基础知识 考查导数在函数中的应用 同时还考查综合分析问题和解决问题的能力 解析 1 由题意得f x 3ax2 2x b 因此g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b 因为函数g x 是奇函数 所以g x g x 即对任意x 有a x 3 3a 1 x 2 b 2 x b ax3 3a 1 x2 b 2 x b 例4 某集团为了获得更大的利益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t 百万元 可增加销售额约为 t2 5t 百万元 0 t 5 1 若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司由此获得的收益最大 解析 1 设投入t 百万元 的广告费后增加的收益为f t 百万元 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 当t 2百万元时 f t 取得最大值4百万元 即投入2百万元的广告费时 该公司由此获得的收益最大 g x x2 4 令g x 0解得x 2 舍去 或x 2 当0 x0 当2 x 3时 g x 0 故g x 在 0 2 上是增函数 在 2 3 上是减函数 所以为x 2时 g x 取最大值 即将2百万元用于技术改造 1百万元用于广告促销 该公司由此获得的收益最大 1 要使平均成本最低 应生产多少件产品 2 若产品以每件500元售出 要使利润最大 应生产多少件产品 令y 0 得x1 1000 x2 1000 舍去 当在x 1000附近左侧时 y 0 故当x 1000时 y取得极小值 由于函数只有一个极小值点 那么函数在该点取得最小值 因此要使平均成本最低 应生产1000件产品 令L 0 得x 6000 当x在6000附近左侧时 L 0 当x在6000附近右侧时 L 0 故当x 6000时 L取得极大值 由于函数只有一个使L 0的点 且函数在该点有极大值 那么函数在该点取得最大值 因此 要使利润最大 应生产6000件产品 点评 本题第 1 问也可用均值不等式求解 a 0 由F x 0 x a F x 在 a 上单调递增 由F x 0 x 0 a F x 在 0 a 上单调递减 F x 的单调递减区间为 0 a 单调递增区间为 a 当x变化时G x G x 的变化情况如下表 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f