数学人教版九年级上册一元二次方程的定义.doc

21.1一元二次方程（第1课时）一、学习目标1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。二、学习重点、难点重点：建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。难点：在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。三、学习过程 1.回答以下问题。（1）一元二次方程的定义：等号两边都是 ，只含有 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： (a0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项。2新课应用:1、下列方程是一元二次方程的是有 ：（1），（2）(x+1)(x-1)=0，（3），（4），（5）， （6）2、 一元二次方程化为一般形式是： ；其二次项是： ；一次项是： ；常数项是： .3、若是关于x的一元二次方程，则（ ）.A m0，n=3 B m3，n=4 C m0，n=4 D m3，n04、已知：关于x的方程.（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程.四、达标过关测试1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）.A. B. C. D.2一元二次方程化为一般形式为： ，二次项系数为： _，一次项系数为： _，常数项为： _.3关于x的方程,当 _时为一元一次方程；当 _时为一元二次方程.4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为，则根据题意可列方程为 21.1一元二次方程（第2课时）- 一元二次方程的根一、学习目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。二、学习重点、难点重点：一元二次方程解的探索。难点：一元二次方程近似解的探索。三、学习过程（一）复习回顾：1、把方程3x(x1)=2(x+2)+8化成一般形式是_，它的二次项系数是_、一次项系数是_及常数项是_。2、判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？x2+4x+=0 x2+3x2= x2 x22xy3=0 a x2+bx+c=0（二）解答下列问题：1、下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，42、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_，即：使一元二次方程等号左右两边相等的_的值。（三）、自我尝试：1、下列各未知数的值是方程的解的是（ ）A. B. C. D. 2、已知方程的一个根是1，则m的值是_四、课堂检测： 1、方程x（x-1）=2的两根为（ ） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2= -1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=22、若a，b，c是非零实数，且abc0，则有一个根是1的方程是（ ）Aax2bxc0 Bax2bxc0 Cax2bxc0 Dax2bxc03、方程x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_4、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_5、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为0，则c= 。6、已知m是方程x2x10的一个根，则代数m2m的值等于_7下列说法正确的是（ ）.A.方程是关于的一元二次方程 B.方程的常数项是4C.若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 D.当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解8下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A.若x2=4，则x2 B.方程x(2x1)2x1的解为x1C.若x2+2x+k=0的一个根为1，则 D.若分式 的值为零，则x1，2 9、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值21.2.1 配方法（第1课时）一、学习目标1、理解一元二次方程“降次”的转化思想。2、根据平方根的意义解形如的一元二次方程，然后迁移到解型的一元二次方程二、学习重点、难点重点：运用直接开平方法解形如的一元二次方程。难点：通过根据平方根的意义解形如的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如的方程三、学习过程（一）复习回顾：1. 如果有 ，则x叫a的平方根，也可以表示为x 2. 如果，则x_（二）探索新知：1、试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。（1） （2）解：移向，得： 解：化简,得： x是1的平方根 x_ x是4的平方根 x_即原方程的根为： 即原方程的根为：_，=_ _，=_ （三）自我尝试：解下列方程。2x2-8=0; 3(x-1)2-6=0; 9x2+6x+1=4. 四、达标过关测试1判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并说明理由（1）x22 ( ) （2）p2490 ( ) （3）6x23 ( )2方程的解为（ ）A、0 B、1 C、2 D、以上均不对3已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）A、n0 B、n0或m，n异号 C、n是m的整数倍 D、m，n同号4方程（1x）22的根是（ ）（A）.1、3 （B）.1、3 （C）.1、1 （D）.1、15下列解方程的过程中，正确的是（ ）(A)x22,解方程，得x (C) 4(x1)29,解方程，得4(x1) 3, x1;x2(B)(x2)24,解方程，得x22,x4 (D) (2x3)225,解方程，得2x35, x1 1;x246用直接开平方法解下列方程：(1) (x1)28； (2)9x2-5=0; (2) 21.2.1 配方法（第2课时）学习目标1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为形式的过程，进一步理解配方法的意义；2、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，体会转化的思想方法。学习重点、难点重点：掌握配方法解一元二次方程。难点：把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。学习过程一复习回顾：1、填空：（1）x2+8x+_ _=（x+_ ）2； （2）x2-4x+_ _=（x-_ _）2； （3）x2-6x+ =（x- ）2由上面等式的左边可知，完全平方式中常数项和一次项系数的关系是： 。