北师大版选修21 3.2　抛物线 课件（38张） (1).pptx

2 1抛物线及其标准方程 第三章 2抛物线 学习目标1 理解抛物线的定义及焦点 准线的概念 2 掌握抛物线的标准方程及其推导 3 明确抛物线标准方程中参数p的几何意义 并能解决简单的求抛物线标准方程的问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一抛物线的定义 1 平面内与一个定点f和一条定直线l l不过f 距离的点的集合叫作抛物线 点f叫作抛物线的 这条定直线l叫作抛物线的 2 定义的实质可归纳为 一动三定 一个动点 设为m 一个定点f 抛物线的焦点 一条定直线 抛物线的准线 一个定值 即点m到点f的距离与它到定直线l的距离之比等于1 1 相等 准线 焦点 知识点二抛物线的标准方程 思考抛物线的标准方程有何特点 答案 1 是关于x y的二元二次方程 且只有一个二次项 一个一次项 根据平方项可以确定一次项的取值范围 2 p的几何意义是焦点到准线的距离 梳理由于抛物线焦点位置不同 方程也就不同 故抛物线的标准方程有以下几种形式 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 现将这四种抛物线对应的图形 标准方程 焦点坐标及准线方程列表如下 焦点到准线的距离 思考辨析判断正误 1 抛物线的方程都是二次函数 2 抛物线的焦点到准线的距离是p 3 抛物线的开口方向由一次项确定 题型探究 类型一抛物线定义及应用 答案 解析 2 若点p到点f 4 0 的距离比它到直线x 5 0的距离小1 则p点的轨迹方程是a y2 16xb y2 32xc y2 16xd y2 32 答案 解析 解析 点p到点 4 0 的距离比它到直线x 5 0的距离小1 将直线x 5 0右移1个单位 得直线x 4 0 即x 4 点p到直线x 4的距离等于它到点 4 0 的距离 根据抛物线的定义 可知p的轨迹是以点 4 0 为焦点 以直线x 4为准线的抛物线 抛物线的标准方程为y2 16x 即p点的轨迹方程为y2 16x 故选c 反思与感悟抛物线的判断方法 1 可以看动点是否符合抛物线的定义 即到定点的距离等于到定直线 直线不过定点 的距离 2 求出动点的轨迹方程 看方程是否符合抛物线的方程 跟踪训练1 1 抛物线x2 4y上的点p到焦点的距离是10 则p点的坐标为 答案 解析 6 9 或 6 9 解析设点p x0 y0 由抛物线方程x2 4y 知焦点坐标为 0 1 准线方程为y 1 由抛物线的定义 得 pf y0 1 10 所以y0 9 代入抛物线方程得x0 6 2 已知抛物线c y2 8x的焦点为f 准线l与x轴的交点为m 点p在抛物线上 且 pm pf 则 pmf的面积为a 4b 8c 16d 32 答案 解析 解析如图所示 可得f 2 0 过点p作pn l 垂足为n pn mn 解得t 4 类型二求抛物线的标准方程 例2分别求符合下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 2 解设抛物线的标准方程为y2 2px或x2 2py p 0 解答 2 焦点在直线x 2y 4 0上 解答 解当焦点在y轴上时 已知方程x 2y 4 0 令x 0 得y 2 所求抛物线的焦点为f1 0 2 设抛物线的标准方程为x2 2py p 0 所求抛物线的标准方程为x2 8y 当焦点在x轴上时 已知x 2y 4 0 令y 0 得x 4 抛物线的焦点为f2 4 0 设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 所求抛物线的标准方程为y2 16x 综上 所求抛物线的标准方程为x2 8y或y2 16x 反思与感悟抛物线标准方程的求法 1 定义法 建立适当坐标系 利用抛物线的定义列出动点满足的条件 列出方程 进行化简 根据定义求出p 最后写出标准方程 2 待定系数法 由于标准方程有四种形式 因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上 进而确定方程的形式 然后再利用已知条件确定p的值 解答 跟踪训练2根据下列条件分别求抛物线的标准方程 1 已知抛物线的准线方程是x 解设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 因此标准方程为y2 6x 解答 2 抛物线的焦点f在x轴上 直线y 3与抛物线交于点a af 5 又 3 2 2pm p 1或p 9 故所求抛物线的标准方程为y2 2x或y2 18x 类型三抛物线的实际应用问题 例3河上有一抛物线形拱桥 当水面距拱桥顶5m时 水面宽为8m 一小船宽4m 高2m 载货后船露出水面上的部分高0 75m 问 水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时 小船开始不能通航 解答 又知船面露出水面上的部分高为0 75m 所以h ya 0 75 2 m 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时 小船开始不能通航 反思与感悟涉及拱桥 隧道的问题 通常需建立适当的平面直角坐标系 利用抛物线的标准方程进行求解 跟踪训练3如图所示 花坛水池中央有一喷泉 水管o p 1m 水从喷头p喷出后呈抛物线状 先向上至最高点后落下 若最高点距水面2m p距抛物线的对称轴1m 则水池的直径至少应设计多长 精确到1m 解答 解如图所示 以抛物线状喷泉的最高点为原点 以过原点且平行于水面的直线为x轴 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 即水池的直径至少应设计为5m 故抛物线方程为x2 y 达标检测 答案 1 抛物线y2 x的准线方程为 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2 3 4 5 2 以f 1 0 为焦点的抛物线的标准方程是a x 4y2b y 4x2c x2 4yd y2 4x 解析 解析 抛物线焦点为f 1 0 可设抛物线方程为y2 2px p 0 抛物线方程为y2 4x 答案 解析 1 2 3 4 5 解析设m xm ym 根据抛物线方程可求得焦点坐标为 0 1 准线方程为y 1 根据抛物线定义 得ym 1 2 解得ym 1 3 已知抛物线x2 4y上的一点m到此抛物线的焦点的距离为2 则点m的纵坐标是 答案 解析 1 2 3 4 5 4 一动圆过点 0 1 且与定直线l相切 圆心在抛物线x2 4y上 则l的方程为 解析因为动圆过点 0 1 且与定直线l相切 所以动圆圆心到点 0 1 的距离与它到定直线l的距离相等 又因为动圆圆心在抛物线x2 4y上 且 0 1 为抛物线的焦点 所以l为抛物线的准线 所以l y 1 1 2 3 4 5 5 动点p到直线x 4 0的距离比它到点m 2 0 的距离大2 则点p的轨迹方程是 解析由题意可知 动点p到直线x 2 0的距离与它到点m 2 0 的距离相等 利用抛物线定义求出方程为y2 8x y2 8x 答案 解析 规律与方法 2 设m是抛物线上一点 焦点为f 则线段mf叫作抛物线的焦半径