正弦定理教学设计.doc

正弦定理教学设计坡头区第一中学 高一级 李湛伟一、教学内容分析“正弦定理”是普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人教A版）第一章第一节主要内容。正弦定理，是初中所学的“解直角三角形”内容的直接延拓,同时也是学生刚刚学习了三角函数知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用。本节内容是处理边角关系，和初中学习的边角关系有着密切联系，与已知三角形的边角相等判定三角形全等的知识也有着密切关系。作为解三角形内容的第一课时，本节课主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，让使学生参与到数学探究发现的过程中，培养学生提出问题、解决问题能力，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。二、学情分析学生在初中已经学习过解直角三角形，必修4的学习中，又了解了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量等内容已形成初步的知识框架。对解三角形有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，教师应恰当引导，提高学生学习主动性，联系之前学习的内容，把新旧知识连贯起来，引导学生直接参与分析问题、解决问题过程，并通过实际问题，从而激发学生学习数学解决实际问题的兴趣，为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。三、设计思想根据实际教学处理，本节课采用探究式课堂教学模式，根据教师引导，学生自主探究和交流合作，拟分三步走：第一步教师通过引导学生对实际问题的探索，通过观察讨论，大胆提出猜想；第二步由猜想入手，带着疑问，以及对特殊三角形中边角的关系的验证，通过“等高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性；第三步是利用正弦定理解决一些简单的应用。通过本节课的学习，让学生充分体会“观察实验猜想证明应用”这一思维方法过程。四、教学目标知识目标： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。能力目标： 通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题的能力，通过团结协作，师生双边活动，初步培养学生运用旧知识探究新知识的能力，培养学生加强理论联系实际的能力。情感目标: 通过我们教学活动中体现的数学与现实生活的联系，引导学生从现实的生活经历和体验出发，激发学生学习兴趣。五、教学重点与难点教学重点： 正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点： 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。六、教学过程设计一、导入新课：1. 回顾：在初中的时候，我们学过了解直角三角形，那么在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2 . 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ 3. 师生活动：（几何画板） 师：如右图，固定的ABC 的边CB及，使边AC绕着顶点C转动。 思考：的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 生：显然，边AB的长度随着其对角的大小的增大而增大。 师：能否用一个等式把这种关系准确表示出来呢？ 师：在初中，我们已经学习过了解直角三角形，那么我们先来探讨直角三角形中边角关系二、推进新课：1. 教学正弦定理的推导：特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA= sinB= sinC=1 即c=.那么，我们一起来探讨一下，这一结论是否可以推广到任意的三角形呢?证明方法：等高法:（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）acDC1.当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有,则. 同理， (思考如何作高？），从而. bBACBADabc2.当ABC是钝角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有,又,即. 同理， (思考如何作高？），从而.其它证法：等积法 在任意斜ABC当中SABC=. 两边同除以即得：=.外接圆法：如图所示，AD，同理 =2R，2R.向量法： 过A作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若过C作垂直于得： = = 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用（解三角形）： （根据正弦公式，分析三边，三角的关系，确定知三求三类型）1.已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；2.已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.三、应用示例：例1：在中，已知，c= 10，解三角形. 分析:已知条件 讨论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两角一边例2:在中，已知，a=，c= 1，解三角形 分析:已知条件 讨论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两边及一边对角 变式1：在中，已知a=，b=，解三角形 分析:与上式解法一致，解得或，检验两个答案都成立，即上式有两解变式2：在中，已知a=，b=，解三角形分析:与上式解法一致，解得或，检验两个答案都不成立，即上式有零解讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？ 经学生讨论观察，得到以下的两个判断方法：1. 大边对大角，小边对小角2. 三角形内角和为巩固练习：1.已知ABC中，A=60，求.四小结与作业1.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 2.作业：课本P4 练习1 (1)，2（1）五课后知识合作探讨：一（名师一号P1-2）中，已知及锐角，则、满足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解？（见图示）:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:二小组活动（教师统一打印）实验报告单组长:组员：试验目的研究三角形各边和它对角的正弦值的比(，)是否相等。实验器材计算器，直尺，量角器，硬纸板实验方法画一个任意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。实验内容三边：a= b= c= 三角：A= B= C= 计算：= = = （精确到小数点后两位）结论：七、教学反思作为一节合作探究课，把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。利用几何画板展现并观察边角关系，引导学生发现三角形三边与其对应角存在着关系；通过对特殊三角形，即直角三角形的验证，大胆猜想正弦定理对任意三角形成立；接着运用不同方法证明这个定理。定理的发现和探讨过程中，使学生参与到创新过程，学生成为课堂学习的主人，激发学生学习数学的兴趣，让学生深切体会“观察实验猜想证明应用”这一数学思维方法过程。本节课的设计是一个课时，教学内容上偏多，为了