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让小学数学课堂开满智慧之花 浅谈小学数学课堂教学中数学思想的渗透日本数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育研究之后，说过这样一段话：“学生们在学校所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”数学课程标准总体目标提出：“让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。由此可见，知识和技能是数学学习的基础，而数学的思想方法则是数学的灵魂和精髓。 从古到今，数学思想不计其数，每一种数学思想都闪烁着人类智慧的火花。由于受小学生的年龄特点和知识结构特征的影响,我们在平时的教学中应该有选择地渗透一些数学思想方法。下面我结合具体的实例来谈谈如何在数学教学中渗透几种重要的数学思想：一、 数形结合思想数形结合的思想，是小学阶段最常用的一种数学思想，其实质就是把数量关系和空间形式结合起来，通过数与形的相互转化，去分析问题、解决问题的数学思想。主要包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在日常教学中可以借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,也借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。案例呈现1：在人教版实验教科书二下的找规律中有这样一道题：这一题要求学生根据前面出现的几个数的规律，填出9后面的数是几？学生会根据加3、加5、加7的规律填出9后面的数是16，这种思考的方法虽然结果是正确的，但是思维的含量并不高，如果在做前，老师能借助图形，渗透数形结合的思想，让学生直观地看到上面的圆的总个数可以写成11，22，33，44从而使得问题直观地呈现在学生的面前，有利于加深学生对知识的识记和理解。案例呈现2：有一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知一人，请帮助老师设计一个打电话的方案。这是五下的数学活动课打电话的教学内容，书中呈现了树状图帮助学生理解打电话的方案。说实话学生很难从树状图中找到规律，如果在画图的时候能辅助于数，利用数与数之间的关系，学生首先发现了后一分钟通知到的学生人数是前一分钟的人数乘2加1，然后我又让学生观察上下二行之间数的关系，学生顿悟到第n分钟与通知到的学生人数就是2n -1这种深层次的思维过程。所以我在教学的时候在图的下面辅助了这样一个表格，收到了很好的效果，而且事半功倍。时间第1分钟第2分钟第3分钟第4分钟第5分钟第n分钟 人数13713312n -1抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。二、 转化思想转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，这里的变换是可逆的双向变换。在几何教学中，图形面积的推导过程就渗透了“割”“补”“化曲为直”等转化的思想，由已知的图形面积计算公式推导出未知的图形面积计算公式。还有分数、百分数的相互转化、分数加减、乘除法的计算无不渗透了转化的思想。可见，在解决数学问题时,转换既是一种思想又是一种非常有用的策略。案例呈现1：学生在学习四下三角形内角和前已经知道了“三角形内角和等于180度”这个定理，这节课对定理的验证过程内化为学生自己头脑中的知识比让学生单纯地记忆定理要有意义得多。在很多的公开教学中，看到过很多老师用量角器量三角形的三个内角，这样所得到的三角形内角和与180度是有误差的，还有被教师津津乐道的“撕拼”的方法，把三角形的三个内角和转化成一个平角，这种方法也存在着一定的误差，而且作为四下的学生借助手中的学具虽然比较形象直观，但是思维的深度还是不够。所以这节课我摈弃了书中的两种验证方法，为学生提供了一个锐角三角形和一个长方形,并且设计了一些问题:下面是我的教学设计：1、课件出示：大家已经知道：三角形的内角和等于180度，为什么？让学生翻书自学后，生反馈。（将课本中提供的撕拼法与用量角器量的方法进行阐述）2、师课件展示这二种方法，并指出这二种方法可能有误差。3、明确本节课要研究的问题，并思考解决问题。（1）、能不能把长方形分成二个直角三角形？（学生独立完成后交流）师：你认为这二个直角三角形大小一样吗？为什么？（学生回答后，师课件演示，其中一个三角形旋转与另外一个完全重合。）