8-5走向高考数学章节.ppt

考纲解读了解球 棱柱 棱锥 台体的表面积和体积的计算公式 不要求记忆公式 考向预测1 以求几何体的表面积和体积为载体 考查空间想象能力 计算能力 2 多与三视图 简单组合体相联系 在知识交汇点处命题 3 多以选择题 填空题的形式考查 偶尔在解答题中出现 属容易题 知识梳理1 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图分别是 它们的表面积等于 矩形 扇形 扇环 侧面积与底面积之和 答案 D 解析 本题主要考查三视图 侧面积等知识 原几何是一个底面边长为2 高为1的正三棱柱 则S侧 3 2 1 6 2 2010 安徽理 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积为 A 280B 292C 360D 372 答案 C 解析 由三视图知该几何体是两个长方体的组合体 上面的长方体的表面积为6 8 2 8 2 2 2 2 132 下面的长方体的表面积为10 8 2 10 2 2 8 2 2 2 2 228 故共有360 选C 答案 B 4 2009 辽宁 正六棱锥P ABCDEF中 G为PB的中点 则三棱锥D GAC与三棱锥P GAC体积之比为 A 1 1B 1 2C 2 1D 3 2 答案 C 解析 考查三棱锥体积的求法及等积法的运用 VD GAC VG ACD G为PB中点 VP GAC VB GAC VG ABC 又S ABC S ACD 1 2 VD GAC VP GAC VG ACD VG ABC S ACD S ABC 2 1 5 2010 浙江理 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 cm3 答案 114 解析 三视图还原为一个正棱台和长方体的组合体 对棱台 下底边长8 上底边长为4 高为3 对其上的长方体 边长为4 4 2 则体积为144cm3 6 文 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱的长分别为1 2 3 则此球的表面积为 答案 14 解析 设球的半径为R 则长方体的体对角线长等于外接球直径 4R2 12 22 32 14 S 4 R2 14 7 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm 且其侧面积等于两底面面积之和 求棱台的高 分析 要求正棱台的高 首先要画出正棱台的高 使其包含在某一个特征直角梯形中 转化为平面问题 由已知条件列出方程 求解所需的几何元素 例1 如图所示 已知圆锥SO中 底面半径r 1 母线长l 4 M为母线SA上的一个点 且SM x 从点M拉一根绳子 围绕圆锥侧面转到点A 求 1 绳子的最短长度的平方f x 2 绳子最短时 顶点到绳子的最短距离 3 f x 的最大值 分析 将圆锥侧面展开 利用平面内两点之间线段最短来解决该问题 点评 空间几何体表面上的距离最小问题是立体几何的基本问题 其解题思路是将空间几何体侧面展开 把立体几何问题转化为平面几何问题 然后利用平面几何知识去解决 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB BC AA1 2 ABC 90 E F分别为AA1 B1C1的中点 沿棱柱的表面从E点到F点的最短路径的长度为d 求d的最小值 分析 可将直三棱锥的表面展开 利用 两点间线段最短 来解决 解析 将三棱柱的侧面 底面展开有三种情形 点评 在许多数学问题和实际生活中 经常遇到一些沿几何体表面路径最短问题 这类问题一般可以通过将立体图的表面展成平面图形后 利用平面几何知识求解 在Rt D1DE中 如图 在 ABC中 若AC 3 BC 4 AB 5 以AB所在直线为轴 将此三角形旋转一周 求所得旋转体的表面积和体积 例3 已知四棱台两底面均为正方形 边长分别为4cm 8cm 侧棱长为8cm 求它的侧面积和体积 分析 由题意知 需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高 然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论 解析 如图 设四棱台的侧棱延长后交于点P 则 PBC为等腰三角形 取BC中点E 连接PE交B1C1于点E1 则PE BC E1E为侧面等腰梯形的高 作PO 底面ABCD交上底面于点O1 连接O1E1 OE 点评 求锥体的体积常用方法为 割补法和等积变换法 1 割补法 求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体 锥体 分别求出柱体和锥体的体积 从而得出几何体的体积 有时将几何体补成易求几何体的体积 如长方体 正方体 然后求出两个或几个几何体的体积之差 2 等积变换法 利用三棱锥的任一面可作为三棱锥的底面 求体积时 可选择容易计算的方法来计算 利用 等积性 可求 点到面的距离 分析 本题为求棱锥的体积问题 已知底面边长和侧棱长 可先求出三棱锥的面底面积和高 再根据体积公式求出其体积 解析 如图所示 正三棱锥S ABC 设H为正三角形ABC的中心 连接SH 则SH的长即为该正三棱锥的高 连接AH并延长交BC于E 则E为BC的中点 且AH BC ABC是边长为6的正三角形 例4 如图 在等腰梯形ABCD中 AB 2DC 2 DAB 60 E为AB的中点 将 ADE与 BEC分别ED EC向上折起 使A B重合 求形成三棱锥的外接球的体积 分析 易知折叠成的几何体为棱长为1的正四面体 求其外接球半径即可 解析 由已知条件知 平面图形中AE EB BC CD DA DE EC 1 折叠后得到一个正四面体 方法一 作AF 面DEC 垂足为F F即为 DEC的中心 取EC中点G 连接DG AG 过球心O作OH 面AEC 则垂足H为 AEC的中心 外接球半径可利用 OHA GFA求得 点评 1 折叠问题是高考经常考查的内容之一 解决这类问题的关键是搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变的 然后根据翻折前后图形及数量的关系的变化 借助立体几何与平面几何知识即可求解 2 与球有关的组合体 是近几年高考常考的题目 主要考查空间想象能力及截面图的应用 因此画出组合体的截面图是解决这类题的关键 有三个球 第一个球内切于正方体六个面 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 分析 作出截面图 分别求出三个球的半径 点评 球的组合体问题 关键是正确地作出截面图 用圆的知识把立体问题化为平面问题解决 1 对于基本概念和能用公式直接求棱柱 棱锥 棱台与球的表面积的问题 要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决 这种题目难度不大 2 要注意将空间问题转化为平面问题 3 当给出的几何体比较复杂 有关的计算公式无法运用 或者虽然几何体并不复杂 但条件中的已知元素彼此离散时 我们可采用 割 补 的技巧 化复杂几何体为简单几何体 柱 锥 台 或化离散为集中 给解题提供便利 1 几何体的 分割 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求 分割成若干个易求体积的几何体 进而求之 2 几何体的补形与分割一样 有时为了计算方便 可将几何体补成易求体积的几何体 如长方体 正方体等 另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法 由台体的定义 我们在有些情况下 可以将台体补成锥体研究体积 3 有关柱 锥 台 球的面积和体积的计算 应以公式为基础 充分利用几何体中的直角三角形 直角梯形求有关的几何元素 4 与球有关的组合体问题 一种是内切 一种是外接 解题时要认真分析图形 明确切点和接点的位置 确定有关元素间的数