【19872017】历年考研数学一真题(答案解析)【整理版】.doc

历年考研数学一真题1987-2017（答案+解析）（经典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2015-2017）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 18小题每小题4分，共32分设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在的拐点个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则 （A） （B）（C） （D）【详解】线性微分方程的特征方程为，由特解可知一定是特征方程的一个实根如果不是特征方程的实根，则对应于的特解的形式应该为，其中应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得，同时是原来方程的一个解，代入可得应该选（A）若级数条件收敛，则依次为级数的（）收敛点，收敛点 （）收敛点，发散点(）发散点，收敛点 （）发散点，发散点【详解】注意条件级数条件收敛等价于幂级数在处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为，即，所以的收敛半径，绝对收敛域为，显然依次为收敛点、发散点，应该选（B）设D是第一象限中由曲线与直线所围成的平面区域，函数在D上连续，则（ ） （）（）（）（）【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：也就是D：所以，所以应该选（B）5设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（A） （B）（C） （D）【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：方程组无穷解的充分必要条件是，也就是同时成立，当然应该选（D）6设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在下的标准形为（A） （B）（C） （D） 【详解】，所以故选择（A）7若为任意两个随机事件，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】所以故选择（C）8设随机变量不相关，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】故应该选择（D）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 【详解】10 【详解】只要注意为奇函数，在对称区间上积分为零，所以11若函数是由方程确定，则 【详解】设，则且当时，所以也就得到12设是由平面和三个坐标面围成的空间区域，则 【详解】注意在积分区域内，三个变量具有轮换对称性，也就是13阶行列式 【详解】按照第一行展开，得，有由于，得14设二维随机变量服从正态分布，则 【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，且相互独立则三、解答题15（本题满分10分）设函数，在时为等价无穷小，求常数的取值【详解】当时，把函数展开到三阶的马克劳林公式，得由于当时，是等价无穷小，则有，解得，16（本题满分10分）设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式【详解】在点处的切线方程为令，得曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积为整理，得，解方程，得，由于，得所求曲线方程为17（本题满分10分）设函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数【详解】显然在处的梯度在处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模所以此题转化为求函数在条件下的条件极值用拉格朗日乘子法求解如下：令解方程组，得几个可能的极值点，进行比较，可得，在点或处，方向导数取到最大，为18（本题满分10分）（1）设函数都可导，利用导数定义证明；（2）设函数都可导，写出的求导公式【详解】（1）证明：设由导数的定义和可导与连续的关系（2）19（本题满分10分）已知曲线L的方程为，起点为，终点为，计算曲线积分【详解】曲线L的参数方程为起点对应，终点为对应20（本题满分11分）设向量组为向量空间的一组基，（1）证明：向量组为向量空间的一组基；（2）当为何值时，存在非零向量，使得在基和基下的坐标相同，并求出所有的非零向量【详解】（1），因为，且显然线性无关，所以是线性无关的，当然是向量空间的一组基（2）设非零向量在两组基下的坐标都是，则由条件可整理得：，所以条件转化为线性方程组存在非零解从而系数行列式应该等于零，也就是由于显然线性无关，所以，也就是此时方程组化为，由于线性无关，所以，通解为，其中为任意常数所以满足条件的其中为任意不为零的常数21（本题满分11分）设矩阵相似于矩阵（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有，也就是（2）由，得A，B的特征值都为解方程组，得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为；解方程组得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为令，则22（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为次数求的分布函数；（1） 求的概率分布；（2） 求数学期望【详解】（1）X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为显然Y的可能取值为且（2）设23（本题满分11分）设总体的概率密度为其中为未知参数，是来自总体的简单样本（1）求参数的矩估计量；（2）求参数的最大似然估计量【详解】（1）总体的数学期望为令，解得参数的矩估计量：（2）似然函数为显然是关于的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使尽可能大就可以，所以参数的最大似然估计量为2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若反常积分收敛，则（）。A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】，而当时收敛，而此时不影响，而当时收敛，此时不影响，因此选择C.（2）已知函数，则的一个原函数是（）。A. B. C. D. 【答案】D【解析】对函数做不定积分可得原函数，因此选择D.（3）若是微分方程的两个解，则=（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】将代入微分方程可得： 而将代入微分方程可得：将这两个式子相加可得：两个式子相减可得：因此可得故选择A.