高中数学排列组合.ppt

1 2排列与组合 一 排列与排列数 什么是分类计数原理 什么是分步计数原理 应用这两个原理时应注意什么问题 排列 排列的定义中包含两个基本内容 一是 取出元素 二是 按照一定顺序排列 一定顺序 就是与位置有关 这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 根据排列的定义 两个排列相同 当且仅当这两个排列的元素完全相同 而且元素的排列顺序也完全相同 1 排列定义 如果两个排列所含的元素不完全一样 那么就可以肯定是不同的排列 如果两个排列所含的元素完全一样 但摆的顺序不同 那么也是不同的排列 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素按照一定顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 对 n取m的一个排列 的认识 1 元素不能重复 n个中不能重复 m个中也不能重复 2 按一定顺序 就是与位置有关 这是判断一个问题是否是排列问题的关键 3 两个排列相同 当且仅当这两个排列中的元素完全相同 而且元素的排列顺序也完全相同 4 m n时的排列叫选排列 m n时的排列叫全排列 5 为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏 最好采用 树形图 2 排列数 1 排列数公式的特点 第一个因数是n 后面每一个因数比它前面一个因数少1 最后一个因数是n m 1 共有m个因数 3 排列数公式 例1 下列问题中哪些是排列问题 1 10名学生中抽2名学生开会 2 10名学生中选2名做正 副组长 3 从2 3 5 7 11中任取两个数相乘 4 从2 3 5 7 11中任取两个数相除 例题选讲 5 20位同学互通一次电话 6 20位同学互通一封信 7 以圆上的10个点为端点作弦 8 以圆上的10个点中的某一点为起点 作过另一个点的射线 9 有10个车站 共需要多少种车票 10 有10个车站 共需要多少种不同的票价 例6 解方程 例7 求证 例8 求的个位数字 例9 求的值 排列及排列数公式的应用 1 排列定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素按照一定顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 简称 n取m的一个排列 知识回顾 2 排列数公式 乘积式 阶乘式 能力要求 1 能分清楚排列和非排列问题 2 能灵活应用排列数公式 3 能用排列知识解决简单的排列问题 例题讲解 1 排列的判断 例1 下列问题中哪些是排列问题 若是 请用排列数公式写出答案 1 从高二 9 班50名同学中选出3人去参加劳动 有多少种选法 2 从高二 9 班50名同学中选出3人去参加3项不同的劳动 有多少种选法 3 从0 1 2 3 9共10个数字中选出两个作为元素组成集合 有多少个不同的集合 4 从0 1 2 3 9共10个数字中选出两个分别作为横纵坐标 x y 有多少个不同的坐标 5 5名同学争夺3个项目的冠军 有多少种不同的情况 6 5名同学坐3个座位 有多少种不同的情况 7 5名同学坐8个座位 有多少种不同的情况 8 中国足球甲级联赛实双循环赛制 每两只球队都要分别在主场 客场打一场 若有16支球队 一共要打多少场比赛 9 中国足协杯比赛实行淘汰制 两支球队打一场 胜者晋级 最后决出冠军 若有16支球队 一共要打多少场比赛 10 中国象棋甲级联赛实行单循环制 每两个队员比赛一场 最后按积分定出名次 若有16个队员 一共要进行多少场比赛 2 排列数公式 例2 求的值 例3 解下列方程 1 2 2 排列的应用 例4 用0 1 2 3 4 5共6个数字选4个组成五重复数字的四位数 1 共有多少个不同的四位数 2 共有多少个不同的四位偶数 3 共有多少个比2041大的四位数 例5 在7名运动员中选出4名组成接力队参加4 100米比赛 那么甲 乙都不跑中间两棒的安排方法有多少种 例6 5人站成一排 1 其中甲 乙两人必须相邻 有多少种不同的排法 2 其中甲 乙两人不能相邻 有多少种不同的排法 3 其中甲不站排头 有多少种不同的排法 4 其中甲不站排头 乙不站排尾 有多少种不同的排法 1 若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译 导游 导购 保洁四项不同的工作 则选派的方案有多少种 2 从若干个元素中选出2个进行排列 可得210种不同的排列 那么这些元素共有多少个 3 5个班 有5名语文老师 5名数学老师 5名英语老师 每班配一名语文老师 一名数学老师 一名英语老师 问有多少种不同的搭配方法 跟踪练习 4 计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 4幅油画 5幅国画 排成一行陈列 要求同一品种的画必须连在一起 那么不同的陈列方式有多少种 5 1 将18个人排成一排 不同的排法有多少种 2 