2010高考数学广东(理科).pdf

高考真题专家全解 1 2010 年普通高等学校招生全国 统一考试 广东卷 数学 理科 本试题卷分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂 写在答题纸上 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 若集合 A x 2 x 1 B x 0 x 2 则集合 A B A x 1 x 1 B x 2 x 1 C x 2 x 2 D x 0 x 1 解 A B x 2 x 1 x 0 x 2 x 0 x4 A 0 1588 B 0 1587 C 0 1586 D0 1585 解 随机变量 X 服从正态分布 N 3 1 曲线的对称轴为 x 3 1 34 24 2 PXPX 0 3413 4 0 5 24 P XPX 0 5 0 3413 0 1587 选 B 8 为了迎接 2010 年广州亚运会 某大楼安装 5 个彩灯 它们闪亮的顺序不固定 每个彩灯彩 灯闪亮只能是红 橙 黄 绿 蓝中的一种颜色 且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同 记 这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁 在每个闪烁中 每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮 而 相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒 如果要实现所有不同的闪烁 那么需要的时间至少是 A 1205 秒 B 1200 秒 C 1195 秒 D 1190 秒 解 共有 5 120 个不同的闪烁 每个闪烁时间为 5 秒 共 5 120 600 秒 每两个闪烁之间 的间隔为 5 秒 共 5 120 1 595 秒 那么需要的时间至少是 600 595 1195 秒 选 C 图图1 B A C B C A D C B A 高考真题专家全解 4 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 9 13 题 9 函数 f x lg x 2 的定义域是 解 由 x 2 0 得 x 2 所以函数的定义域为 2 答案 2 10 若向量a 1 1 x b 1 2 1 1 1 1 满足条件 2 cab 2 则 x 解 0 0 1 cax 2 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2cabxx 解得 x 2 答案 2 11 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 sinC 解 由 A C 2B 及 A B C 180 知 B 60 由正弦定理知 13 sinsin60A 即 1 s i n 2 A 由 a b 知 A B 60 则 A 30 C 180 A B 180 30 90 90 sinC sin90 1 答案 1 12 已知圆心在 x 轴上 半径为2的圆 O 位于 y 轴左侧 且与直线 x y 0 相切 则圆 O 的方 程是 解 设圆心为 a 0 a 0 则 22 2 0 2 11 a r 解得 a 2 答案 x 2 2 y2 2 13 某城市缺水问题比较突出 为了制定节水管理办法 对全市居 民某年的月均用水量进行了抽样调查 其中 n 位居民的月均用水量 分别为 x1 xn 单位 吨 根据图 2 所示的程序框图 若 n 2 且 x1 x2 分别为 1 2 则输出地结果 s 为 c 高考真题专家全解 5 解 该程序框图的功能是计算输入的 n 个数据的平均数 其中 S1是累加器 123 22 s 答案 3 2 14 几何证明选讲选做题 如图 3 AB CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦 它们相交于 AB 的中点 P PD 2 3 a OAP 30 则 CP 解 因为点 P 是 AB 的中点 由垂径定理知 OP AB 在 Rt OPA 中 3 cos30 2 BPAPaa 由相交弦定理知 BP AP CP DP 即 332 223 aaCPa 所以 9 8 CPa 答案 9 8 a 15 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系 0 0 x 0 在 12 x 时取得最大值 4 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 的解析式 3 若 212 3125 f 求 sin 解 1 f x 的最小正周期 2 3 T 2 由函数的最大值为 4 可得 A 4 所以 f x 4sin 3x C P O A B D 高考真题专家全解 6 当 12 x 时 4sin 3 4 12 s i n 1 4 5 444 4 2 4 f x 的解析式是 4sin 3 4 f xx 3 21 2 3125 f 3 s i n 2 445 3 c o s 2 5 2 3 12 s i n 5 2 1 s i n 5 5 s i n 5 17 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况 随即抽取该流水线上 40 件产品作 为样本算出他们的重量 克 单位 克 重量的分组区间为 490 495 495 500 510 515 由此得到样本的频率分布直方图 如图所示 1 根据频率分布直方图 求重量超过 505 克的产品数量 高考真题专家全解 7 2 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量 求 Y 的分布 列 3 从流水线上任取 5 件产品 求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率 解 1 重量超过 505 克的产品数量是 40 0 05 5 0 01 5 40 0 3 12 件 2 设 Y 的所有可能是 0 1 2 有 0 件产品超过 505 克 即从重量不超过 505 克的 28 件产品中取两件 2 28 2 40 28 2763 P Y0 40 39130 C C 有 1 件产品超过 505 克 即从重量不超过 505 克的 28 件产品中取一件 从重量超过 505 克 的 12 件产品中取一件 11 2812 2 40 28 125628 1 40 39 13065 2 C C P Y C 有 1 件产品超过 505 克 即从重量超过 505 克的 12 件产品中取两件 2 12 2 40 12 1111 P Y2 40 39130 C C Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 63 130 28 65 11 130 3 从流水线上 40 件产品中任取 5 