（4）已知函数，则（）。A. 是的第一类间断点B. 是的第二类间断点C. 在处连续但不可导D. 在处可导【答案】D【解析】，因此在处连续，而，而，因此，而左右两边的极限均为1，因此，故在可导，选择D.（5）设是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（）。A. 与相似B. 与相似C. 与相似D. 与相似【答案】C【解析】因为与相似，因此存在可逆矩阵，使得，于是有：，即，因此，因此，而C选项中，不一定等于，故C不正确，选择C.（6）设二次型，则在空间直角坐标系下表示的二次曲面为（）。A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.椭球面D.柱面【答案】B【解析】二次型对应的矩阵，根据可以求得特征值为，因此二次型的规范形为，故可得，即，因此对应的曲面为双叶双曲面，选择B.（7）设随机变量，记，则（）。A. 随着的增加而增加B. 随着的增加而增加C. 随着的增加而减少D. 随着的增加而减少【答案】B【解析】，因此选择B，随着的增加而增加.（8）随机试验有三种两两不相容的结果，且三种结果发生的概率均为，将试验独立重复做2次，表示2次试验中结果发生的次数，表示2次试验发生的次数，则于的相关系数为（）。A.B.C.D.【答案】【解析】根据题意可知，因此有，因此可得，故可得相关系数为：二、填空题，914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答疑纸指定位置上.（9）_.【答案】【解析】（10）向量场的旋度_.【答案】【解析】由旋度公式可得（11）设函数可微，由方程确定，则_.【答案】【解析】将两边分别关于求导可得：，。将代入原式可得，因此将代入关于求导的式子可得：，因此，代入关于求导的式子可得：，因此有，故可得.（12）设函数，且，则_.【答案】【解析】根据，可得：，然后求二阶导数为：此时（存疑）（13）行列式_.【答案】【解析】.（14）设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数的置信度为0.95的双侧知心区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为_.【答案】【解析】，因为，所以，因此可得，故可得置信区间为.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）已知平面区域，计算二重积分.【答案】【解析】（16）（本题满分10分）设函数满足方程，其中.（）证明：反常积分收敛；（）若，求的值.【答案】（）；（）【解析】（）特征方程为，由可知，特征方程有两个不同的实根，即且，因此二阶常系数齐次线性方程的解为：，故可得因此收敛.（）由，可得：，解得代入可得（17）（本题满分10分）设函数满足，且，是从点到点的光滑曲线，计算曲线积分，并求的最小值.【答案】3【解析】根据可得：又故可知，因此所以， 设，则有因此，因此积分与路径无关故因为，所以，令可得而，因此，因此当有最小值为.（18）（本题满分10分）设有界区域由平面与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分.【答案】【解析】，令由高斯公式可知：（19）（本题满分10分）已知函数可导，且.设数列满足，证明：（）级数绝对收敛；（）存在，且.【答案】利用绝对收敛定义证明即可。【解析】（）证：，因此有显然收敛，因此绝对收敛.（）记，因此得，因为级数收敛，因此存在，因此存在，不妨设，由可得，两边取极限可得，即若，这与矛盾，若，与矛盾，因此可得，即.（20）（本题满分11分）设矩阵.当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程.【答案】时，无解；时，有无穷多解，；且时，有唯一解，【解析】增广矩阵为因此当即且时，有唯一解；设，代入，解得当代入设，因此可得，这两个式子是矛盾的，因此方程组无解；当代入，此时方程组有无穷多解，将代入可得，解得，不妨设为自由未知量，则可得（21）（本题满分11分）已知矩阵（）求；（）设3阶矩阵满足.记，将分别表示成的线性组合.【答案】（）（）【解析】（）利用相似对角化，由得到特征值为，当时，代入中，求解方程组的解就是特征向量，即同理得到其他的两个特征向量分别为：对应的特征向量为，对应的特征向量为，设，则有，因此可得，根据矩阵可以求得其逆矩阵为因此有（），因此可得、，所以因此有（22）（本题满分11分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布，令（）写出的概率密度；（）问与是否相互独立？并说明理解；（）求的分布函数.【答案】（）（）与不独立，因为（）的分布函数为：【解析】（）区域的面积为，因此服从均匀分布，因此有（）与不独立因此，故不独立.（）因此可得（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为，其中为未知参数，为总体的简单随机抽样，令.（）求的概率密度；（）确定，使得为的无偏估计.【答案】（）的概率密度：（）【解析】（）根据题意，独立同分布，因此可得当时，；当时，；当时，因此可得概率密度函数为：（），根据题意，如果为的无偏估计，则有，因此可得.2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若函数在连续，则（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由连续的定义可得，而，因此可得，故选择A。（2）设函数可导，且，则（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，则有，故单调递增，则，即，即，故选择C。（3）函数在点处沿向量的方向导数为（）。A.12B.6C.4D.2【答案】D【解析】，因此代入可得，则有。（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】从0到时刻，甲乙的位移分别为与，由定积分的几何意义可知，因此可知。（5）设为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（）。A. 不可逆B. 不可逆C. 不可逆D. 不可逆【答案】A【解析】因为的特征值为0（n-1重）和1，所以的特征值为1（n-1重）和0，故不可逆。（6）已知矩阵，则（）。A.A与C相似，B与C相似B. A与C相似，B与C不相似C. A与C不相似，B与C相似D. A与C不相似，B与C不相似【答案】B【解析】A和B的特征值为2,2,1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所依A可对角化，B不可，因此选择B。（7）设A，B为随机事件，若，且的充分必要条件是（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，即，因此选择A。