2011年中考数学模拟题分类18_二次函数的图象和性质_含.pdf

1 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质 一一 选择题选择题 A 组组 1 中江县 2011 年初中毕业生诊断考试 小李从如图所示的二次函数cbxaxy 2 的图 象中 观察得出了下面四条信息 1 b2 4ac 0 2 c 1 3 ab 0 4 a b c 0 你认为其中错误 的有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 1 个 答案 A 2 2011 年江阴市周庄中学九年级期末考 在平面直角坐标系中 如果抛物线 y 2x2不动 而把 x 轴 y 轴分别向上 向右平移 2 个单位 那么在新坐标系下抛物线的解析式是 A y 2 x 2 2 2 B y 2 x 2 2 2 C y 2 x 2 2 2 D y 2 x 2 2 2 答案 A 3 2011 淮北市第二次月考五校联考 下列函数中 不是二次函数的是 A y 2 21x B y 2 x 1 2 4 C y 4 1 2 1 xx D y x 2 2 x2 答案 D 4 2011 淮北市第二次月考五校联考 根据下列表格的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 一个解 x 的取值范围 x 3 23 3 24 3 25 3 26 y ax2 bx c 0 06 0 02 0 03 0 09 A 3 x 3 23 B 3 23 x 3 24 C 3 24 x 3 25 D 3 25 x0 b 0 c 0 B a 0 b 0 c o C a0 c 0 D a0 c o 答案 D y x 2 o A y x o B y x 2 o C y x o D 2 2 1 2 10 16 2011 北京四中模拟 己知二次函数 2 yaxbxc 且0 0aabc则一定 有 A 2 40bac B 2 40bac C 2 40bac D 2 40bac 答案 A 17 2011 年北京四中 34 模 已知抛物线m2xxy 2 若点 P 2 5 与点Q关于 该抛物线的对称轴对称 则点Q的坐标是 A 0 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 答案 D 18 2011 年北京四中 34 模 已知二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象如右图所示 下列结论 0abc bac 20ab 1abm amb m 的实数 其中正确 的结论有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 B 19 2011 年杭州市上城区一模 下列函数的图象 经过原点的是 A xxy35 2 B 1 2 xy C x y 2 D 73 xy 答案 A 20 2011 年杭州市模拟 二次函数 2 yaxbxc 的图象如图所示 则一次函数 2 4ybxbac 与反比例函数 abc y x 在同一坐标系内的图象大致为 答案 D 第 7 题 11 x y 0 21 2011 年杭州市模拟 如图 在直角梯形ABCD中 AD BC 90C o 6cmCD 2AD cm 动点 P Q同时从点B出发 点P沿BA AD DC 运动到点C停止 点Q沿BC运动到C点停止 两点运动时的速 度 都是1cm s 而当点P到达点A时 点Q正好到达点C 设P 点运动的时间为 s t BPQ 的面积为y 2 cm 则能正确表示 整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是 A B C D 答案 B 22 2011 年海宁市盐官片一模 已知二次函数13123 2 xxy 则函数值 y 的最小值 是 A 3 B 2 C 1 D 1 答案 D 23 赵州二中九年七班模拟 点 E 为正方形 ABCD 的 BC 边的中点 动点 F 在对角线 AC 上运动 连接 BF EF 设 AF x BEF 的周长为 y 那么能表示 y 与 x 的函数关系的 图象大致是 答案 B 24 赵州二中九年七班模拟 二次函数cbxaxy 2 的图像如图所示 则下列结论正 确的是 A 0 0 0 cba B 0 0 0 cba O x O O O x x x y y y y A B C D A B C D F E P Q AD CB 第 9 题 12 C 0 0 0 cba D 0 0cba0 答案 D 二二 填空题填空题 A 组组 1 2011 重庆市纂江县赶水镇 在正方形的网格中 抛物线 y1 x2 bx c 与直线 y2 kx m 的 图象如图所示 请你观察图象并回答 当 1 x 或 或 号 答案 2 重庆一中初 2011 级 10 11 学年度下期 3 月月考 小颖同学想用 描点法 画二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象 取自变量 x 的 5 个值 分别计算出对应的 y 值 如下表 x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心 小颖算错了其中的一个 y 值 请你指出这个算错的 y 值所对应的 x 答案 2 3 2011 年北京四中四模 抛物线34 2 xy的顶点坐标是 答案 0 3 4 2011 年江阴市周庄中学九年级期末考 抛物线36 2 xxy的顶点坐标是 答案 3 6 