北师大版必修一 集合中子集个数与元素个数问题 课件(13张）.pptx

集合中子集个数与元素个数问题 集合中子集个数问题 一般地 若一个集合中有n个元素 那么它有2n个子集 有2n 1个真子集 有2n 2个非空真子集 解题方法 集合中元素个数问题 card a b card a card b card a b card a b c card a card b card c card a b 一 计数公式法 对任意有限集合a b c有 二 韦恩图法 当集合元素个数较少而不具体时 利用集合间的关系画出韦恩图 设出适当的未知数 建立方程解决实际问题 解题方法 card a c card c b card a b c 被加了两次 被加了三次被减了三次 例1 已知集合a满足3 4 a 0 1 2 3 4 求满足条件的集合a的个数 思路点拨 只需集合a是集合0 1 2的子集即可 集合0 1 2中含有3个元素 其子集个数为 满足条件的集合a有8个 在讨论中将这些元素当作已知 注意到所求集合中始终含有的元素 将问题转化为剩余元素的子集个数问题 集合a中始终包含元素3 4 3 4 a 又集合a是集合0 1 2 3 4的子集 23 方法归纳 若集合a的元素个数是a 集合b的元素个数是b b a 则满足条件a m b的集合m的个数是2b a 集合中子集个数问题 变式 设集合a 1 2 3 4 则满足a b 1 2 3 4 5的集合b的个数是多少 且集合b中不能含有1 2 3 4以外的元素 5 b 5 b a b 1 2 3 4 5 a 1 2 3 4 只需集合b是集合1 2 3 4的子集即可 集合1 2 3 4中含有4个元素 其子集个数为24 16个 满足条件的集合b有16个 集合中子集个数问题 方法归纳 解决这类题的关键是发现集合b中元素的特征 找到问题的实质 1 2 3 4 5 25 1 16 例2 已知集合m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 集合p满足p m 且若a p 则10 a p则这样的集合p有几个 满足条件的集合p的个数为32个 若1 p 在各组数中各抽出一个代表 则9 p 反过来 则1 p 因此1和9要么都在集合p中 要么都不在集合p中 要么都在集合p中 要么都不在集合p中 原问题就等价于求集合1 2 3 4 5的子集个数 若9 p 同理2和8 3和7 4和6 与5一起组成集合 p m 集合1 2 3 4 5的子集个数为25 方法归纳 掌握将不熟悉的问题转化为熟知的问题这种思维方式 集合中子集个数问题 1 2 3 4 5 例3 学校先举办了一次田径运动会 某班有8名同学参赛 又举办了一次球类运动会 这个班有12名同学参赛 两次运动会都参加的有3人 两次运动会中 这个班共有多少名同学参赛 思路点拨 运用有限集并的元素个数计数公式进行求解 设a 田径运动会参赛的学生 b 球类运动会参赛的学生 则a b 两次运动会都参赛的学生 a b 两次运动会中所有参赛的学生 card a b card a card b card a b 8 12 3 17 两次运动会中 这个班共有17名同学参赛 集合中元素个数问题 方法一 例3 学校先举办了一次田径运动会 某班有8名同学参赛 又举办了一次球类运动会 这个班有12名同学参赛 两次运动会都参加的有3人 两次运动会中 这个班共有多少名同学参赛 思路点拨 设a 田径运动会参赛的学生 b 球类运动会参赛的学生 集合中元素个数问题 利用集合间的关系画出韦恩图 把各部分都标上数据 通过四则运算得解 a b a b 两次运动会中 这个班共有17名同学参赛 图中相应于a b的区域里先填上3 card a b 3 在a中不包括a b的区域里填上5 在b中不包括a b的区域里填上9 3 5 9 carda card a b cardb card a b card a b 5 3 9 17 方法二 例4 某班共30人 其中15人喜爱篮球运动 10人喜爱兵乓球运动 8人对这两项运动都不喜爱 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数是多少 思路点拨 a 篮球 b 乒乓球 a b 设两者都喜欢的人数为x人 则只喜爱篮球的人数是 只喜爱乒乓球的的人数是 15 x 10 x x 8 30 x 3 班级总人数为30人 设a 喜爱篮球运动的学生 设b 喜爱兵乓球运动的学生 x 15 x 10 x 8 设u 某班的所有学生 u 某班所有学生 两项运动都不喜爱 集合中元素个数问题 利用集合间的关系画出韦恩图 设出适当的未知数 建立方程解决 只喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数是 12 15 x 10 x 12人 例5 某班有49名同学 参加数学 物理和化学课外小组的人数分别为28 25 15 每人至少参加一项 同时参加数学和物理小组的有8人 同时参加数学和化学小组的有6人 同时参加物理和化学小组的有7人 求同时参加数学 物理和化学小组的人数 设a 参加数学小组的学生 b 参加物理小组的学生 c 参加化学小组的学生 card a b c 则card a 28 card b 25 card c 15 card a b 8 card a c 6 card c b 7 card a b c 2 card a b c 49 49 28 25 15 8 6 7 card a b c 集合中元素个数问题 card a c card c b card a b c card a card b card c card a b 同时参加数学 物理和化学小组的人数是2人 方法一 例5 某班有49名同学 参加数学 物理和化学课外小组的人数分别为28 25 15 每人至少参加一项 同时参加数学和物理小组的有8人 同时参加数学和化学小组的有6人 同时参加物理和化学小组的有7人 求同时参加数学 物理和化学小组的人数 a 数学 b 物理 c 化学 集合中元素个数问题 设同时参加数学 物理和化学小组的人数为x人 则只参加数学 物理 没参加化学的人数是 14 x 8 x 10 x 6 x x 7 x 2 x 49 2 3 1 4 5 7 6 x 8 x 6 x 7 x 14 x 10 x 2 x 只参加数学 化学 没参加物理的人数是 只参加物理 化学 没参加数学的人数是 只参加数学的人数是 28 8 x x 6 x 14 x 8 x 6 x 7 x 只参加物理的人数是 25 8 x x 7 x 10 x 只参加化学的人数是 15 6 x x 7 x 2 x x 2 同时参加数学 物理和化学小组的人数是2人 方法二 归纳总结 集合中子集个数与元素个数问题 2 根据交 并 补