（8）设来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）。A. 服从分布B. 服从分布C. 服从分布D. 服从分布【答案】B【解析】，故，因此，故，故B错误，由可得，则有，因此。二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）已知函数，则=_。【答案】0【解析】，因此，代入可得。（10）微分方程的通解为=_。【答案】 【解析】由，所以，因此，因此通解为：。（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则=_。【答案】1【解析】设，因此可得：，根据，因此可得。（12）幂级数在区间内的和函数=_。【答案】【解析】。（13）设矩阵，为线性无关的3维向量，则向量组的秩为_。【答案】2【解析】因为，而，因此，所以向量组的秩2。（14）设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则=_。【答案】2【解析】因此可得。三、解答题： 1523小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，求。【答案】，【解析】因为，所以，因此因此得：（16）（本题满分10分）求【答案】【解析】由定积分的定义可知，然后计算定积分，（17）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值。【答案】极大值为，极小值为。【解析】对关于求导得：，令得，因此，当时，当时，。对关于再次求导得：，将代入可得当时，时，代入可得，当时，时，代入可得，因此有函数的极大值为，极小值为。（18）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：（）方程在区间内至少存在一个实根；（）方程在区间内至少存在两个不同实根。【答案】（）证：因为，由极限的局部保号性知，存在，使得，而，由零点存在定理可知，存在，使得。（）构造函数，因此，因为，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根据零点定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有两个不同实根。【解析】略（19）（本题满分10分）设薄片型物体时圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的弧度为，记圆锥与柱面的交线为，（）求在平面上的投影曲线的方程；（）求的质量。【答案】（）；（）64。【解析】（）的方程为，投影到平面上为（），因此有。（20）（本题满分11分）三阶行列式有3个不同的特征值，且，（）证明；（）如果，求方程组的通解。【答案】（）略；（）。【解析】（）证：因为有三个不同的特征值，所以不是零矩阵，因此，若，那么特征根0是二重根，这与假设矛盾，因此，又根据，所以，因此。（）因为，所以的基础解系中只有一个解向量，又，即，因此基础解系的一个解向量为。因为，故的特解为，因此的通解为。（21）（本题满分11分）设在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。【答案】，正交矩阵【解析】二次型对应的矩阵为，因为标准型为，所以，从而，即，代入得，解得；当时，化简得，对应的特征向量为；当时，化简得，对应的特征向量为；当时，化简得，对应的特征向量为；从而正交矩阵。（22）（本题满分11分）设随机变量和相互独立，且的概率分布为，的概率密度为（）求；（）求的概率密度。【答案】（）（）【解析】（）由数字特征的计算公式可知：，则（）先求的分布函数，由分布函数的定义可知：。由于为离散型随机变量，则由全概率公式可知（其中为的分布函数：）（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立，且均服从正态分布，该工程师记录的是次测量的绝对误差，利用估计（）求的概率密度；（）利用一阶矩求的矩估计量；（）求的最大似然估计量。【答案】（）（）（）【解析】（）因为，所以，对应的概率密度为，设的分布函数为，对应的概率密度为；当时，；当时，；则的概率密度为；（）因为，所以，从而的矩估计量为；（）由题可知对应的似然函数为，取对数得：，所以，令，得，所以的最大似然估计量为。回顾过去篇（1987-2014）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当=_时,函数取得极小值.(2)由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是_.(3)与两直线及都平行且过原点的平面方程为_.(4)设为取正向的圆周则曲线积分= _.(5)已知三维向量空间的基底为则向量在此基底下的坐标是_.二、(本题满分8分)求正的常数与使等式成立.三、(本题满分7分)(1)设、为连续可微函数求(2)设矩阵和满足关系式其中求矩阵四、(本题满分8分)求微分方程的通解,其中常数五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设则在处(A)的导数存在,且(B)取得极大值(C)取得极小值 (D)的导数不存在(2)设为已知连续函数其中则的值(A)依赖于和(B)依赖于、和(C)依赖于、,不依赖于(D)依赖于,不依赖于(3)设常数则级数(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)散敛性与的取值有关 (4)设为阶方阵，且的行列式而是的伴随矩阵，则等于(A)(B)(C) (D) 六、（本题满分10分）求幂级数的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分）求曲面积分其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面,其法向量与轴正向的夹角恒大于 八、（本题满分10分）设函数在闭区间上可微,对于上的每一个函数的值都在开区间内,且1,证明在内有且仅有一个使得九、（本题满分8分）问为何值时,现线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件发生的概率为现进行次独立试验,则至少发生一次的概率为_;而事件至多发生一次的概率为_.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量的概率密度函数为则的数学期望为_,的方差为_.十一、（本题满分6分）设随机变量相互独立,其概率密度函数分别为 , , 求的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数的收敛域.(2)设且,求及其定义域.(3)设为曲面的外侧,计算曲面积分二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若则= _.(2)设连续且则=_.(3)设周期为2的周期函数,它在区间上定义为 ,则的傅里叶级数在处收敛于_.