5 2011 北京四中模拟 6 把抛物线 2 xy 向上平移 2 个单位 那么所得抛物线与 x 轴 的两个交点之间的距离是 答案 4 6 2011 淮北市第二次月考五校联考 抛物线 y ax2 bx c a 0 上两点 当 x 取 1 与 3 时 y 值相同 抛物线的对称轴是 13 答案 X 1 7 淮安市启明外国语学校 2010 2011 学年度第二学期初三数学期中试卷 如图 菱形 ABCD 的三个顶点在二次函数 y ax2 2ax 3 2 a 0 的图象上 点 A B 分别是该抛 物线的顶点和抛物线与 y 轴的交点 则点 D 的坐标为 答案 2 3 2 8 2011 年北京四中模拟 28 抛物线 2 21yx 的顶点坐标是 答案 0 1 9 2011 浙江杭州模拟 14 老师给出一个 y 关于 x 的函数 甲 乙 丙 丁四位同学各指出 这个函数的一个性质 甲 函数图象不经过第三象限 乙 函数图象经过第一象限 丙 当 x 2 时 y 随 x 的增大而减小 丁 当 x0 已知这四位同学叙述都正确 请写 出满足上述所有性质的一个函数 答案 答案不唯一 例如 2 2 1yx 10 2011 浙江杭州模拟 15 甲 乙两位同学对问题 求函数 2 2 1 x xy 的最小值 提出各自 的想法 甲说 可以用配方法 把它配成2 1 2 x xy 所以函数的最小值为 2 乙说 我也用配方法 但我配成2 1 2 x xy 最小值为 2 你认为 填写 甲对 乙对 甲 乙都对 或 甲乙都不对 的 你还可以用 法等方 法来解决 答案 乙 图象 答案不唯一 11 2011 年黄冈中考调研六 抛物线 y 7x2 28x 30 的顶点坐标为 答案 2 2 12 已知关于 x 的函数 y m 1 x2 2x m图像与坐标轴有且只有 2 个交点 则 m 答案 13 河北省中考模拟试卷 抛物线 y x 1 2 2 的顶点坐标是 第 7 题图 B A C D x y O 14 答案 1 2 B 组组 1 2011 年三门峡实验中学 3 月模拟 抛物线 2 1 2 yx 向上平移 2 个单位 再向右平移 1 个单位后 得到的抛物线的解析式为 答案 2 1 1 2 2 x 或 2 13 22 xx 2 2011 年三门峡实验中学 3 月模拟 如图 已知 P 的半径为 2 圆 心 P 在抛物线 2 1 1 2 yx 上运动 当 P 与x轴相切时 圆心 P 的坐标为 答案 2 6 或 2 6 3 2011 年杭州三月月考 将二次函数 2 xy 的图象向右平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位后 所得图象的函数表达式是 答案 21 2 xy 4 2011 天一实验学校 二模 如图 在第一象限内作射线 OC 与 x 轴的夹角为 30o 在射 线 OC 上取一点 A 过点 A 作 AH x 轴于点 H 在抛物线 y x2 x 0 上取点 P 在 y 轴上取点 Q 使得以 P O Q 为顶点的三角形与 AOH 全等 则符合条件的点 A 的坐标是 源答案 3 3 1 3 3 1 3 2 3 2 2 3 3 2 3 5 2011 浙江杭州育才初中模拟 我们把一个半圆与抛物线的一部分合 成的封闭图形称为 蛋圆 如果一条直线与 蛋圆 只有一个交点 那么这条直线叫做 蛋 圆 的切线 如图 点 A B C D 分别是 蛋圆 与坐标轴的交 点 点 D 的坐标为 0 3 AB 为半圆直径 半圆圆心 M 1 0 半 径 为 2 则 蛋 圆 的 抛 物 线 部 分 的 解 析 式 为 经过点 C 的 蛋圆 的切线的解析式为 08 年益阳第 20 题 答案 y x2 2x 3 y 2x 3 6 2011 年浙江杭州27 模 我们知道 根据二次函数的平移规律 可以由简单的函数通过 平移后得到较复杂的函数 事实上 对于其他函数也是如此 如一次函数 反比例函数 第 2 题 O x A y H C y x2 15 等 请问 1 23 x x y可以由 x y 1 通过 平移得到 答案 向右平移 1 个单位 再向上平移 3 个单位 7 2011 年浙江省杭州市模 2 如图 在第一象限内作 射线 OC 与 x 轴的夹角为 30 在射线 OC 上取一点 A 过点 A 作 AH x 轴于点 H 在抛物线 y x2 x 0 上取点 P 在 y 轴上取点 Q 使得以 P O Q 为 顶点的三角形与 AOH 全等 则符合条件的点 A 的 坐标是 答案 3 3 3 1 3 32 3 2 3 3 23 2 8 安徽芜湖 2011 模拟 如图 是二次函数 y ax2 bx c 图象的一 部分 其对称轴为直线 x 1 若其与 x 轴一交点为 A 3 0 则由图象可知 不等式 ax2 bx c 0 的解集是 答案 x 1 或 x 3 9 河南新乡 2011 模拟 已知抛物线 2 1yxx 与x轴的一个 交点为 0 m 则代数式 2 2008mm 的值为 答案 2009 10 浙江杭州进化 2011 一模 老师给出一个 y 关于 x 的函数 甲 乙 丙 丁四位同学各 指出这个函数的一个性质 甲 函数图象不经过第三象限 乙 函数图象经过第一象限 丙 当 x 2 时 y 随 x 的增大而减小 丁 当 x0 已知这四位同学叙述都正确 请写出满足上述所有性质的一个函数 答案 答案不唯一 例如 2 2 1yx 11 2011 北京四中模拟 如图示 己知抛物线 1 C 2 C关于x 轴对称 抛物线 1 C 3 C关于y轴对称 如果抛物线 2 C的 解析式是 23 y 21 4 x 那么抛物线 3 C的解析式是 y x 