将18个人排成两排 每排9人 不同的排法有多少种 3 将18个人排成三排 每排6人 不同的排法有多少种 6 5名学生和1名老师照相 老师不能站排头 也不能站排尾 共有多少种不同的站法 7 4名学生和3名老师排成一排照相 老师不能排两端 且老师必须要排在一起的不同排法有多少种 8 停车场有7个停车位 现在有4辆车要停放 若要使3个空位连在一起 则停放的方法有多少种 9 一条铁路原有n个车站 为适应客运需要增加例m m 1 个车站 车票增加了62种 问原有多少个车站 10 某天要排语文 数学 英语 物理 化学 体育6节课 其中上午4节 下午2节 1 若第1节不排体育 最后一节不排数学 有多少排法 2 若第1节不排体育 下午不排数学 有多少排法 3 若语文 数学排相邻 有多少排法 二 组合与组合数 问题一 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动 其中1名同学参加上午的活动 1名同学参加下午的活动 有多少种不同的选法 问题二 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动 有多少种不同的选法 甲 乙 甲 丙 乙 丙 3 组合 问题二 问题一 有顺序 无顺序 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列与组合的概念有什么共同点与不同点 1 组合定义 组合定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 共同点 都要 从n个不同元素中任取m个元素 不同点 排列与元素的顺序有关 改变顺序不相同 组合与元素的顺序无关 无顺序 或唯一顺序 对 排列 组合 的认识 思考一 aB与Ba是相同的排列 还是相同的组合 为什么 思考二 两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢 构造排列分成两步完成 先取后排 构造组合就是其中一个步骤 思考三 组合与排列有联系吗 例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题 1 设集合A a b c d e 则集合A的含有3个元素的子集有多少个 2 某铁路线上有5个车站 则这条铁路线上共需准备多少种车票 有多少种不同的火车票价 组合 3 10人聚会 见面后每两人之间要握手相互问候 共需握手多少次 组合 组合 组合是选择的结果 排列是选择后再排序的结果 排列 例2 从a b c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是 ab ac bc 例3 已知4个元素a b c d 写出每次取出两个元素的所有组合 ab ac ad bc bd cd 3个 6个 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号表示 如 从a b c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是 如 已知4个元素a b c d 写出每次取出两个元素的所有组合个数是 注意 是一个数 应该把它与 组合 区别开来 2 组合数 写出从a b c d四个元素中任取三个元素的所有组合和排列 并探究二者的关系 abc abd acd bcd b c d d c b a c d 探究 组合 排列 abcbaccabacbbcacba abdbaddabadbbdadba acdcaddacadccdadca bcdcbddbcbdccdbdcb 三个元素的 1个组合 对应着6个排列 你发现了什么 排列与组合是有区别的 但它们又有联系 一般地 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 可以分为以下2步 第1步 先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 第2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 根据分步计数原理 得到 因此 这里m n是自然数 且m n 这个公式叫做组合数公式 3 组合数公式 组合数公式 从n个不同元中取出m个元素的排列数 组合数公式 排列数公式 规定 例1 计算 2 列出所有冠亚军的可能情况 2 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁乙甲 丙甲 丁甲 丙乙 丁乙 丁丙 1 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 解 3 已知 求n的值 例3 3 10名学生 7人扫地 3人洒水 那么不同的分工方法有种 1 用m n表示 2 从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛 共有种不同的选法 如果这三个选手又按照不同顺序安排 有种方法 练习 例1 