件产品 恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克 即从重量 不超过 505 克的 28 件产品中取 3 件 从重量超过 505 克的 12 件产品中取 2 件 所求概率是 32 2812 5 40 28 27 2612 11 21 11231 3 2 12 1 40 39 38 37 36 37 19703 5 4 3 2 1 C C C 18 如图 5 ABC是半径为 a 的半圆 AC 为直径 点 E 为AC 的中点 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点 平面 AEC 外 一点 F 满足5FBDFa FE 6a 1 证明 EB FD 2 已知点 Q R 分别为线段 FE FB 上的点 使得 22 33 FQFE FRFB 求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角 的正弦值 高考真题专家全解 8 18 1 证明 连结 CF 因为AEC是半径为 a 的半圆 AC 为直径 点 E 为AC的中点 所 以 EB AC 在 Rt BCE 中 2222 2ECBCBEaaa 在 BDF 中 5BFDFa BDF 为等腰三角形 且点 C 是底边 BD 的中点 故 CF BD 在 CEF 中 222222 2 2 6CECFaaaEF 所以 CEF 为 Rt 且 CF EC 因为 CF BD CF EC 且 CE BD C 所以 CF 平面 EBD 而 EB 平面 EBD CF EB 因为 EB AC EB CF 且 AC CF C 所以 EB 平面 BDF 而 FD 平面 BDF EB FD 2 解法一 设平面 BED 与平面 RQD 的交线为 DG 由 2 3 FQFE 2 3 FRFB 知 QR EB 而 EB 平面 BDE QR 平面 BDE QR DG EB 由 1 知 BE 平面 BDF DG 平面 BDF 而 DR DB 平面 BDF DG DR DG DQ RDB 是平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角 在 Rt BCF 中 2222 5 2CFBFBCaaa 22 sin 55 FCa RBD BFa 2 1 cos1 sin 5 RBDRBD 在 BDR 中 由 2 3 FRFB 知 15 33 a BRFB 由余弦定理得 22 2cosRDBDBRBD BRRBD 22 55129 2 2 2 3335 aa aaa 由正弦定理得 sinsin BRRD RDBRBD 即 529 33 2 sin 5 aa RDB 2 29 sin 29 RDB 高考真题专家全解 9 故平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值为 2 29 29 解法二 以 C 为原点 BE CD CF 分别为 x y z 轴正方向 建立空间直角坐标系 C xyz 则 A 0 2a 0 B 0 a 0 D 0 a 0 E a a 0 在 Rt BCF 中 2222 5 2CFBFBCaaa 所以 F 0 0 2a 因为 22 33 FQFE FRFB 所以 22222 0 33333 aaaaa RQ 所以 52252 0 33333 aaaaa DRDQ 设平面 DPR 的法向量 x y z n 则 0 0 DR DQ n n 所以 52 00 33 252 0 333 a xayz a xayaz 令 y 2 则 z 5 x 0 所以平面 DPR 的法向量 0 2 5 n 又平面 BDE 的法向量为 0 0 1 m 所以 222 0 2 5 0 0 1 5 29 cos 29 025 m n m n mn 因为 0 m n1 的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点 且 l1 l2 求 h 的值 1 解 由 12 A A为 双 曲 线 的 左 右 顶 点 知 12 2 0 2 0 AA 1 1 1 2 2 y AP yx x 1 2 1 2 2 y A Q yx x 高考真题专家全解 11 两式相乘 2 221 2 1 2 2 y yx x 因为点 P x1 y1 在双曲线上 所以 2 21 1 1 2 x y 即 2 1 2 1 1 22 y x 故 22 1 2 2 yx 所以 2 2 1 2 x y 即直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程为 2 2 1 2 x y 2 解 法 1 设 l1 y kx h 则 由 l1 l2知 2 1 lyxh k 将 l1 y kx h 代入 2 2 1 2 x y 得 2 2 1 2 x kxh 即 1 2k2 x2 4khx 2h2 2 0 由 l1与 E 只有一个交点知 16k2h2 4 1 2k2 2h2 2 0 即 1 2k2 h2 同理 由l2与E只有一个交点知 2 2 1 12h k 消去h2得 2 2 1 k k 即k2 1 从而h2 1 2k2 3 即3h 解法 2 由题意知直线 l1和 l2都是椭圆 E 的切线 且 l1 l2 由对称性知 两直线的倾斜角分别为 45 和 135 设其方程为 y x h 代入椭圆 E 的方程 2 2 1 2 x y 得 2 2 1 2 x xh 即 3x2 4hx 2h2 2 0 由 0 得 16h2 4 3 2h2 2 0 即 h2 3 因为 h 1 3 h 21 设 A x1 y1 B x2 y2 是平面直角坐标系 xOy 上的两点 先定义由点 A 到点 B 的一种折线距离 A B 为 A B x2 x1 y2 y1 对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A x1 y1 B x2 y2 1 若点 C x y 是平面 xoy 上的点 试证明 A C C B A B 2 在平面 xoy 上是否存在点 C x y 同时满足 高考真题专家全解 12 A C C B A B A C C B 若存在 请求出所有符合条件的点 请予以证明 解 1 证明 A C C B x x1 y y1 x2 x y2 y 由绝对值不等式 a b a b 可得 A C C B x x1 x2 x y y1 y2 y x x1 x2 x y y1 y2 y x2 x1 y2 y1 A B 所以 A C C B A B 2 绝对值不等式 a b a b 等号成立的充要条件是 ab 0 所以若 成立 则 12 12 0 0 xxxx yyyy 若 成立 则 x x1 x2 x y y1 y2 y 因为 A x1 y1 B x2 y2 是不同的两点 则 1 若 x1 x2且 y1 y2 不妨设 y1 y2 由 得 x x1 2 0 且 y y1 y y2 0 即 x x1 x2且 y1 y y2 由 得 12 2 yy y 此时 点 C 是线段 AB 的中点