3 C O 1 C 2 C 第11题图 第 7 题 16 12 江西省九校 2010 2011 第一次联考 将抛物线 2 2yx 向下平移 1 个单位 得到的抛 物线是 答案 y 2x2 1 13 北京四中 2011 中考模拟 12 一个函数具有下列性质 它的图象不经过第三象限 图象经过点 1 1 当1x 时函数值y随自变量 x 增大而增大 试写出一个满 足上述三条性质的函数的解析式 答案 2 1 2 2 0 2 yxxyxyx x 等 写一个即可 14 北京四中 2011 中考模拟 13 把抛物线 2 xy 向上平移 2 个单位 那么所得抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离是 答案 22 15 北京四中2011中考模拟14 抛物线y k 1 x 22 k 9开口向下 且经过原点 则k 答案 3 三三 解答题解答题 A 组组 1 衢山初中 2011 年中考一模 如图 在平面直角坐标系中 点 A B C 的坐标分别 为 0 2 3 2 2 3 1 请在图中画出ABC 向下平移 3 个单位的像A B C 2 若一个二次函数的图象经过 1 中A B C 的三个顶点 求此二次函数的关系式 答案 20 1 x O y A C B 17 2 由题意得 A B C 的坐标分别是 0 1 3 1 2 0 设过点 A B C 的二次函数的关系式为 2 yaxbxc 则有 1 931 420 c abc abc 解得 13 1 22 abc 二次函数的关系式为 2 13 1 22 yxx 2 中江县 2011 年初中毕业生诊断考试 如图 在平面直角坐标系中 开口向下的抛物线与 x 轴交于 A B 两点 D 是抛物线的 顶点 O 为坐标原点 A B 两点的横坐标分别是方程0124 2 xx 的两根 且 cos DAB 2 2 1 求抛物线的函数解析式 2 作 AC AD AC 交抛物线于点 C 求点 C 的坐标及直线 AC 的函数解析式 3 在 2 的条件下 在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 P 使 APC 的面积最大 如果存在 请求出点 P 的坐标和 APC 的最大面积 如果不存在 请说明理由 答案 10 分 解 1 解方程0124 2 xx得6 1 x 2 2 x A 2 0 B 6 0 过 D 作 DE x 轴于 E D 是顶点 点 E 是 AB 的中点 E 2 0 x O y A C B A C B 18 在 Rt DAE 中 cos DAB 2 2 DAE 45 AE DE 4 D 2 4 由 A B D 三点坐标解出二次函数解析式 不论用顶点式 两根式还是一般式均可 抛物线的解析式为4 2 4 1 2 xy 或写成3 4 1 2 xxy 2 AC AD 由 1 DAE 45 得 BAC 45 ACG 是等腰直角三角形 设 C a b 显然 a 0 b 0 则 b a 2 即 C a a 2 点 C 在抛物线上 a 2 4 1 a 2 2 4 a2 8a 20 0 解之得 a1 10 a2 2 舍去 C 10 12 设直线 AC 的方程为nmxy 代入 A C 的坐标 得 1012 20 nm nm 解之得 2 1 n m 直线 AC 的解析式为 y x 2 3 存在点 P 4 3 使 S APC最大 54 理由如下 作 CG x 轴于 G PF y 轴交 x 轴于 Q 交 AC 于 F 设点 P 的横坐标是 h 则 G 10 0 P h 4 2 4 1 2 h F h h 2 PF 52 4 1 2 4 2 4 1 22 hhhh PCF 的高等于 QG S APC S APF S PCF 2 1 PF AQ 2 1 PF QG 2 1 PF AQ QG 2 1 PF AG 12 52 4 1 2 1 2 hh 19 54 4 2 3 2 h 当 h 4 时 S APC最大 54 点 P 的坐标为 4 3 3 2011 年北京四中四模 已知二次函数的图象经过点 1 5 0 4 和 1 1 求这个二次函数的解析式 答案 设所求函数的解析式为 2 cbxaxy 把 1 5 0 4 1 1 分 别代入 得 1 4 5 cba c cba 解 这 个 方 程 组 得 4 3 2 c b a 所 求 的 函 数 的 解 析 式 为 432 2 xxy 4 2011 北京四中模拟 7 已知二次函数yaxbxcaba c 2222 040 其中 它的图象与 x 轴只有一个交点 交点为 A 与 y 轴交于点 B 且 AB 2 1 求二次函数解析式 2 当 b0 c 0 ac 1 二次函数与 x 轴 y 轴交点坐标为A a BcA a Bc 1 00 1 00 或 20 在 Rt ABO 中 OAOBABOA aa OBcAB 222 11 2 1 4142 22222 a ca ca 整理得 把 1 代入 2 解得aa 2 2 2 2 或舍 把ac 2 2 12代入得 二次函数解析式为22 2 2 22 2 2 22 xxyxxy或 2 当 b 0 时 由二次函数的解析式 yxxxAB 2 2 22 2 2 22002 22 得 解得由 过点直线又 2 22 2 2 2 2 02 2 xy xxy xy m Amxy 直线与二次函数图象交点 C 的坐标为 2 22 过 C 点作 CF x 轴 垂足为 F 可推得 AB AC BAC 90 如图所示 y B D E C 1 2 M O A F x 在 CF 上截取 CM BD 连结 EM AM 则ECCMEM 