苏州期中数学.DOC

苏州市20112012学年第一学期期中试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)201111一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上1. 集合Ax|0x3，xR，Bx|1x2，xR，则AB_.2. 在等差数列an中，a53，a62，则a3a4a8_.3. 已知向量a(2，x)，b(x1,1)若ab，则x的值为_4. 已知cos，则sin_.5. 已知a20.5，b2.10.5，clog21.5，则a，b，c大小关系是_(用“”连接)6. 设函数f(x)，则f(f(1)_.7. 设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(4)0，则不等式0的解集为_8. 已知等比数列an为递增数列，且a3a73，a2a82，则_.9. 已知方程x33x的解在区间内，nZ，则n的值是_10. 已知函数f(x)exelnx，则f(x)的最小值为_11. 设函数f(x)|x21|，若ab0，且f(a)f(b)，则a2的取值范围为_12. 如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船每小时航行_海里13. 已知O，A，B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|7，|5，则()的值为_14. 已知函数f(x)(x(1,1)，有下列结论： x(1,1)，等式f(x)f(x)0恒成立； m0，)，方程|f(x)|m有两个不等实数根； x1，x2(1,1)，若x1x2，则一定有f(x1)f(x2)； 存在无数个实数k，使得函数g(x)f(x)kx在(1,1)上有三个零点则其中正确结论的序号为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知函数f(x)cos2sinsin.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间上的值域16. (本小题满分14分)如图所示，在平行四边形OADB中，向量a，b，两条对角线交点为C，又，.(1) 试用a，b，表示；(2) 若|，|a|2，|b|6，求平行四边形OADB的面积17. (本小题满分15分)已知函数f(x)，若函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称(1) 写出函数g(x)的解析式；(2) 记yg(x)的定义域为A，不等式x2(2a1)xa(a1)0的解集为B.若A是B的真子集，求a的取值范围18. (本小题满分15分)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(xN*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10万元(a0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1) 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2) 在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的最大值是多少？19. (本小题满分16分)设函数f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1) 当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率；(2) 求函数f(x)的单调区间与极值；(3) 已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1x2；若对任意的xx1，x2，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围20. (本小题满分16分)已知数列an满足对任意的nN*，都有aaa(a1a2an)2且an0.(1) 求a1，a2的值；(2) 求数列an的通项公式an；(3) 设数列的前n项和为Sn，不等式Snloga(1a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围.苏州市20112012学年第一学期期中试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，若多做，则按作答的前两题评分，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲如图，AB是O的直径，C、F为O上的点，且CA平分BAF，过点C作CDAF交AF的延长线于点D.求证：DC是O的切线B. 选修42：矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1,2)变成了点A(7,10)，点B(2,0)变成了点B(2,4)，求矩阵M.C. 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的极坐标方程为Pcos，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被圆C所截得的弦长D. (选修45：不等式选讲)已知函数f(x)|x1|x2|.若不等式|ab|ab|a|f(x)(a0，a，bR)恒成立，求实数x的范围【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1) 求异面直线AB与MD所成角的大小；(2) 求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值23.已知f(n)1，g(n)，nN*.(1) 当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2) 猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明苏州市20112012学年第一学期期中试卷数学参考答案及评分标准1. x|1x32. 