2、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2 二、尝试应用：1、用配方法解方程2x24x30，配方正确的是（ ）A.2x24x434 B. 2x24x434 C.x22x11 D. x22x112、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ） A.x22x990化为(x1)2100 B.t27t40化为(t)2C.x28x90化为(x4)225 D.3x24x20化为(x)23、用配方法解下列方程：（1）； （2）； （3）x(2x-5)=4x-10四自主总结：利用配方法解方程时应该遵循的步骤（1）把方程化为一般形式 ； （2）把方程的 项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上 的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解（6）如果方程右边是 数，两边直接开平方求解，如果方程右边是 ，则原方程无解。五.达标测试1、将二次三项式进行配方，正确的结果应为（ ）（A） (B) (C) (D) 3、把一元二次方程化成的形式是 。来源:Z+xx+k.Com5、用配方法解下列方程：(1) (2)3y2y20； (3)3x24x10； (4) 2x213x；21.2.2 公式法（第1课时）一、学习目标1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b24ac0；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。二、学习重点、难点重点：求根公式的推导和公式法的应用。 难点：一元二次方程求根公式法的推导。三、学习过程一、复习巩固 用配方法解方程4x2 -6x -3=0 二、新知探究1.用配方法解方程ax2bxc = 0（a0）解：移项，得 ，二次项系数化为1，得 ，配方 ，方程左边写成平方式 ，a0,4a2 0,有以下三种情况：（1）当b2-4ac0时， ； 。（2）当b2-4ac=0时， 。（3）b2-4ac0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有 的实根；=b2-4ac 0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有 的实根；=b2-4ac 0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0） 实数根。三 巩固练习1. 已知一元二次方程 x2 x10，下列判断正确的是（ ）A该方程有两个相等的实数根 B该方程有两个不相等的实数根C该方程无实数根 D该方程根的情况不确定2 关于x的一元二次方程x2(m2)xm10有两个相等的实数根，则m的值是 .3.如果关于x的一元二次方程kx2x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 。4.如果关于x的方程ax 2+x1= 0有实数根，则a的取值范围是 。5.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，求m取什么值时，方程有两个不相等的实数根？方程有两个相等的实数根？方程没有实数根？6.已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值22.2.3 因式分解法一、学习目标1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。二、学习重点、难点重点：用因式分解法一元二次方程。 难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。三、学习过程（一）复习回顾：1把下列各式因式分解.（1）x24x=_ （2）x3x（x3）=_ （3）（2x1）2x2 =_ 2（1）用配方法解一元二次方程10x-4.9x2=0； （2）用公式法解10x-4.9x2=0。（二）新课学习：1.回答以下问题。（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_的形式，再使_，从而实现_，这种解法叫做_。（2）如果，那么_，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_，即或_。（3）仔细阅读教材例33归纳总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：通过_把一元二次方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的_;令每个因式分别为_，得到两个一元一次方程;解 ，它们的解就是原方程的解。（三）达标测试：1.一元二次方程的解是（ ）（A） （B）（C）或（D）或2.一元二次方程x2=2x的根是（ ） Ax=2 Bx=0 Cx1=0, x2=2 Dx1=0, x2=23. 一元二次方程的解是 .4.用因式分解法解下列方程：（1）x2+x=0； (2)x2-2x=0； （3）3x2-6x=-3； （4）4x2-121=0； （5）3x(2x+1)=4x+2； (6) （7） (8) （9）2(x3)29x221.2.4一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立，使学生理解其理论依据； 2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题； 3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。学习重点：根与系数的关系及推导 学习难点：正确理解根与系数的关系一 探究活动（一）尝试探索，发现规律：小结： 1如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_，x1x2=_ 2如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p240）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_，x1x2=_；以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是_注意：根与系数的关系使用的前提条件_（二）巩固练习.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）： x2 + 3x -1= 0x2 + 6x +2= 0 3x2 4x+1= 0 (4)4x2 -2x -7= 02.已知关于x的方程x2 + mx 3= 0的一个根是-1，求m的值及另一个根.三.达标测试1如果一元二次方程的两个根为的值为 。2.设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值是 。3一元二次方程的两根为，则=_。4.若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为 .5已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则（x1x2）2 6已知一元二次方程的一个根 2，则另一个根是 .7.若实数a、b满足a2-7a+2=0和b2-7b+2=0,则式子的值是 .8方程，当m=_时，此方程两个根互为相反数；当m=_时，两根互为倒数。9.下列一元二次方程中，两根分别为的是（ ）A、 B、 C、 D、10关于x的方程有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由一元二次方程的解法小结方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义配方法完全平方公式公式法配方法因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0解下列方程： （1）(x+3)2-2=0； (2) x2+2x=0; (3) 3x(x-2)=2(x-2)(4) (x+3)2=(2x-5)2; (5)x2-x+1=0; (6)(x-2)(x+3)=66.