222 CEBDDE EMDE 222 可证 ABD ACM 从而可证 DAE MAE 1 2 DAE EAM DAM BAC 90 DAE 45 21 5 2011 北京四中模拟 8 如图 在直角坐标系 xOy 中 正方形 OABC 的边长为 2cm 点 A C 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 抛物线cbxxy 2 经过点 B C 1 求抛物线的解析式 2 点 D E 分别是 AB BC 上的动点 且点 D 从点 A 开 始 以 1cm s 的速度沿 AB 向点 B 移动 同时点 E 从点 B 开 始 以 1cm s 的速度沿 BC 向点 C 移动 运动 t 秒 t 2 后 能否在抛物线上找到一点 P 使得四边形 BEDP 为平行四边 形 如果能 请求出 t 值和点 P 的坐标 如果不能 请说明 理由 答案 22 2 xxy 能 2 173 t P 2 317 2 117 6 2011 淮北市第二次月考五校联考 已知 二次函数 y x2 bx c 的图象过点 A 1 0 和点 B 3 0 两点 且与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 求 ABC 的面积 答案 解 1 y x 1 x 3 x2 2x 3 2 分 2 AB 3 1 4 4 分 S ABC 2 1 4 3 6 8 分 7 2011 淮北市第二次月考五校联考 丁丁推铅球的出手高度为 1 6m 在如图所示的直角 坐标系中 铅球运动路线是抛物线 y 0 1 x k 2 2 5 求铅球的落点与丁丁的距离 答案 y 0 1 x2 0 2kx 0 1k2 2 5 2 分 0 1k2 2 5 1 6 k 3 k 3 4 分 0 1 x 3 2 2 5 0 x1 2 舍去 x2 8 所以 铅球的落点与丁丁的距离为 8cm 8 分 8 淮安市启明外国语学校 2010 2011 学年度第二学期初三数学期中试卷 如图所示 在 平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx 3 a 0 经过 10 A 30 B 两点 抛物线与 y 轴交点为 C 其顶点为 D 连接 BD 点 P 是线段 BD 上一个动点 不与 B D 重合 过点 P 作 y 轴的垂线 垂足为 E 连接 BE P y x E D O CB A 22 1 求抛物线的解析式 并写出顶点 D 的坐标 2 如果 P 点的坐标为 x y PBE 的面积为 s 求 s 与 x 的函数关系式 写出自 变量 x 的取值范围 并求出 s 的最大值 3 在 2 的条件下 当 s 取得最大值时 过点 P 作 x 的垂线 垂足为 F 连接 EF 把 PEF 沿直线 EF 折叠 点 P 的对应点为 P 请直接写出 P 点坐标 并判断点 P 是否在该抛物线上 答案 1 抛物线解析式为 2 23yxx 顶点D的坐标为 14 2 设直线BD解析式为 ykxb 0k 把BD 两点坐标代入 得 30 4 kb kb 解得26kb 直线AD解析式为26yx s 1 2 PE OE 2 111 26 3 222 sPE OExyxxxx 2 3 13 sxxx 2 2 9939 3 4424 sxxx 当 3 2 x 时 s取得最大值 最大值为 9 4 3 当s取得最大值 3 2 x 3y 3 3 2 P 四边形PEOF是矩形 作点P关于直线EF的对称点 P 连接P EP F 过 P 作P Hy 轴于H P F 交y轴于点M 设MCm 则 3 3 2 MFmP MmP E 在RtP MC 中 由勾股定理 2 22 3 3 2 mm 解得 15 8 m 1 1 2 3 1 2 3 3 1 D y C B A P 2 E x O 第 8 题图 E 1 1 2 3 1 2 3 3 1 D y C B A P 2 x O F P M H 23 CM P HP M P E gg 9 10 P H 由EHPEP M 可得 EHEP EPEM 6 5 EH 69 3 55 OH P 坐标 9 9 10 5 不在抛物线上 9 2011 年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题 已知二次函数 2 yaxbxc 的 图象 Q 与 x 轴有且只有一个交点 P 与 y 轴的交点为 B 0 4 且 ac b 1 求这个二次函数的解析式 2 将一次函数 y 3x 的图象作适当平移 使它经过点 P 记所得的图象为 L 图象 L 与 Q 的另一个交点为 C 请在 y 轴上找一点 D 使得 CDP 的周长最短 答案 1 由 B 0 4 得 c 4 Q 与 x 轴的交点 P 2 b a 0 由条件acb 得 b c a 所以 2 b a 2 2 c 即 P 2 0 所以 4 4240 ba ab 解得 1 4 a b 所求二次函数的解析式为 2 44yxx 2 设图象 L 的函数解析式为 y 3 x b 因图象 L 过点 P 2 0 所以6b 即平移后所得一次函数的解析式为 y 36x 令36x 2 44xx 解得 1 2x 2 5x 将它们分别代入 y 36x 得 1 0y 2 9y 所以图象 L 与 Q 的另一个交点为 C 5 9 点 P 2 0 关于 y 轴的对称点为点 P 2 0 则直线 CP 的解析式为 918 77 yx 且与 y 轴的交点为 18 0 7 D O P B C x y P D 24 即 y CDP C 在 轴上使得最小的点是 18 0 