机械工程控制基础第五章系统稳定性分析ppt课件.ppt

机械工程控制基础 1 52 第五章控制系统的稳定性分析 1 第五章控制系统的稳定性分析 5 1系统稳定性的基本概念5 2系统稳定的充要条件5 3代数稳定性判据 Routh判据 Hurwitz判据 5 4乃奎斯特稳定性判据 Nyquist判据 5 5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5 6由伯德图判断系统的稳定性5 7控制系统的相对稳定性 2 5 1系统稳定性的基本概念 稳定性的定义 若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下 其过渡过程随着时间的推移 逐渐衰减并趋于零 具有恢复到原来状态的性能 则该系统是稳定的 否则 该系统为不稳定 5 2系统稳定的充要条件 三角变化整理 4 撤除扰动 按照稳定性定义 如果系统稳定 当时间趋近于无穷大时 该齐次方程的解趋近于零 即当时 上式成立 以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一 5 2系统稳定的充要条件 5 对应闭环系统特征根的实部 因此对于定常线性系统 若系统所有特征根的实部均为负值 则零输入响应最终将衰减到零 这样的系统就是稳定的 5 2系统稳定的充要条件 反之 若特征根中有一个或多个根具有正实部时 则零输入响应将随时间的推移而发散 这样的系统就是不稳定的 控制系统稳定的另一充分必要条件是 系统特征方程式的根全部具有负实部 系统特征方程式的根就是闭环极点 控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部 或说闭环传递函数的极点全部在 s 平面的左半面 6 5 3代数稳定性判据劳斯判据 这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的 设系统特征方程为 5 3 1劳斯判据 由根与系数的关系可求得 5 3代数稳定性判据劳斯判据 8 从上式可知 要使全部特征根均具有负实部 就必须满足以下两个条件 1 特征方程的各项系数 i 0 1 2 n 都不等于零 因为若有一个系数为零 则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根 才能满足上式 此时系统为临界稳定 根在虚轴上 或不稳定 根的实部为正 2 特征方程的各项系数的符号都相同 才能满足上式 按照惯例 一般取正值 上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件 即 0 但这只是一个必要条件 既使上述条件已满足 系统仍可能不稳定 因为它不是充分条件 5 3代数稳定性判据劳斯判据 9 同时 如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号 则系统一定稳定 劳斯阵列为 5 3代数稳定性判据劳斯判据 10 其中系数根据下列公式计算 系数的计算 一直进行到其余的值都等于零时为止 用同样的前两行系数交叉相乘的方法 可以计算c d e等各行的系数 5 3代数稳定性判据劳斯判据 11 这种过程一直进行到第n行被算完为止 系数的完整阵列呈现为三角形 在展开的阵列中 为了简化其后的数值计算 可用一个正整数去除或乘某一整个行 这时 并不改变稳定性结论 劳斯判据还说明 实部为正的特征根数 等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数 5 3代数稳定性判据劳斯判据 劳斯判据的表述 1 系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的 同时都是正数 必要条件 要想系统稳定必须满足这个条件 2 劳斯阵列的第一列全部为正 充分条件 如果系统不稳定还可以利用劳斯阵列的第一列变号情况来确定系统极点 即系统闭环特征方程式的根 简称为特征根 在 s 右平面有几个 5 3代数稳定性判据劳斯判据 13 用劳斯判据判断系统稳定性的步骤 1 先判断特征方程式的系数是否全部为正 2 如果全部为正 则列劳斯阵列 3 判断系统是否稳定 5 3代数稳定性判据劳斯判据 14 例 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性 5 3代数稳定性判据劳斯判据 解 首先 由方程系数可知已满足稳定的必要条件 其次 排劳斯阵列由劳斯阵列的第一列看出 第一列中系数符号全为正值 所以控制系统稳定 5 3代数稳定性判据劳斯判据 16 例2设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性 解 首先 由方程系数可知已满足稳定的必要条件 其次 排劳斯阵列 第一列中系数改变符号两次 说明闭环系统有两个正实部的根 控制系统不稳定 5 3代数稳定性判据劳斯判据 17 对于特征方程阶次低 n 3 的系统 劳斯判据可化为如下简单形式 以便于应用 二阶系统特征式为 劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是系数全大于零 5 3代数稳定性判据劳斯判据 18 三阶系统特征式为 劳斯表为故三阶系统稳定的充要条件是 5 3代数稳定性判据劳斯判据 19 5 