中山二中高二文科极坐标和圆的方程复习题题(人教B选修4.doc

中山二中高二文科极坐标和圆的方程复习题题（人教B选修4-4和必修二）一、选择题1将点P(2,2)变换为P(6,1)的伸缩变换公式为()A.B.C. D.解析：将点P(2,2)按伸缩变换：可得到点P(6,1)，故选C.2两直线sin ()2 011，sin ()2 010的位置关系是()A垂直 B平行C斜交 D以上都不正确解析：两直线方程可化为xy2 011，yx2 010，故两直线垂直3极坐标系中，曲线4sin 和cos 1相交于点A、B，则|AB|()A4 B5C2 D2解析：平面直角坐标系中，曲线4sin 和cos 1分别表示圆x2(y2)24和直线x1，作图易知|AB|2.4(2011年株州模拟)在极坐标系中，直线sin ()2被圆4截得的弦长为()A2 B2C4 D4解析：直线sin ()2可化为xy20，圆4可化为x2y216，由圆中的弦长公式得224.5极坐标方程4sin2 5表示的曲线为()A直线 B圆C椭圆 D抛物线解析：4sin2 422cos 5，化为直角坐标方程为22x5，化简，得y25x.故该方程表示抛物线6在极坐标系中，曲线C的方程是4sin ，过点M(4，)作曲线C的切线，则切线长为()A2 B3C2 D2解析：4sin 化为普通方程为x2(y2)24.而点M(4，)化为直角坐标为M(2，2)，由勾股定理，得切线长为2.即切线长为2.7在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为_解析：设圆上任一点的坐标为(，)则2cos ()，即2cos .8在极坐标系中，若A(3，)，B(4，)，则AOB的面积等于_解析：点B的极坐标是(4，)，在AOB中，SAOB|OA|OB|sin AOB34sin 3.9(2011年惠州模拟)已知直线的极坐标方程为sin ()，则极点到该直线的距离是_解析：极点的直角坐标为O(0,0)，sin ()(sin cos ).sin cos 1，化为直角坐标方程为：xy10；点O(0,0)到直线xy10的距离为d.即极点到直线sin ()的距离为.10(2009年高考上海卷)在极坐标系中，由三条直线0，cos sin 1围成图形的面积是_解析：将极坐标方程0， cos sin 1.化为普通方程为y0，yx，xy1，联立得交点(，)所围成三角形的面积为S1.三、解答题11在极坐标系中，已知三点M(2，)，N(2,0)，P(2，)(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上解析：(1)由公式：，可得M的直角坐标为(1，)，N的直角坐标为(2,0)，P的直角坐标为(3，)(2)kMN，kNP，kMNkNP，M、N、P三点在同一条直线上12求两个圆4cos ，4sin 的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系解析：xcos ，ysin ，x2y22，圆4cos 的直角坐标方程为x2y24x，即(x2)2y24.圆心坐标为C1(2,0)，半径r12，圆4sin 的直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)24，圆心坐标为C2(0,2)，半径r22，圆心距|C1C2|2，由于0|C1C2|0) (1)过极点,并且与极轴成角的直线的极坐标方程:=; (2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:cos=a; (3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:sin=a; (4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程: sin(-)=a.2、圆的极坐标方程(a0) (1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程: =a; (2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos; (3)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =; (4)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =2asin; (5)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =; (6)圆心在(a, 0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos(-0).3、极坐标系中的旋转不变性: 曲线f(,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转|角(时,按顺 时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.例4(1990年全国)极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线解:由已知极坐标方程及三角公式得:2(1-cos)=5, 2=2cos+5,由互化公式得2=2x+5,平方整理得 y2=5(x+),方程表示的曲线是抛物线,故选D.评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转 化为直角坐标方程来判断其曲线类型.类题:1(1991年三南)极坐标方程4sin2=3表示的曲线是 (A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 (答案:B) 2(1987年全国)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B) 3(2001年广东、河南)极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是(A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 (答案:D)4(2003北京)极坐标方程表示的曲线是(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 (答案:D)例5(1994年全国)极坐标方程=cos(-)所表示的曲线是 (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆 解:曲线=cos(-)=cos(-)是把圆=cos绕极点按逆时针方向旋 转而得,曲线的形状仍然是一个圆,故选D评述:把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦,利用旋转不变性则更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一条直线,方程=acos(-0)表示半径为, 圆心为(,0)的圆,要注意两者的区别.1x01x01x0x01例6(2001年全国)极坐标方程=2sin(+)的图形是 (A) (B) (C) (D)解:圆=2sin(+)是把圆=2sin绕极点按顺时针方向旋转而得,圆心的极坐标为(1,),故选C. 类题:1(2002江苏)极坐标方程与=的图形是0x0x0x0x (A) (B) (C) (D)(答案:B)2(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为(A) (B) (C)(D) (答案:B)三、判断曲线位置关系 例7(2000年京皖春)直线=和直线sin(-)=1的位置关系 (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合 解:直线sin(-)=1是把直线sin=1绕极点按逆时针方向旋转角 而得, 从而两直线平行,故选B. 评注:对直线sin(-)=1与直线sin=1的关系要十分熟悉.四、根据条件求直线和圆的极坐标方程 例8(2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是r=4cosq+6sinq，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(A) rsinq=3 (B) rsinq = 3 (C) rcosq =2 (D) rcosq = 2解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圆心为(2,3),所求直线方程为y=3,即rsinq=3,故选A. 