33. 2或14. 5. bac6. 37. (4,0)(0,4)8. 9. 210. e11. (，0)12. 3013. 1214. 15. 解：(1) f(x)cos2sinsincos2xsin2x(sinxcosx)(sinxcosx)(3分)cos2xsin2xsin2xcos2xcos2xsin2xcos2xsin.(6分) f(x)最小正周期T.(8分)(2) x， 2x，(10分) sinmax1，sinmin，(12分)即f(x)sin的值域为.(14分)16. 解：(1) ，而，CD， (2分)()()ab.(7分)(2) 由(1)|2ab2a2b2ab.(10分) |a|2，|b|6，记AOB，则|222cos3cos，(13分) 平行四边形OADB的面积为266.(14分)17. 解：(1) 在函数yg(x)的图象上任取一点P(x，y)，则P关于原点的对称点P(x，y)在yf(x)的图象上，(2分)则yg(x).(6分)(直接写出解析式无过程，扣2分)(2) 由01x，即A；(8分)x2(2a1)xa(a1)0a1xa，即Ba1，a(11分)因为A是B的真子集，故，得a0.(15分)(最后解答得a0扣2分)18. 解：(1) 由题意得：10(1 000x)(10.2x%)101 000，(4分)即x2500x0，又x0，所以0x500.即最多调整500名员工从事第三产业(6分)(2) 从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000x)万元，则10x10(1 000x)(10.2x%)，(10分)所以ax1 0002xxx2，所以ax1 000x，即a1恒成立(12分)因为x24，当且仅当，即x500时等号成立(14分)所以a5，即a的最大值为5.(15分)(若最小值的求解用导数进行，同样得分)19. 解：(1) 当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.(3分)(2) f(x)x22xm21，令f(x)0，得到x1m或1m.(4分)因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m,1m)1m(1m，)f(x)00f(x)极小值极大值(，1m)和(1m，)为f(x)单调减区间；(1m,1m)为f(x)单调增区间(7分)函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2；函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.(9分)(不列表，通过不等式说明单调性也给分，极值不化简扣1分)(3) 由题设，f(x)xx(xx1)(xx2)，所以方程x2xm210有两个相异的实根x1，x2，故x1x23，(10分)且1(m21)0，解得m(舍)或m.(11分)因为x1x2，所以2x2x1x23，故x21.(12分)若x11x2，则f(1)(1x1)(1x2)0，而f(x1)0，不合题意；(13分)若1x1x2，则对任意的xx1，x2有xx10，xx20，则f(x)x(xx1)(xx2)0.又f(x1)0，所以函数f(x)在xx1，x2的最小值为0，于是对任意的xx1，x2，f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)m20，解得m.(15分)综上，m的取值范围是.(16分)20. 解：(1) 当n1时，有aa，由于an0，所以a11.(1分)当n2时，有aa(a1a2)2，将a11代入上式，由于an0，所以a22.(2分)(2) 由于aaa(a1a2an)2，则有aaaa(a1a2anan1)2.，得a(a1a2anan1)2(a1a2an)2，(3分)由于an0，所以a2(a1a2an)an1.同样有a2(a1a2an1)an(n2)，(6分)，得aaan1an.所以an1an1.(7分)由于a2a11，即当n1时都有an1an1，(8分)所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列故ann.(9分)(3) 由(2)知ann，则.所以Sn.(12分) Sn1Sn0， 数列Sn单调递增(14分)所以(Sn)minS1.要使不等式Snloga(1a)对任意正整数n恒成立，只要loga(1a) 1a0， 0a1. 1aa，即0a.所以实数a的取值范围是.(16分)苏州市20112012学年第一学期期中试卷数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲证明：连结OC，所以OACOCA.(2分)又因为CA平分BAF，所以OACFAC，(4分)于是FACOCA，所以OCAD.(6分)又因为CDAF，所以CDOC，(8分)故DC是O的切线(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：设M，则，(4分)即，解得.(8分)所以M.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：曲线C的极坐标方程cos，可化为cossin，化为直角坐标方程为x2y2xy0，即22.(3分)直线l：(t为参数)，可化为3x4y10，(6分)圆心到直线的距离d，(8分)弦长L2.(10分)D. (选修45：不等式选讲)解：由|ab|ab|a|f(x)，且a0，得f(x)(3分)又因为2，则有2f(x)，(6分)解不等式|x1|x2|2，得x.(10分)22. 解：作APCD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)(2分)(1) 设AB与MD所成的角为， (1,0,0)， cos， ， AB与MD成角的大小为.(5分)(2) ， 设平面OCD的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10，则，取z，解得n1(0,4，)(7分)易知平面OAB的一个法向量为n2(0,1,0)，(8分)cosn1，n2.(10