3代数稳定性判据劳斯判据 20 劳斯判据两种特例 1 某一行的第一列数值为0 5 3代数稳定性判据劳斯判据 21 解 1 所有系数都为正 2 劳斯阵列 系统不稳定 有两个右半平面的根 5 3代数稳定性判据劳斯判据 22 2 劳斯阵列整行为0 列辅助多项式 解 1 所有系数都为正 2 劳斯阵列 5 3代数稳定性判据劳斯判据 23 不变号 没有右半平面的根 思考 这个系统是否稳定 5 3代数稳定性判据劳斯判据 24 5 3 2赫尔维兹稳定判据 n n 25 5 3 2赫尔维兹稳定判据 例 设控制系统的特征方程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性 解 首先 由方程系数可知已满足稳定的必要条件 各系数排成如下的行列式 n n 26 由于 故该系统稳定 5 3 2赫尔维兹稳定判据 27 5 4乃奎斯特稳定性判据 米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理 其表述为 设n次多项式D s 有P个零点位于复平面的右半面 有q个零点在原点上 其余n P q个零点位于左半面 则当以s j 代入D s 并令 从0连续增大到 时 复数D j 的角增量应等于 5 4 1米哈伊洛夫定理 如何使用开环传递函数判断闭环系统的稳定性 证 1 设S1为负实根 对于矢量 S S1 当S 0 j 变化时图5 4负实根情况 5 4 1米哈伊洛夫定理 29 具有负实部的共轭复根情况因此 n p q 个左根的总角变化量为 n p q 2 5 4 1米哈伊洛夫定理 30 设S2 S3为具有负实部的共轭复根 S2 a jb a 0 b 0 S3 a jb对于矢量 S S2 和 S S3 当S 0 j 变化时 5 4 1米哈伊洛夫定理 31 设Sm为正实根 对于矢量 S Sm 当S 0 j 变化时图5 6正实根情况 5 4 1米哈伊洛夫定理 32 5 4 1米哈伊洛夫定理 设Sm 1 Sm 2为具有正实部的共轭复根 Sm 1 c jd c 0 d 0 Sm 2 c jd对于矢量 S Sm 1 和 S Sm 2 当S 0 j 变化时因此 p个左根的总角变化量为p 2 5 4 1米哈伊洛夫定理 34 另外 原点根不引起角变化量 综上 有 推论 如果n次多项式D s 的所有零点都位于复平面的左半面 则当以s j 代入D s 并命 从0连续增大到 时 复数D s 的角连续增大 5 4 1米哈伊洛夫定理 35 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为则其开环传递函数为 36 分子为系统闭环特征多项式 而分母为系统开环特征多项式 由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次 故分子分母阶次相同 均为n阶 闭环传递函数为 5 4 1米哈伊洛夫定理 37 1 如果开环极点均在s左半平面 则根据米哈伊洛夫定理推论 这时如果闭环系统是稳定的 即的所有零点也在左半平面 根据米哈伊洛夫定理推论 则 我们的目的是要用开环 GH 乃氏图区判断闭环是否稳定 全是左平面特征根 38 2 如果开环特征多项式有P个根在s右半平面 q个零点在原点 其余 n p q 个根在s左半面 则根据米哈伊洛夫定理推论 这时如果闭环系统是稳定的 即的所有零点也在左半平面 根据米哈伊洛夫定理推论 39 或开环乃氏图相对 1 j0 点的角变化量为 系统闭环后就是稳定的 也就是说 对于一个稳定的闭环系统而言 当 从0连续增大到 时 开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为180 开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为90 则 40 设开环特征多项式在右半平面有p个根 原点处有q个根 其余 n p q 个根在左半平面 则乃奎斯特稳定判据可表述为 对于系统开环乃氏图 当 从0到 变化时 其相对 1 j0 点的角变化量为时 系统闭环后稳定 乃氏判据第一种表述 这样 闭环系统是否稳定 可以从开环频率特性的角增量来判断 5 4 1米哈伊洛夫定理 41 例 K Ts 1 Xi s X0 s 1 P 1 q 0 稳定条件为p q 2 问k为何值时 系统稳定 K 5 4 1米哈伊洛夫定理 42 1 j0 K 10 1 j0 K 40 P 0 q 1 稳定条件为p q 2 2 5 4 1米哈伊洛夫定理 43 令 从 增长到0 相应的出的乃氏图是与 从0增长到 的出的哦乃氏图以实轴对称的 乃奎斯特稳定性判据的另一类表述 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 44 当开环特征式有右根时 乃氏判据可表述为 如果开环特征式具有P个右根 对应封闭的乃氏曲线逆时钟包围 1 j0 点p圈 则系统闭环后稳定 否则不稳定 有右根 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 45 当开环特征式具有零根时 对应的乃氏图曲线不封闭 为使其封闭 实用中可将其处理成左根 如图所示 其中 为非常小的正数 从0o 90o 有零根 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 46 