在产品检验中 常从产品中抽出一部分进行检查 现有100件产品 其中3件次品 97件正品 要抽出5件进行检查 根据下列各种要求 各有多少种不同的抽法 解答 1 2 3 5 6 1 有10道试题 从中选答8道 共有种选法 又若其中6道必答 共有不同的种选法 2 某班有54位同学 正 副班长各1名 现选派6名同学参加某科课外小组 在下列各种情况中 各有多少种不同的选法 1 无任何限制条件 2 正 副班长必须入选 3 正 副班长只有一人入选 4 正 副班长都不入选 5 正 副班长至少有一人入选 6 正 副班长至多有一人入选 练习 例2 从数字1 2 5 7中任选两个 有不同的英文书5本 不同的中文书7本 从中选出两本书 1 若其中一本为中文书 一本为英文书 问共有多少种选法 1 可以得到多少个不同的和 2 可以得到多少个不同的差 2 若不限条件 问共有多少种选法 6个 12个 35种 66种 练习 例3 有12名划船运动员 其中3人只会划左舷 4人只会划右舷 其它5人既会划左舷 又会划右舷 现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛 有多少种不同的选法 有10名同学 5名会唱歌 7名会跳舞 现选唱歌和跳舞的各一名 有多少种选法 练习 例4 在 MON的边ON上有5个异于O点的点 OM上有4个异于O点的点 以这十个点 含O 为顶点 可以得到多少个三角形 1 如图 在以AB为直径的半圆周上有异于A B的六个点C1 C2 C3 C4 C5 C6 AB上有异于A B的四个点D1 D2 D3 D4 问 1 以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形 2 以图中12个点 包括A B 中的四个为顶点 可作多少个四边形 练习 2 如图两组平行直线有12个交点 平行线间距离相等 1 以这些平行线为边能组成多少个平行四边形 2 以这些交点为顶点能组成多少个三角形 3 平面M N M内有5个点 N内有4个点 任3点不共线 无其他四点共面 1 能组成多少条直线 2 三棱锥 3 四棱锥 M N 例题 1 求的值 2 求满足的x值 3 求证 4 求的值 161700 5或2 511 两个组合数性质 7 0 1 或3 5 求的值 1 2 3 4 练习 三 排列与组合综合应用 求证 证明 因为 左边 注意阶乘的变形形式 左边 评注 所以等式成立 例1 一 公式的应用 1 2 练习 例1 7个高矮不同的人站成一排 分别求下列的不同站法数 1 甲必须站中间 2 甲站左端 乙站右端 3 甲站乙的左边 4 甲不站左端 乙不站右端 5 甲 乙中间至少隔二人 6 最高的同学站中间 两边依次降低 二 捆绑法 插空法 组合法 比例法 7 甲 乙要相邻 8 甲 乙不相邻 9 甲 乙 丙都不邻 10 甲 乙要相邻 而与丙都不邻 11 甲 乙要相邻 甲与丙都不邻 12 甲 乙 丙顺序只能从左到右 13 甲乙丙顺序从左到右 丁在戊的左边 例2 如图 每个小矩形全等 只能沿着矩形的边沿行走 则从A到B的最短路径有多少条 A B E F G H 若菱形EFGH为一个水池 只能沿着其边缘沿行走 则从A到B的最短路径有多少条 例1 将如图的5个区域染色 要求相邻区域不同色 一个区域染一色 现有5种不同的颜色 有多少种方法 二 染色问题 例2 重庆卷16 某人有4种颜色的灯泡 每种颜色的灯泡足够多 要在如题 16 图所示的6个点A B C A1 B1 C1上各装一个灯泡 要求同一条线段两端的灯泡不同色 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种 用数字作答 216 例1 求由0 1 2 3 4 5组成无重复数字的四位数中 1 偶数个数 2 个位大于十位的个数 3 个位大于十位 十位大于百位的个数 4 比3021大的个数 例2 某天排语 数 外 史 生 体6节课 上午4节 下午2节 求下列条件下的排法数 1 第一节不排体育 最后一节不排数学 2 第一节不排体育 下午不排数学 3 语文 数学排相邻 三 分类法 特殊优先法 1 辽宁卷9 一生产过程有4道工序 每道工序需要安排一人照看 现从甲 乙 丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序 第一道工序只能从甲 乙两工人中安排1人 第四道工序只能从甲 丙两工人中安排1人 则不同的安排方案共有 A 24种B 36种C 48D 72种 B 练习 2 海南卷9 甲 乙 丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动 要求每人参加一天且每天至多安排一人 并要求甲安排在另外两位前面 不同的安排方法共有 A 20种B 30种C 40种D 60种 A 例1 6本不同的书 按下列要求各有多少种不同的选法 1 分给甲 乙 丙三人 每人2本 解 1 根据分步计数原理得到 种 四 不同小球分堆分配问题 例1 6本不同的书 按下列要求各有多少种不同的选法 2 分为三份 每份2本 解析 2 分给甲 乙 丙三人 