巩固练习：选择适当的方法解下列方程:（1）x2-3x=0; (2) x22x80； （3）3x24x1；（4）(x-2)(x-3)=6; （5）(2x-1)2=4x-2； （6）(3x-1)2=(x+5)2.21.3实际问题与一元二次方程(第1课时)- 倍数关系问题学习目标掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题 重难点关键 1重点：用“倍数关系”建立数学模型 2难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型学习过程 一、 探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析: 设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮传染后共有 人患了流感，第二轮传染后共有 人患了流感. 列方程得： 。解方程,得 。检验： 。答: .巩固练习.1.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支, 3.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?1. 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它2. 列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答。21.3实际问题与一元二次方程（第2课时）-增长率问题学习目标：掌握增长率问题中的数量关系，会列出一元二次方程解决增长率问题重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题 难点：理清增长率问题中的数量关系一、与同学合作探究、小显身手1、(2010台州中考) 某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次降价的百分率。设平均每次降价的百分率为x，下列所列方程中正确的是（ ）A、100（1+x）2=120 B、100（1-x）2=120 C、120（1+x）2=100 D、120（1-x）2=1002、（2010兰州中考）上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。下列所列方程中正确的是（ ）A 、168（1+x）2=128 B、168（1-x）2=128 C、128（1+ x%）2=168 D、128（1- x%）2=168二、与同学交流，归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：原数（1 平均增长率）= 。（n为相距时间）原数（1 平均减少率）= 。三、达标测试1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( ) A、9% B、10 C、11 D、122.某商品连续两次降价，每次都降20后的价格为元，则原价是（ ）（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )A、(1-x)2=15% B、(1+x)2=1+15%C、(1-x)2=1+15% D、(1-x)2=1-15%4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是_。5.目前，“低碳”已成为保护地球环境的热门话题风能是一种清洁能源，近几年我国风电装机容量迅速增长图11是我国2003年2009年部分年份的内力发电装机容量统计图（单位：万千瓦），观察统计图解答下列问题图11（1）2007年，我国风力发电装机容量已达万千瓦；从2003年到2009年，我国风力发电装机容量平均每年增长万千瓦；（2）求20072009这两年装机容量的年平均增长率；（参考数据：，）（3）按（2）的增长率，请你预测2010年我国风力发电装机容量（结果保留到万千瓦）21.3实际问题与一元二次方程（第3课时）-面积、体积问题学习目标：1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识学习重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题学习难点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题一、导学求思1、列方程解应用题步骤 2、填空：1）直角三角形的面积公式是 一般三角形的面积公式是 2）正方形的面积公式是 长方形的面积公式又是 3）梯形的面积公式是 4）菱形的面积公式是 5）平行四边形的面积公式是 6）圆的面积公式是 二、达标测试1.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？ 17米2.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.求道路宽为多少米？22米ABCD16米草坪第3题图3.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长21.3实际问题与一元二次方程（第4课时）- 数字问题学习目标：1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关数字方面的应用问题2、培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识学习重点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数字方面的应用问题学习难点：设元的灵活性和解的讨论一.自主学习.已知两个数的差等于4，积等于45，求这两个数. 2. 两个连续奇数的积是323, 求这两个数。二练习1、有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.2.合肥白马旅行社为吸引市民组团去黄山风景区旅游，推出了如下收费标准： 如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元某单位组织员工去黄山风景区旅游，共支付给白马旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去白马风景区旅游？一元二次方程复习（第1课时）目标：以实际问题为背景线索，能独立回顾一元二次方程的相关知识，并能进行初步的知识组织，通过相互交流建立一元二次方程的相关知识。一元二次方程是刻画现实问题的重要模型，请大家从简单的面积问题开始：引例 矩形的周长为14，面积为10，求这个矩形的边长。（1）你所设的未知数是 ，列出的方程为 。（2）解方程：（用尽可能多的方法）（3）怎样检验你所得到的解是否正确？ 基础训练1.方程4x(x-3)=2-x2的一般式是 ，一次项系数是 ，常数项是 。方程的根是 。2.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一根根是-2，则另一个根是 。3. 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A k-1 B k-1且k0 C k1 D k1且k04.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方