（2）上图中，哪些角分别是长方形、直角三角形的内角？内角和分别是多少？（学生验证后得出结论：任意一个直角三角形内角和180度）(3)把上图继续进行转化,把2个直角三角形拉成一个任意锐角三角形和一个任意钝角三角形。（4）能不能做到把任意一个锐角三角形或钝角三角形，在它的内部画上一条线段，把这个锐角三角形或钝角三角形分成二个直角三角形？（学生独立完成后交流）（5）标出这2个三角形的内角。（6）讨论：锐角、钝角三角形的内角和分别是多少度？（学生独立思考后得出结论）锐角三角形的内角和=1802-902=180度钝角三角形的内角和=1802-902=180度在这个教学过程中，把长方形通过分割转化成2个直角三角形，应用长方形的四个角都是直角推导出：一个任意直角三角形内角和是180度。通过把一个锐角（钝角）三角形转化成2个直角三角形，然后应用刚推导出的结论验证出锐角、钝角三角形的内角和是180度。这个转化、验证的过程成了学生的一次智慧之旅。 案例呈现2：六下分数乘法的简便计算中也无不渗透中着转化的思想，+=1-+-+-+-=1-=这道题不能采用一般的通分方法，因为非常麻烦且不切实际，在五下已做过这样的口算：-=，-=所以，把每个分数转化成两个分数的差，再通过加减将相同的分数互相抵消，使计算大大简化。三、化归思想把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决或较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。利用化归思想转化而得到的新问题与原问题相比较，应该为已解决的或较容易解决的。所以，化归的方向应该是化隐为显，化繁为简、化难为易和化未知为已知。案例呈现：数学广角是人教版实验教材的一个亮点，因此它也成为公开课的宠儿，因为在数学广角中蕴涵了各种数学思想，其中有不少内容蕴涵了化归的思想，例如四上的烙饼问题、五下的找次品、数图形等就蕴含了化繁为简的数学思想，这些知识的结论并没有多大的现实意义，所以你这堂课要教给学生什么？要让学生获得什么？是我们在设计教学时所应思索的问题，对于这样的课的设计我们要让学生感受到要解决复杂问题，可以先从简单的问题入手，从中找到规律，解决较复杂的问题，所以学生的探究活动应该是这些课的重点，在探究的过程除了发展学生的思维，培养学生的能力还应渗透数学思想。四、归纳思想在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。教材中提供的归纳材料很多，概念、法则、性质的归纳，大多采取“特殊实例展示本质属性抽象一般事物的推广”的方式给出归纳过程。归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。案例呈现：四上积的变化规律一课的设计，就是让学生经历积的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验，为后续的学习奠下基石。课开始我就为学生提供了三组算式：第一组：62= 第二组：2036= 第三组：754=640= 436= 758=6200= 236= 7516=大家有很多的发现，而且做得快的同学也有一定的诀窍，我们就以四人小组为单位，每组选择一组算式进行研究。二、自主探究，发现规律（一）学生分组研究，小组长记录研究的成果。教师巡视（二）学生分组进行汇报：（要求学生根据以下三个问题进行汇报：选择哪组算式？发现了什么？怎样发现的）（三）小结学生发现的规律：一个因数不变，另一个因数乘几 ，积也乘几；一个因数不变，另一个因数除以几 ，积也除以几。（三）验证感悟到的规律那是不是其它的乘法算式也有相同的积的变化特点呢？下面，我们应该可以怎样研究？生 ：我们可以自己找一些乘法算式的例子用刚才的比较方法研究，看看积的变化是不是具有相同的特点。（其他同学向他投去敬佩的目光）每位同学写出符合这个规律的算式各3题其中一组的因数是扩大的，另一组的因数是缩小的。大家在验证的时候也可以举反对这个规律的例子。有困难的可以找一找你的同桌（反馈独立编写的情况）三、拓展研究：刚才我们研究的是一个因数变化，积的变化规律，如果2个因数都变了，积又会怎么变化呢？四人小组继续研究。接下来的学习是学生对归纳的思想方法的一次运用，是学生思维品质的一次升华。学生汇报的结果：1、两数相乘，一个因数乘（或除以）几，另一个因数除以（或乘）几，积不变。 2、两数相乘，一个因数乘（或除以）A，另一个因数乘（或除以）B，积就乘（或除以）（A*B） 事实证明学生在学习四下的商的变化规律时，完全能运用归纳的思想得出商的变化规律，和商不变的性质数学思想的渗透有利于学生用数学眼光去看身边的事物，从而也会