(4)设4阶矩阵其中均为4维列向量,且已知行列式则行列式= _.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设可导且则时在处的微分是(A)与等价的无穷小(B)与同阶的无穷小(C)比低阶的无穷小(D)比高阶的无穷小(2)设是方程的一个解且则函数在点处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域则(A) (B)(C)(D) (4)设幂级数在处收敛,则此级数在处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定 (5)维向量组线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数使(B)中任意两个向量均线性无关(C)中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设其中函数、具有二阶连续导数,求五、(本题满分8分)设函数满足微分方程其图形在点处的切线与曲线在该点处的切线重合,求函数六、（本题满分9分）设位于点的质点对质点的引力大小为为常数为质点与之间的距离),质点沿直线自运动到求在此运动过程中质点对质点的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知其中求八、（本题满分8分）已知矩阵与相似.(1)求与(2)求一个满足的可逆阵九、（本题满分9分）设函数在区间上连续,且在内有证明:在内存在唯一的使曲线与两直线所围平面图形面积是曲线与两直线所围平面图形面积的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件出现的概率相等,若已知至少出现一次的概率等于则事件在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间内任取两个数,则事件”两数之和小于”的概率为_.(3)设随机变量服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知则落在区间内的概率为_.十一、（本题满分6分）设随机变量的概率密度函数为求随机变量的概率密度函数1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知则= _.(2)设是连续函数,且则=_.(3)设平面曲线为下半圆周则曲线积分=_.(4)向量场在点处的散度=_.(5)设矩阵则矩阵=_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时,曲线(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面上点处的切平面平行于平面则点的坐标是(A) (B) (C)(D) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)(B)(C)(D) (4)设函数而其中则等于(A)(B) (C)(D) (5)设是阶矩阵,且的行列式则中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设其中函数二阶可导具有连续二阶偏导数,求(2)设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算的值.(3)计算三重积分其中是由曲面与所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数展为的幂级数.五、(本题满分7分)设其中为连续函数,求六、（本题满分7分）证明方程在区间内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明(1)为的特征值.(2)为的伴随矩阵的特征值.九、（本题满分9分）设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件的概率随机事件的概率及条件概率则和事件的概率=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量在上服从均匀分布,则方程有实根的概率是_.十一、（本题满分6分）设随机变量与独立,且服从均值为1、标准差(均方差)为的正态分布,而服从标准正态分布.试求随机变量的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)过点且与直线垂直的平面方程是_. (2)设为非零常数,则=_.(3)设函数 ,则=_.(4)积分的值等于_.(5)已知向量组则该向量组的秩是_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设是连续函数,且则等于(A)(B)(C)(D) (2)已知函数具有任意阶导数,且则当为大于2的正整数时的阶导数是(A) (B) (C)(D) (3)设为常数,则级数(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与的取值有关 (4)已知在的某个邻域内连续,且则在点处(A)不可导(B)可导,且(C)取得极大值(D)取得极小值 (5)已知、是非齐次线性方程组的两个不同的解、是对应其次线性方程组的基础解析、为任意常数,则方程组的通解(一般解)必是(A)(B) (C)(D) 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求(2)设其中具有连续的二阶偏导数,求(3)求微分方程的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分其中是球面外侧在的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且证明在内至少存在一点使得七、（本题满分6分）设四阶矩阵且矩阵满足关系式其中为四阶单位矩阵表示的逆矩阵表示的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型成标准型.九、（本题满分8分）质点沿着以为直径的半圆周,从点运动到点的过程中受变力作用(见图).的大小等于点与原点之间的距离,其方向垂直于线段且与轴正向的夹角小于求变力对质点所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量的概率密度函数则的概率分布函数=_.(2)设随机事件、及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若表示的对立事件,那么积事件的概率=_.(3)已知离散型随机变量服从参数为2的泊松分布,即则随机变量的数学期望=_.十一、（本题满分6分）设二维随机变量在区域内服从均匀分布,求关于的边缘概率密度函数及随机变量的方差1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设 ,则=_.(2)由方程所确定的函数在点处的全微分=_.(3)已知两条直线的方程是则过且平行于的平面方程是_.