7 D 10 2011 年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题 已知 抛物线 2 yaxbxc 经过点 0 0O 7 4A 且对称轴l与x轴交于点 5 0B 1 求抛物线的表达式 2 如图 点E F分别是y轴 对称轴l上的点 且四边形EOBF是矩形 点 5 5 2 C 是BF上一点 将BOC 沿着直线OC翻折 B点与线段EF上的D点重合 求D点的 坐标 3 在 2 的条件下 点G是对称轴l上的点 直线DG交CO于点H 1 4 DOHDHC SS 求G点坐标 答案 1 由题意得 5 2 0 4974 b a c abc 解 得 4 21 40 21 0 a b c 2 440 2121 yxx 2 BOC 与DOC 重合 5 5 2 OBBC 5 5 2 BODOCDBC 90OBCODC 90EDOFDC 又90EDOEOD EODFDC 90OEDDFC EOD FDC 5 2 5 2 EDEOOD FCDFCD OB C D EF x y 第 3 题图 l 25 四边形OEFB是矩形 EFOB EOFB 设FCx 则2 52EDx DFx 104EOx 5 104 2 xx 解 得 3 2 x 3 4EDEO 3 4D 3 过点H作HPOB 垂足为点P 1 4 DOHDHC SS 1 4 DOH DHC SOH SHC HPOB CBOB HP BC 1 5 OHOPPH OCOBBC 1 1 2 OPPH 1 1 2 H 经过点 3 4D 1 1 2 H 的直线DG的表达式为 75 44 yx 15 5 2 G 11 2010 2011 学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题 如图 1 已知 抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E 顶点 M 的坐标为 2 4 矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合 AD AB 分别在 x 轴 y 轴上 且 AD 2 AB 3 1 求该抛物线的函数关系式 2 将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速 平行移动 同时一动点 P 也以相同的速度 从点 A 出发向 B 匀速移动 设它们运动的时 间为 t 秒 0 t 3 直线 AB 与该抛物线的交点为 N 如图 2 所示 当 t 2 5 时 判断点 P 是否在直线 ME 上 并说明理由 设以 P N C D 为顶点的多边形面积为 S 试问 S 是否存在最大值 若存在 求 出这个最大值 若不存在 请说明理由 图 2 B C O A D E M y x P N 图 1 B C O A D E M y x 26 M A B O x y 第 1 题图 答案 1 xxy4 2 2 点 P 不在直线 ME 上 依题意可知 P t t N t tt4 2 当 0 t 3 时 以 P N C D 为顶点的多边形是四边形 PNCD 依题意可得 PNCPCD SSS ODCD 2 1 BCPN 2 1 23 2 1 24 2 1 2 ttt 33 2 tt 4 21 2 3 2 t 抛物线的开口方向向下 当t 2 3 且 0 t 2 3 3 时 最大 S 4 21 当03或 t时 点 P N 都重合 此时以 P N C D 为顶点的多边形是三角形 依题意可得 ABCD SS 矩形 2 1 32 2 1 3 综上所述 以 P N C D 为顶点的多边形面积 S 存在最大值 4 21 12 2011 浙江杭州模拟 15 如图 在平面直角坐标系中 抛物线4 2 2 xxy 与直线xy 交于点 A B M 是 抛物线上一个动点 连接 OM 1 当 M 为抛物线的顶点时 求 OMB 的面积 2 当点 M 在抛物线上 OMB 的面积为 10 时 求点 M 的坐标 3 当点 M 在直线 AB 的下方且在抛物线对称轴的右侧 M 运动到何处时 OMB 的面积最大 答案 27 13 2011 年北京四中中考模拟 20 本题 14 分 已知直角梯形纸片 OABC 在平面直角坐标 系中的位置如图所示 四个顶点的坐标分别为 O 0 0 A 10 0 B 8 32 C 0 32 点 T 在线段 OA 上 不与线段端点重合 将纸片折叠 使点 A 落在射线 AB 上 记 为点 A 折痕经过点 T 折痕 TP 与射线 AB 交于点 P 设点 T 的横坐标为 t 折叠后 纸片重叠部分 图中的阴影部分 的面积为 S 1 求 OAB 的度数 并求当点 A 在线段 AB 上时 S 关于 t 的函数关系式 2 当纸片重叠部分的图形是四边形时 求 t 的取值范围 3 S 存在最大值吗 若存在 求出这个最大值 并求此时 t 的值 若不存在 请说明理 由 解 1 A B 两点的坐标分别是 A 10 0 和 B 8 32 3 810 32 OABtan 60OAB 当点 A 在线段 AB 上时 60OAB TA TA A TA 是等边三角形 且ATTP t10 2 3 60sin t10 TP t10 2 1 AT 2 1 APPA 2 TPA t10 8 3 TPPA 2 1 SS 当 A 与 B 重合时 AT AB 4 60sin 32 所以此时10t6 y x O B C A T y x O B C A T A A B P T E C O y x 28 2 当点 A 在线段 AB 的延长线 且点 P 在线段 