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 47 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 48 原点根也可以处理成右根 当处理成右根时 如下图所示 其中 为非常小的正数 从180o 90o 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 49 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 50 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 51 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 52 下图所示为机床的长悬臂梁式主轴的工作情况 由于主轴刚性低 常易产生振动 下面分析其动态特性 铣床切削工件示意图 主轴系统力学模型 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 53 机床主轴系统的传递函数将主轴简化为集中质量m作用于主轴端部 令 P t 切削力 y t 主轴前端刀具处因切削力产生的变形量 D 主轴系统的当量粘性系统 km 主轴系统的当量刚度 主轴端部的运动微分方程为 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 54 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 55 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 56 这样就将乃氏判据中开环频率特性的极坐标是否包围 1 j0 问题归结为Gm j 的极坐标轨迹是否包围Gc j 的极坐标轨迹的问题 下面分别作为Gm j 和Gc j 的mc极坐标轨迹 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 57 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 58 乃氏图 S走向 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 59 1 若Gm j 不包围Gc j 即Gm j 与Gc j 不相交 如曲线 1 则系统绝对稳定 因此系统绝对稳定的条件是Gm j 中的最小负实部的绝对值小于km 2kc 2 若Gm j 不包围Gc j 一部分 即Gm j 与Gc j 相交 如曲线 3 则系统可能不稳定 但一定条件下 也可以稳定 如果在工作频率 下 保证 避开 A A B B范围 也就是适当选择 系统仍可稳定 所以 在此条件下系统稳定的条件为 选择适当的主轴转速n 单刃铣刀时 1 n 使Gm j 不包围 点 5 4 1乃奎斯特稳定性判据 60 5 6由伯德图判断系统的稳定性 已知系统1和系统2开环稳定 如图 因曲线1不包围 1 j0 点 故闭环系统1稳定 而闭环系统1稳定 而闭环系统2不稳定 在乃氏图上画一单位圆 其单位圆相当与伯德图幅频特性中的0dB线 而 j点相当于对数相频特性的 1800轴 所以伯德图稳定性判据为 如果开环稳定 且在L w 0的所有角频率w值下 相角范围都大于 1800线 那么该闭环系统稳定 61 先求出各转角频率为 W1 0 2 w2 0 8 w3 50 w4 200因为特征方程式没有右根 开环稳定 所以可用上述方法判断闭环稳定性 由图可知 在L w 0的范围内 相频特性不与 180o相交 故系统闭环是稳定的 5 6由伯德图判断系统的稳定性 62 5 6由伯德图判断系统的稳定性 180 90 270 0 63 由伯德图判断系统稳定性的普遍情况 如果0型或 型系统在开环状态下的特征方程有p个根在右半平面 并设开环静态放大倍数大于零 在所有L 0的频率范围内 相频特性曲线 在 线上的正负穿越之差为p 2次 则闭环系统稳定 如果是 型系统在开环状态下的特征方程有p个根在右半平面 并设开环静态放大倍数大于零 在所有L 0的频率范围内 相频特性曲线 在 线上的正负穿越之差为 p 1 2次 则闭环系统稳定 64 当乃氏图从大于 的第三象限 顺时针 越过负实轴到第二象限时 叫负穿越 当乃氏图随 增大逆时针从第二象限穿过负实轴向第三象限去的时候 叫正穿越 如果 0时 0 为 乃氏图往第三象限去 则为半次正穿越 往第二象限去 则为半次负穿越 5 6由伯德图判断系统的稳定性 65 5 6由伯德图判断系统的稳定性 66 5 6由伯德图判断系统的稳定性 67 5 7控制系统的相对稳定性 如果系统闭环特征根均在s左半平面 且和虚轴有一段距离 则系统有一定的稳定裕量 如右图 向左平移虚轴 令z s 即将s z 代入系统特征式 得到z的方程式 类似采用劳斯判据 即可求出距离虚轴 以右是否有根 5 7 1采用劳斯判据看系统的相对稳定性 例 令z s 1 即s z 1 代入系统特征式 得即 z的多项式各项系数无相反符号 且劳斯判据第一列未变号 可见 系统特征式在s 1以右没有根 5 7控制系统的相对稳定性 69 乃氏判据看系统的相对稳定性及其相对稳定性指标 1 1 稳定系统 不稳定系统 稳定系统 不稳定系统 乃氏判据看系统的