(4)已知当时与是等价无穷小,则常数=_.(5)设4阶方阵则的逆阵=_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数满足关系式则等于(A) (B) (C)(D) (3)已知级数则级数等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设是平面上以、和为顶点的三角形区域是在第一象限的部分,则等于(A)(B) (C)(D)0 (5)设阶方阵、满足关系式其中是阶单位阵,则必有(A)(B) (C)(D) 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求(2)设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数在点处沿方向的方向导数.(3)其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围城的立体.四、(本题满分6分)过点和的曲线族中,求一条曲线使沿该曲线从到的积分的值最小.五、(本题满分8分)将函数展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数的和.六、（本题满分7分）设函数在上连续内可导,且证明在内存在一点使七、（本题满分8分）已知及(1)、为何值时不能表示成的线性组合?(2)、为何值时有的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设是阶正定阵是阶单位阵,证明的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点处的切线与轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量服从均值为2、方差为的正态分布,且则=_.(2)随机地向半圆为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_.十一、（本题满分6分）设二维随机变量的密度函数为 求随机变量的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数由方程确定,则=_.(2)函数在点处的梯度=_.(3)设 ,则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_.(4)微分方程的通解为=_.(5)设其中则矩阵的秩=_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时,函数的极限(A)等于2(B)等于0(C)为(D)不存在但不为(2)级数常数(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛(D)收敛性与有关 (3)在曲线的所有切线中,与平面平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设则使存在的最高阶数为(A)0(B)1 (C)2(D)3 (5)要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为(A)(B) (C)(D) 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求(2)设其中具有二阶连续偏导数,求(3)设 ,求四、(本题满分6分)求微分方程的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分其中为上半球面的上侧.六、（本题满分7分）设证明对任何有七、（本题满分8分）在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点问当、取何值时,力所做的功最大?并求出的最大值. 八、（本题满分7分）设向量组线性相关,向量组线性无关,问:(1)能否由线性表出?证明你的结论.(2)能否由线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵的特征值为对应的特征向量依次为又向量(1)将用线性表出.(2)求为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知则事件、全不发生的概率为_.(2)设随机变量服从参数为1的指数分布,则数学期望=_.十一、（本题满分6分）设随机变量与独立服从正态分布服从上的均匀分布,试求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数的单调减少区间为_.(2)由曲线 绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_.(3)设函数的傅里叶级数展开式为则其中系数的值为_.(4)设数量场则=_.(5)设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为则线性方程组的通解为_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设则当时是的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为(A)(B)(C)(D)(3)设有直线与 则与的夹角为(A)(B)(C)(D)(4)设曲线积分与路径无关,其中具有一阶连续导数,且则等于(A)(B) (C)(D) (5)已知为三阶非零矩阵,且满足则(A)时的秩必为1(B)时的秩必为2 (C)时的秩必为1(D)时的秩必为2 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求(2)求(3)求微分方程满足初始条件的特解.四、(本题满分6分)计算其中是由曲面与所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在上函数有连续导数,且证明在内有且仅有一个零点.(2)设证明七、（本题满分8分）已知二次型通过正交变换化成标准形求参数及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设是矩阵是矩阵,其中是阶单位矩阵,若证明的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体从点出发,以速度大小为常数沿轴正向运动.物体从点与同时出发,其速度大小为方向始终指向试建立物体的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.(2)设随机变量服从上的均匀分布,则随机变量在内的概率分布密度=_.十一、（本题满分6分）设随机变量的概率分布密度为(1)求的数学期望和方差(2)求与的协方差,并问与是否不相关?(3)问与是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)= _.(2)曲面在点处的切平面方程为_.(3)设则在点处的值为_.(4)设区域为则=