AB 不与 B 重合 上时 纸片重叠部分的图形是四边形 如图 1 其中 E 是 TA 与 CB 的交点 当点 P 与 B 重合时 AT 2AB 8 点 T 的坐标是 2 0 又由 1 中求得当 A 与 B 重合时 T 的坐标是 6 0 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时 6t2 3 S 存在最大值 1当10t6 时 2 t10 8 3 S 在对称轴 t 10 的左边 S 的值随着 t 的增大而减小 当 t 6 时 S 的值最大是32 2当6t2 时 由图 1 重叠部分的面积 EBATPA SSS A EB 的高是 60sinBA 2 3 4t10 2 1 t10 8 3 S 22 34 2t 8 3 28t4t 8 3 22 当 t 2 时 S 的值最大是34 3当2t0 即当点 A 和点 P 都在线段 AB 的延长线是 如图 2 其中 E 是 TA 与 CB 的交点 F 是 TP 与 CB 的交点 ETFFTPEFT 四边形 ETAB 是等腰形 EF ET AB 4 34324 2 1 OCEF 2 1 S 综上所述 S 的最大值是34 此时 t 的值是2t0 14 2011 年北京四中中考模拟 18 已知二次函数bxaxy 2 的图象 经过点 2 0 1 6 1 求二次函数的解析式 2 画出它的图象 图 5 B E A A T C O y x P F 29 3 写出它的对称轴和顶点坐标 解 1 依题意 得 6 024 ba ba 解得 4 2 b a 所以 二次函数的解析式为 y 2x2 4x 2 图略 3 对称轴为 x 1 顶点坐标为 1 2 15 2011 年北京四中中考模拟 19 本小题满分 6 分 已知抛物线与 x 轴交于 A 1 0 和 B 3 0 两点 且与 y 轴交于点 C 0 3 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴方程和顶点 M 坐标 3 求四边形 ABMC 的面积 解 1 y x2 2x 3 2 x 1 M 1 4 3 9 16 北京四中模拟 已知 二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象与 X 轴交于 A 1 0 B 5 0 抛物 线的顶点为 P 且 PB 2 5 求 1 二次函数的解析式 2 求出这个二次函数的图象 3 根据图象回答 当 x 取什么值时 y 的值不小于 0 解 1 由题意 设二次函数的解析式为 y a x 1 x 5 即 y ax2 6ax 5a 对称轴为 x 3 设对称轴与 x 轴的交点为 C 3 0 OC 3 OB 5 BC 2 P 是顶点 BP 2 5 PC 4 P 3 4 2 3635 34aa 19 9 a 二次函数的解析式为 2 1914495 999 yx 2 略 3 当 1 x 5 时 y 0 17 北京四中模拟 如图 在平面直角坐标系中 四边形 ABCD 是边长为 8 的正方形 OA 2 求 1 写出 A B C D 各点的坐标 30 2 若正方形 ABCD 的两条对角线相交于点 P 请求出经过 O P B 三点的抛物线垢 解析式 3 在 2 中的抛物线上 是否存在一点 Q 使 QAB 的面积为 16 如果存在 请 求出 Q 点的坐标 如果不存在 请说明理由 解 1 A 2 0 B 10 0 C 10 8 D 2 8 2 过 P 作 PE X 轴于 E PE AE 1 2 BC 4 OE 6 P 6 4 设抛物线 10 yax x 即 2 10yaxax 2 61064aa 1 6 a 故二次函数的解析式为 2 15 63 yxx 顶点 5 25 6 3 存在点 Q 使 QAB 的面积为 16 Q1 4 4 Q2 6 4 Q3 2 4 Q4 4 12 18 北京四中模拟 如 图 抛 物 线两点轴交于与BAxbxaxy 3 2 与y轴 交 于 点C 且 OAOCOB3 I 求抛物线的解析式 II 探究坐标轴上是否存在点P 使得以点CAP 为顶点的三角形为直角三角形 若存在 求出P点坐标 若不存在 请说明理由 III 直线1 3 1 xy交y轴于D点 E为抛物线顶点 若 DBC 求 CBE的值 31 解 I 3 03 2 点轴交与抛物线Cybxaxy 且OAOCOB3 0 3 0 1BA 代入3 2 bxaxy 得 1 2 03 0339 a b ba ba 32 2 xxy II 当 1 90 PAC 时可证AOP 1 ACO 3 1 tantan 11 ACOAOPAOPRt中 3 1 0 1 P 同理 如图当 0 9 90 22 PCAP时 当 0 0 90 33 PACP时 综上 坐标轴上存在三个点P 使得以点CAP 为顶点的三角形为直角三角形 分别是 32 3 1 0 1 P 0 9 2 P 0 0 3 P III 1 0 1 3 1 Dxy得由 4 132 2 Exxy 得顶点由 52 2 23 BECEBC 为直角三角形BCEBE CEBC 222 3 1 tan CB CE 又 3 1 tan OB OD DBODOBRt中 DBO 45OBCDBO 19 2011 杭州模拟 25 在 ABC 中 AOB 90 OA OB 10 分别以边 OA OB 所在 的直线为坐标轴建立平面直角坐标系 点 P 自点 A 出发沿线段 AB 匀速运动至点 B 停 止 同时点 D 自原点 O 出发沿 x 轴正方向匀速运动 在点 P D 运动的过程中 始终 满足 PO PD 过点 O D 向 AB 做垂线 