每人两本有种方法 这个过程可以分两步完成 第一步分为三份 每份两本 设有x种方法 第二步再将这三份分给甲 乙 丙三名同学有种方法 根据分步计数原理所以 可得 因此 分为三份 每份两本一共有15种方法 所以 点评 本题是分组中的 均匀分组 问题 一般地 将mn个元素均匀分成n组 每组m个元素 共有 种方法 例1 6本不同的书 按下列要求各有多少种不同的选法 3 分为三份 一份1本 一份2本 一份3本 4 分给甲 乙 丙三人 一人1本 一人2本 一人3本 解 3 这是 不均匀分组 问题 一共有种方法 4 在 3 的基础上再进行全排列 所以一共有种方法 例1 6本不同的书 按下列要求各有多少种不同的选法 5 分给甲 乙 丙三人 每人至少1本 解 5 可以分为三类情况 2 2 2型 的分配情况 有种方法 1 2 3型 的分配情况 有种方法 1 1 4型 有种方法 所以 一共有90 360 90 540种方法 例2 1 四个不同的小球放入四个不同的盒中 一共有多少种不同的放法 2 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种 解 1 根据分步计数原理 一共有种方法 2 捆绑法 第一步 从四个不同的小球中任取两个 捆绑 在一起看成一个元素有种方法 第二步 从四个不同的盒中任取三个将球放入有种方法 所以 一共有 144种方法 练习 1 6个人分乘2辆车 每车至少坐2个人有多少坐法 2 5个不同的小球装入编号分别为1 2 3的三个盒子 每个盒子至少装1个 有多少装法 3 10个不同的小球装入编号分别为1 2 3的三个盒子 每个盒子装的球数不少于其编号数 有多少装法 思考 6本相同的书 1 分成三堆 每堆至少1本 有多少分法 2 分给3个人 每人至少1本 五 相同小球分堆分配问题 规律 n个相同小球装入m个不同盒子 1 不允许空盒 有多少种不同的方法 2 允许空盒 有多少种不同方法 例1 1 求x y z 10的正整数解的个数 2 求x y z 10的自然数解的个数 例2 已知字母均为自然数 求满足下列条件的有序数组的个数 1 2 例3 有10个运动员名额 再分给7个班 每班至少一个 有多少种分配方案 解 因为10个名额没有差别 把它们排成一排 相邻名额之间形成 个空隙 在 个空档中选 个位置插个隔板 可把名额分成 份 对应地分给 个班级 每一种插板方法对应一种分法共有 种分法 将n个相同的元素分成m份 n m为正整数 每份至少一个元素 可以用m 1块隔板 插入n个元素排成一排的n 1个空隙中 所有分法数为 例4 1 10个优秀指标分配给6个班级 每个班级至少一个 共有多少种不同的分配方法 2 10个优秀指标分配到1 2 3三个班 若名额数不少于班级序号数 共有多少种不同的分配方法 分析 1 这是同种元素的 不平均分组 问题 本小题可构造数学模型 用5个隔板插入10个指标中的9个空隙 既有种方法 按照第一个隔板前的指标数为1班的指标 第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标 以此类推 因此共有种分法 2 先拿3个指标分给二班1个 三班2个 然后 问题转化为7个优秀指标分给三个班 每班至少一个 由 1 可知共有种分法 注 第一小题也可以先给每个班一个指标 然后 将剩余的4个指标按分给一个班 两个班 三个班 四个班进行分类 共有种分法 例题解读 例5 马路上有编号为1 2 3 10的十盏路灯 为节约用电又不影响照明 可以把其中3盏灯关掉 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏 在两端的灯都不能关掉的情况下 有多少种不同的关灯方法 解 插空法 本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯 故所求方法总数为种方法 1 5个人分4张同样的足球票 每人至多分一张 而且票必须分完 那么不同的分法种数是 2 某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动 其中有2位同学要么都请 要么都不请 共有种邀请方法 3 一个集合有5个元素 则该集合的非空真子集共有个 4 平面内有两组平行线 一组有m条 另一组有n条 这两组平行线相交 可以构成个平行四边形 5 空间有三组平行平面 第一组有m个 第二组有n个 第三组有t个 不同两组的平面都相交 且交线不都平行 可构成个平行六面体 98 30 练习 6 高二某班第一小组共有12位同学 现在要调换座位 使其中有3个人都不坐自己原来的座位 其他9人的座位不变 共有种不同的调换方法 7 某兴趣小组有4名男生 5名女生 1 从中选派5名学生参加一次活动 要求必须有2名男生 3名女生 且女生甲必须在内 有种选派方法 2 从中选派5名学生参加一次活动 要求有女生但人数必须少于男生 有 种选派方法 3 分成三组 每组3人 有 种不同分法 36 45 280 8 九张卡片分别写着数字0 1 2 8 从中取出三张排成一排组成一个三位数 如果6可以当作9使用 问可以组