考研数学各章节练习题打印.doc

第八讲: 三重积分与线面积分单元一: 三重积分计算2. 计算, 其中由,及平面围成. 法(1) 法(2)3. 利用截面法计算 (2). (4)., 其中是圆台柱体,其上,下底半径分别为, 高为, 下底为平面内圆域: . 5.,为由绕轴旋转一周形成的曲面与所围成的区域. 6. 是由曲线 与原点连接所得的锥面, (1)写出的方程, (2)证明:, 其中是所围的面积,是锥面与平面所围立体的体积. 7. . 9. 证明: 并化简: (1); (2) 10. 连续, , 求: ,其中: . 单元二: 三重积分应用 2. 设是一底为圆盘的曲顶柱体,其顶面为绕轴旋转而 成, 顶面上一点处的切平面与平面平行, (1)写出顶面方程和点坐标; (2)求位于顶面与切平面之间的体积. (1)顶面: (2)切平面4. 由与平面所围的立体, 求, 并求 5. 设有一匀质物体,在空间所占据的区域为由球面与圆锥面 所围成(含轴的部分),其中,求该物体的重心坐标. 7. 求密度为的均匀圆柱体: 对直线的转动惯量. 8. 求质量为均匀柱体: 对位于点的单位质点的引力. 9. 密度均匀的球锥体: 顶点为,对称轴为轴,球半径为,半顶角为,求对于其顶 点处的单位质点的引力. 单元三: 第一类线面积分计算1. 设为椭圆,其周长记为,则求. 2. 利用对称性计算下列积分 (1) (2) 3. (1)设是圆周在第一象限的部分,求:. (2)第一象限部分. (3)从点. (4)从点. (5),其中是. 4. (1)是由与所围区域的边界. (2)所围扇形的边界. 5. 折线. 6. 利用性质计算下列积分 (1)设是平面在第一卦限的部分,计算. (2)设为平面: 被柱面所截得的部分, 求: . (3)计算,其中是球面在第一卦限部分. (4)计算,其中是. (5)计算,其中是. 7.(1)计算, 其中为 部分. (2)计算, 其中 介于 及 之间. (3)计算, 其中为锥面在柱体内的部分. (4)计算, 其中是球面被平面截出的顶部. (5)计算, 其中为上半球面. (6)计算, 其中为柱面介于之间的部分. 8. 设为椭球面的上半部分,点,为在点处的切平面, 为点到平面的距离, 求. 单元四: 第一类线面积分应用1. 已知物质曲线上任一点处的线密度为,求该物质的质量. 2. 求曲线时的质量. 3. , , 求的质量. 4. 球壳上各点处的面密度等于该点到轴的距离, 求球壳的质量. 5. 一簿壳形状为,其上任一点处的面密度,求其 质量. 6. 求心形线的形心 7. 求曲线的一段弧关于轴的转动惯量 8. 曲顶柱体由与所围,求侧面积. 9. , (1)写出向面投影的曲线方程. (2)求投影柱面介于和之间的面积. 10. 平面曲线绕直线旋转成一旋转曲面,求侧面积. 单元五: 第二类曲线积分与Grenn公式1. 计算,其中是曲线上从至的一段. 2. 在过点和的曲线族中, 求一条曲线, 使沿该曲线从 到的积分的值最小. 3. 求: , 其中正向. 4. 利用Grenn公式计算下列积分 (1),逆时针方向 (2)的正向边界. (3)所围 第一象限正向. (4)正向. (5)是以和为顶点 的三角形的正向边界线. (6), 其中为取逆时针方向. 5. 的正向, (1)计算; (2)求,使; (3)求,使取到最大. ; ; 6. . 7. . 8.(1), . (2)逆时针. (3). (4),从 (5),其中为折线 . (6),:自至的弧段. 9. 求: , 其中 为自点 沿曲线 到的弧段. 10. ,其中曲线弧起点为,终点为 ,且位于线段的下方,又曲线弧与线段所围图形面积为. 11. 定义:, 证明: 当时, 常数), 12. 证明: (1); (2). 其中是的外法 向,是所围的面积. (1) (2)13. 利用全微分计算下列积分: (1), 其中是沿椭圆正向从到的一 段弧. (2)设是平面上从圆周上任一点到圆周上任一点的一条 光滑曲线, 求: . 单元六: 积分与路径无关性1. 设曲线积分与路径无关,其中一阶连续 可导, , 求函数的表达式. 2. 设函数在内有一阶连续导数, 是上半平面内的有向分段光滑 曲线,其起点,终点为, 记 (1)证明:曲线积分与路径无关; (2)当时,求的值. (1)3. 设函数具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑正向简单闭曲线上, 曲线积分: 的值恒为一常数. (1)证明: 对右半平面 内的任意分段光滑简 单闭曲线, 有: , (2)求函数的表达式. (2)4. , 问: (1)为何值时,积分与路径无关(与不相交); (2)计算从到的积分值 5. 已知,求(1); (2). 6. 确定常数,使在右半平面上的向量 为某二元函数的梯度,并求. 单元七: 第二类曲面积分与Gauss公式1. 利用单一投影法计算下列积分 (1),其中为平面位于第一卦限部分的上侧 (2)外侧. (3),其中是圆柱面被平面和所 截出部分的外侧. 2. 利用合一投影法计算下列积分 (1),是抛物面 被平面:, 所截部分的上侧. (2)计算,其中为的前侧. 3. 位于第一卦限部分上侧(多解) 4. 计算,其中为的下半部分,是向上的法向量与轴 正向的夹角. 5. 利用Gauss公式计算下列积分 (1), 外侧. (2)计算为以坐标原点为心的单位球面外侧. (3)与所围立体外侧. (4), 其中是平面, 所围成的四面体的边界的外侧. 6. 所围立体表面外侧, 求 . 7. , 是由面上弧段: 绕轴旋转 所成的旋转面的凸的一侧. , =8.(1)上侧 (2)上侧. (3),其中为下半球面的上侧. (4), 其中在第一 卦限部分, 取上侧. 9. 若满足:, 求证: , 其中为 闭曲面的外法线方向,为所围立体. 右式 右式单元八: 第二类线面积分应用1. ,求质点沿直线由点到,力所作的功. 2. 设位于点的质点对质点的引力大小为 (,为与之间的距离), 质点沿曲线自运动到, 求此运动过程中点对质点 的引力所作的功. 3. 设质点在力场作用下从原点沿光滑曲线移动到椭圆 上位于第一象限点处,问在何处时,所作的功W最大. 4. , 求流体流向曲面上侧的流量. 5. ,求通过流向下侧 的流量 单元九: 环流量与Stokes公式1. 设向量场, 求. 2. 设, 求 3. 设, 求: . 4. 为椭圆周: 逆时针方向. 5. 为(1)椭圆周:; (2) 且从轴正向向轴负向看去, 取顺时针方向 ; 6. 以为顶点的三角形周界(逆时针). 7. 为与的交线,的走向与指向成右 手法则, 证明: 8. 在变力作用下,质点由