垂足分别为点 C E 设 OD x 1 AP 用含 x 的代数式表示 2 在点 P D 运动的过程中 线段 PC 与 BE 是否相等 若相等 请给予证明 若不 相等 说明理由 3 设以点 P O D E 为顶点的四边形面积为 y 请直接写出 y 与 x 的函数关系式 并写出自变量的取值范围 原创 20 2011 杭州模拟 26 已知 二次函数 2 yaxbxc 的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 其中点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 线段 OB OC 的 长 OB OC 是方程 x2 10 x 16 0 的两个根 且 A 点坐标为 6 0 1 求此二次函数的表达式 2 若点 E 是线段 AB 上的一个动点 与点 A 点 B 不重合 过点 E 作 EF AC 交 BC 于点 F 连接 CE 设 AE 的长为 m CEF 的面积为 S 求 S 与 m 之间的函数关系式 并写出自变量 m的取值范围 3 在 2 的基础上试说明 S 是否存在最大值 若存在 请求出 S 的最大值 并求出此时点 E 的坐标 判断此时 BCE 的形状 若不存在 请说明理由 解 1 解方程 x2 10 x 16 0 得 x1 2 x2 8 1 分 点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 且 OB OC B C 三点的坐标分别是 B 2 0 C 0 8 3 分 33 将 A 6 0 B 2 0 C 0 8 代入表达式 y ax2 bx 8 0 36a 6b 8 0 4a 2b 8 解得 a 2 3 b 8 3 所求二次函数的表达式为 y 2 3x 2 8 3x 8 5 分 2 AB 8 OC 8 依题意 AE m 则 BE 8 m OA 6 OC 8 AC 10 EF AC BEF BAC 6 分 EF AC BE AB 即 EF 10 8 m 8 EF 40 5m 4 7 分 过点 F 作 FG AB 垂足为 G 则 sin FEG sin CAB 4 5 FG EF 4 5 FG 4 5 40 5m 4 8 m 8 分 S S BCE S BFE 1 2 8 m 8 1 2 8 m 8 m 1 2 8 m 8 8 m 1 2 8 m m 1 2m 2 4m 自变量 m 的取值范围是 0 m 8 9 分 3 存在 理由如下 S 1 2m 2 4m 1 2 m 4 2 8 且 1 2 0 当 m 4 时 S 有最大值 S最大值最大值 8 10 分 m 4 点 E 的坐标为 2 0 BCE 为等腰三角形 12 分 其它正确方法参照给分 34 解 1 AP 2 2 x 2 分 2 PC BE 1 分 0 x 10 时 PC AC AP 2 5 2 2 x BE 2 2 BD 2 2 10 x 5 2 4 分 3 当 0 x 10 时 2 15 25 42 yxx 3 分 当 10 x 20 时 5 2 yx 21 2011 年兴华公学九下第一次月考 如图 OAB 是边长为 2 的等边三角形 过点 A 的直线 轴交于点与Exmxy 3 3 1 求点 E 的坐标 2 求过 A O E 三点的抛物线解析式 3 若点 P 是 2 中求出的抛物线 AE 段上一动点 不与 A E 重合 设四边形 OAPE 的面积为 S 求 S 的最大值 答案 解 1 作 AF x 轴与 F OF OAcos60 1 AF OFtan60 3 点 A 1 3 1 分 代入直线解析式 得31 3 3 m m 3 34 35 3 34 3 3 xy 当 y 0 时 0 3 34 3 3 x 得 x 4 点 E 4 0 3 分 2 设过 A O E 三点抛物线的解析式为cbxaxy 2 抛物线过原点 c 0 抛物线的解析式为xxy 3 34 3 3 2 6 分 3 作 PG x 轴于 G 设 00 yxP 2 4 2 1 3 2 3 0000 yxxy SSSS PGEFGPAOG 353 2 1 33 2 1 0 2 000 xxyx 8 分 8 325 2 5 2 3 2 0 x 当3 8 25 2 5 0 最大 时 Sx 22 2011浙江省杭州市10模 本题 8 分 如图 在平面直角坐标系中 点 A B C 的坐标 分别为 0 2 3 2 2 3 1 请在图中画出ABC 向下平移3个单位的像A B C 2 若一个二次函数的图象经过 1 中A B C 的三个顶 点 求此二次函数的关系式 1 x O y A C B 36 2 由题意得 A B C 的坐标分别是 0 1 3 1 2 0 设过点 A B C 的二次函数的关系式为 2 yaxbxc 则有 1 931 420 c abc abc 解得 13 1 22 abc 二次函数的关系式为 2 13 1 22 yxx 23 2011 年浙江杭州五模 如图 设抛物线 2 113 424 yxx 交 x 轴于AB 两点 顶点 为D 以BA为直径作半圆 圆心为M 半圆交 y 轴负半轴于C 1 求抛物线的对称轴 2 将ACB 绕圆心M顺时针旋转180o 得到APB 如图 求点P的坐标 3 有一动点Q在线段AB上运动 QCD 的周长在不断变化时是否存在最小值 若存在 求点Q的坐标 若不存在 说明理由 答案 1 对称轴为直线 x 1 2 E 2 A 1 0 B 3 0 M 1 0 所以圆 M 的半径为 2 1 2222 213OCMCOM 1 37 y O M x n l 1 2 3 1 B 2 