评述:注意直线的直角坐标方程极易求出. 类题:1(1992年上海)在极坐标方程中,与圆=4sin相切的一条直线的方程是 (A) sin=2 (B)cos=2 (C)cos= 4 (D) cos=- 4(答案:B) 2(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_. (答案: sin=2)3(1994年上海)已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 (A)=1 (B)=cos (C)= (D)= (答案:C) 4(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 (A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1) (答案:C)五、求曲线中点的极坐标例9(2003上海)在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_.解:在直角坐标系中,A点坐标为(0,1),B在直线x+y=0上, AB最短,则B为,化为极坐标为.例10(1999年上海)极坐标方程52cos2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_. 解:由52cos2+2-24=0得52(cos2-sin2)+2-24=0化为直角坐标方程得,该双曲线的焦点的直角坐标为(,0)与(-,0),故所求 焦点的极坐标为(,0)、(,). 评述:本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识,掌握点的直角坐标与极坐标 的对应关系极为有用.例11(2001年京皖蒙春)极坐标系中,圆=4cos+3sin的圆心的坐标是 (A) (,arcsin) (B)(5,arcsin) (C)(5,arcsin) (D)(,arcsin)解:由= 4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-)(其中sin=) 所以所求圆心坐标为(,arcsin),故选A.类题：(2002上海)若A、B两点的极坐标为A(4,),B(6,0),则AB中点的极坐标是_.(极角用反三角函数值表示). 答案.()六、求距离例12(2007广东文)在极坐标系中，直线的方程为sin=3，则点(2,)到直线的距离为_.解: 将直线的极坐标方程sin=3化为直角坐标系方程得:y=3,点(2,)在直角坐标系中为(,1),故点(2,) 到直线的距离为2.评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化.例13(1992年全国、1996年上海)极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) (C) 1 (D) 解法一:两圆的圆心坐标分别为(,0)与(,),由此求得圆心距为,选D.解法二:将极坐标方程化成直角坐标方程得(x-)2+y2=与x2+(y-)2=, 由此求得圆心距为,选D.评述:本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解,一般理解者,化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案.例14(1997年全国)已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是_. 解法一:化直线方程为=,根据极坐标的概念极点到该直线的距离等于这个函数的最小值,当sin(+)=1时, 取最小值即为所求.解法二:对极坐标欠熟悉时,可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程x+y=1, 应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为.类题:1(2000年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线= 4cos于A、B两点，则|AB|=_. (答案:2)2(2004上海)在极坐标系中,点M(4,)到直线:的距离d=_. (答案:)七、判定曲线的对称性 例15(1999年全国)在极坐标系中,曲线= 4sin(-)关于 (A) 直线=轴对称 (B)直线=轴对称 (C) 点(2, )中心对称 (D)极点中心对称解:把圆= 4sin绕极点按逆时针方向旋转便得到曲线= 4sin(-)=, 知其圆心坐标为(2,),故圆的对称轴为=,应选B. 评述:方程表示的曲线是圆,为弄清轴对称或中心对称的问题,关键是求出其 圆心的坐标.八、求三角形面积ABOx例16(2006上海)在极坐标系中,O是极点，设点A(4,)，B(5,)，则OAB的面积是 .解:如图所示,在OAB中， 评述:本题考查极坐标及三角形面积公式.参考答案一、选择题 1.C 由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线2.B 对分类讨论得两种情况 3.C 4.A 5.C 直线的倾斜角为，得等边三角形6.B 7.B 二、填空题1. 设则2.； 曲线代表半圆3.4. 当时，最小，5. 设， （ 另可考虑斜率的几何意义来做）6 设切点为，则的方程为的方程为，则三、解答题1. 解：当时，表示的图形占整个图形的 而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 2. 解： 可看作点和 到直线上的点的距离之和，作关于直线 对称的点，则 3.解：设圆心为，而圆心在线段的垂直平分线上，即得圆心为，4.解：在中有，即当最小时，取最小值，而，谈圆与方程复习四大重点随着新课改的深入，解析几何的重点发生变化，直线与圆成为考查的热点。为帮助大家正确解决这一重点，下面分析圆与方程复习中的重点。重点一：圆方程的确立根据所给条件求圆的方程是高考的常考内容，常用方法是待定系数法，而用平面几何性质往往能化难为易，简化运算。例1、（2008天津）已知圆C的圆心与点关于直线对称直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_.解：设C（a，b），则，解得a0，b1，又圆心C到直线3x4y110的距离为3，故圆的半径为，所以圆的方程为 点评：在用待定系数法求圆的方程时，要善于根据已知条件来选择圆的方程。如果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，通常可采用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常采用圆的一般式方程。重点二：直线与圆位置关系解题策略直线与圆的位置关系在高考中经常出现，多以选择题、填空题的形式出现，解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往要充分利用平面几何中圆的性质使问题简化。1、直线与圆相切例2、由直线yx1上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）A、1 B、 C、 D、3解：如图所示，PMN中，MN为定值，则PM最小时，PN也最小。而当PM最小时，P为过M的直线yx1垂线的垂足，圆心（3，0）到直线yx1的距离为，圆的半径为1，则切线长最小值为，故选C.点评：本题考查圆的切线长，可构造直角三角形求解，对提高解题速度是相当有利的。2、直线与圆相交例3、（2008重庆）直线与圆相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线的方程为_.解：设弦AB的中点为P，圆心的坐标为C（1，2），则，故的斜率为1，所以直线的方程为xy10.点评：本题的求解利用了垂径定理，从而求出了直线的斜率。事实上，研究圆的问题，必须充分利用圆的性质，从而简化解题过程。重点三：圆中最值问题例4、（2008山东）已知圆的方程为设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）