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面直角坐标系与曲线方程 第一讲 教材单元导学 1 1平面直角坐标系 栏目导航 1 平面直角坐标系的作用 通过建立直角坐标系 平面上的点与坐标 有序数对 曲线与方程建立了联系 从而实现了数与形的结合 2 坐标法 根据 对象的特征 选择适当的坐标系 建立它的方程 通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系 这就是研究几何问题的坐标法 要点一平面直角坐标系 几何 3 坐标法解决几何问题的 三部曲 第一步 建立适当的 用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素 将几何问题转化成代数问题 第二步 通过 运算 解决 问题 第三步 把代数运算结果 翻译 成 结论 平面直角坐标系 代数 几何 几何 的作用下 点p x y 对应到点p x y 就称 为平面直角坐标系中的 简称 要点二平面直角坐标系中的伸缩变换 坐标伸缩变换 伸缩变换 考点一求轨迹方程 求轨迹方程的步骤求轨迹方程需要结合几何图形的结构特点 先建立适当的平面直角坐标系 然后设出所求动点的坐标 寻找满足几何关系的等式 化简后即可得到所求的轨迹方程 例题1 已知rt abc ab 2a a 0 求直角顶点c的轨迹方程 思维导引 建立适当的直角坐标系 写出a b两点的坐标 设出点c的坐标 代入直角三角形满足的条件中化简即得 注意a b c三点不共线 解析 以ab所在直线为x轴 ab的中点为坐标原点 建立如图所示的直角坐标系 则有a a 0 b a 0 设顶点c x y 方法一由 abc是直角三角形可知 ab 2 ac 2 bc 2 即 2a 2 x a 2 y2 x a 2 y2 化简得x2 y2 a2 依题意可知 x a 故所求直角顶点c的轨迹方程为x2 y2 a2 x a 变式1 已知线段ab与cd互相垂直平分于点o ab 8 cd 4 动点m满足 ma mb mc md 求动点m的轨迹方程 考点二用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题的技巧 1 建立适当的直角坐标系 将平面几何问题转化为解析几何问题 即化形为数 再回到形中 2 建立坐标系时 要充分利用图形的几何特征 例题2 有一大型商品 a b两地都有出售 且价格相同 某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是 每单位距离a地的运费是b地运费的3倍 已知a b两地相距10km 居民选择a地或b地购买这种商品的标准是包括运费和价格的总费用较低 求a b两地的售货区域的分界线的曲线形状 并指出曲线上 曲线内 曲线外的居民应如何选择购货地点 思维导引 本题涉及两点间的距离及曲线 故要想到坐标法解决问题 变式2 已知 abc中 ab ac bd ce分别为两腰上的高 求证 bd ce 考点三平面直角坐标系中的伸缩变换 1 利用伸缩变换求解析式 其主旨是相关点法求解析式 用未知点的坐标表示已知点的坐标 代入已知轨迹的解析式中 2 求满足变换图象的伸缩变换 实际上就是求其变换公式 将新旧坐标分别代入对应的曲线方程 然后比较系数即可 思维导引 利用伸缩变换公式求解 制作者 状元
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