B 3 B n B 1 A 2 A 3 A 4 A n A 1n A 2 COMPEMRt CMOPME CMPM COMPEM AAS Q PEOC3 1 P3 MEOM 点坐标为 2 1 3 顶点坐标为 D 1 1 D 1 1 关于 x 轴的对称点 D 1 1 1 则直线 CD 为313yx 1 则 CD 与 X 轴的交点即为所求的 Q 点为 3 1 0 3 2 B 组组 1 2011 天一实验学校 二模 已知 如图 直线l 1 3 yxb 经过点 M 0 4 1 一组抛 物线的顶点 112233 1 2 3 nn ByByByB nyL n为正整数 依次是直 线l上的点 这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是 A1 x1 0 A2 x2 0 A3 x3 0 An 1 xn 1 0 n为正整数 设 1 01xdd 1 求b的值 2 求经过点 112 ABA 的抛物线的解析式 用含d的代数式表示 3 定义 若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形 则这种抛 物线就称为 美丽抛物线 探究 当01dd 的大小变化时 这组抛物线中是否存在美丽抛物线 若存在 请 你求出相应的d的值 答案 M 0 4 1 在直线 y 3 1 x b 上 b 4 1 38 由 得 y 3 1 x 4 1 B1 1 y1 在直线 l 上 当 x 1 时 y1 3 1 1 4 1 12 7 B1 1 12 7 又 A1 d 0 A2 2 d 0 设 y a x d x 2 d 把 B1 1 12 7 代入得 a 2 1 12 7 d 过 A1 B1 A2三点的抛物线解析式为 y 2 1 12 7 d x d x 2 d 或写出顶点式为 y 2 1 12 7 d x 1 2 12 7 存在美丽抛物线 由抛物线的对称性可知 所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰 直角三角形 此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 又 0 d 1 等腰直角三 角形斜边的长小于 2 等腰直角三角形斜边上的高必小于 1 即抛物线的顶点的纵坐 标必小于 1 当 x 1 时 y1 3 1 1 4 1 12 7 1 当 x 2 时 y2 3 1 2 4 1 12 11 1 美丽抛物线的顶点只有 B1B2 若 B1为顶点 由 B1 1 12 7 则 d 1 12 7 12 5 若 B2为顶点 由 B2 2 12 11 则 d 1 1 12 11 2 12 11 综上所述 d 的值为 12 5 或 12 11 时 存在美丽抛物线 2 2011 浙江慈吉 模拟 已知如图 四边形 ABCD 是平行四边形 A B 均在x轴上 点 C 的坐标是 6 3 AD 所在的直线的解析式为1 xy 1 求 A B D 的坐标 2 以 D 为顶点的抛物线经过点 B 若将抛物线向上平移m 0 m 个单位后经过点 39 A 求原抛物线的解析式及m的值 答案 1 当0 y时 01 x 得1 x 点 A 的坐标为 0 1 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD AB CD 3 CD yy 31 x 得2 x 点 D 的坐标为 3 2 AB CD 4 DC xx 点 B 的坐标是 0 3 2 设原抛物线的解析式为3 2 2 xay 把点 B 的坐标 0 3 代入得 03 23 2 a 3 a 原抛物线的解析式为3 2 3 2 xy 设原抛物线向上平移m个单位后的解析式为mxy 3 2 3 2 把点 A 0 1 代入得 0327 m 24 m 3 2011 年杭州三月月考 如图 已知抛物线与x轴交于点 2 0 A 4 0 B 与y轴交 于点 08 C 1 求抛物线的解析式及其顶点D的坐标 2 设直线CD交x轴于点E 在线段OB的垂直平分线上是否存在点P 使得点P到 直线CD的距离等于点P到原点O的距离 如果存在 求出点P的坐标 如果不存在 请说明理由 40 3 过点B作x轴的垂线 交直线CD于点F 将抛物线沿其对称轴平移 使抛物线 与线段EF总有公共点 试探究 抛物线向上最多可平移多少个单位长度 向下最多可 平移多少个单位长度 答案 1 设抛物线解析式为 2 4 ya xx 把 08 C 代入得1a 2 28yxx 2 1 9x 顶点 19 D 2 假设满足条件的点P存在 依题意设 2 Pt 由 08 19 CD 求得直线CD的解析式为8yx 它与x轴的夹角为45o 设OB的中垂线交CD于H 则 210 H 则10PHt 点P到CD的距离为 22 10 22 dPHt 又 222 24POtt 2 2 410 2 tt 平方并整理得 2 20920tt 108 3t 存在满足条件的点P P的坐标为 2108 3 3 由上求得 8 0 412 EF 若抛物线向上平移 可设解析式为 2 28 0 yxxm m 当8x 时 72ym 当4x 时 ym 720m 或12m 072m 若抛物线向下移 可设解析式为 2 28 0 yxxm m A B C O x y A B C O x y D F H P E 41 由 2 28 8 yxxm yx 有 2 0 xxm 1 40m 1 0 4 m 向上最多可平移 72 个单位长 向下最多可平移 1 4 个单位长 2011年三门峡实验中学3月模拟 如图 在平面直角坐标系中 二次函数cbx