数学论文极值与最值.doc

目录摘要1引言2一、极值与最值及其相关概念2（一）极值与最值的概念2（二）极值与最值的联系3（三）极值与最值的区别4（四）极值的必要条件和充分条件及其证明4二、极值与最值的名人成就7三、极值与最值问题在数学中的求法及应用10（一）极值与最值的求法10（二）高中求极值最值的方法应用12（三）多元函数的极值与最值13（四）极值与最值在高等数学中的应用15（五）条件极值的解法16（六）多元函数的极值、条件极值和最值的关系17四、极值与最值的实际应用19（一）极值与最值在经济学中的应用19（二）极值与最值在物理中的应用21小结22参考文献23极值与最值的解法与应用徐慧敏 (渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)摘要：本文首先对极值和最值的概念做了细致的解释，得知了两个概念的异同点，给出函数取得极值与最值的条件，同时对函数取得极值的必要条件进行了解和对充分条件加以证明。然后对极值与最值的历史背景进行了简单阐述。最后介绍了极值与最值问题在数学中的求法及应用。通过例证让我们了解到了我们学习中会遇到的问题，也有实际生活中的问题。当然我们研究的目的还是希望学以致用，本文最后深入到不等式的证明问题以及经济学中的问题，用基本的极值与最值理论作为指导进行分析和解决。关键词：函数 极值 最值 费马定理 方法 应用Function of Solving Extreme Value and Maximum Problem Xuhuimin (Department of Mathematics Bohai university liaoning jinzhou 121000 China) Abstract:In this paper, first, the concept of value and the most extreme did meticulous explanation, learned the differences and similarities between two concepts, give function getting solving extreme value and maximum of conditions, at the same time for function getting the extremum of necessary conditions for understanding and sufficient conditions to prove it. Then for solving extreme value and maximum of historical background of a simple elaboration. At last, the paper introduces the problems in solving extreme value and maximum in mathematics method and application. Through some examples to let us know about our study will meet problem, also have the problems of the real world. Of course, we study the purpose of application, and in the end the paper still hope into the inequality proof problems and in economics problems, with basic solving extreme value and maximum theory as guidance are analyzed and solved. Key words: function，Extreme value, Most value，Fermats principle，Method, Application. 引言在各门科学数学化的趋势下，数学作为科学语言具有重要地位，数学因其本身所具有的特点，内容的抽象性，推理的严谨性，结论的明确性和应用的广泛性，正在而且将继续为人类的物质文明和精神文明飞跃作出越来越大的贡献。这一点在数学这门学科的重要内容求极值和最值上体现得淋漓尽致。极值和最值是数学教学中的重要概念，正是因为它们是某个局部或是整个区域的特殊值，在实际应用中更具有实际意义，因此在实际问题和生产实践中应用非常广泛。所以，掌握求极值和最值的方法能提高自己对实际问题的理解能力进而提高应用所学知识解决实际问题能力。对于一位立志在自然科学研究上有所建树的学者而言，对极值和最值的求法的研究的重要性是不言而喻的所以，研究和掌握好基础的数学理论和方法是非常重要的，非常实用的。既然前人为我们创造了方便，我们就要在前人的基础上继续研究和创造，为我们的生活带来方便，那么我们就先从前人的研究中来继续创造吧！一、极值与最值及其相关概念（一）极值与最值的概念极值的定义(一元) 设函数在点的某一邻域内有定义，为该邻域内异于的任一点，若恒有 (或)，则称为的极小值(或极大值)。极大值与极小值统称极值，使函数取极值的点称为极值点。 极值的定义(二元) 设函数在点某邻域U(p0)内有定义，若对于任何点,成立不等式 (或)，则称函数在点取得极大(或极小)值，点称为的极大(或极小)值点。极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。最值的定义(一元) 设为定义在上的函数，若存在，对一切，有（）,则称在上有最大(小)值，并称为在上的最大(小)值。最值的定义(二元) 设为定义在区域上的函数，若存在，对一切,有 (),则称在上有最大(小)值，并称为在上的最大(小)值。（二）极值与最值的联系定理（1）：若在区间上连续，并且在上仅有唯一的极值点，则当是的极大（小）值点时，必是的最大（小）值点。证：（反证法）假设不是的最大值点，即，使得，不妨设，则因为是唯一的极大值点，所以，使得当时，有。由于上有最小值，又因为，所以在内取到，即，使得，从而，有，即为的极小值点且，但这与已知条件相矛盾，故必是的最大值点。定理2：如果函数的最值不在定义区间的端点取得，并且这函数在其定义区间上的任何微小邻域内都不为定值，则最值必定是极值。（三）极值与最值的区别（1）极值点必须是定义区间的内点，而最值点可以是定义区间上的任意的一点。当定义区间为闭区间时，最值点可以是区间的端点，而极值点不能为区间的端点。（2）最值反映的是函数在整个定义区间或定义域上的整体性质，而极值反映的只是函数在定义区间的内部某个任意小的邻域内的局部性质。（3）作为函数的极值，必须比在附近所有各点的函数值都大或都小，而不能彼此相等。作为的最值，只需不小于和不大于定义区间上所有各点的函数值，可以相等。此外，由于函数的极值与最值的区别，使得它们还有着许多不同的性质：（1）如果函数在某个区间上有定义，且有最大值（或最小值），则最大值（或最小值）是唯一的。（2）如果函数在某个区间上有定义，且有极大值（或极小值），则极大值（或极小值）不一定是唯一的。（3）如果函数在某个区间上有定义，且有最大值和最小值，则最大值必定不小于最小值。（4）函数可以有最值而无极值；函数也可以有极值而无最值。（四）极值的必要条件和充分条件及其证明1、一元函数取极值的充分、必要条件极值的必要条件 若函数在点处可导，且在处取得极值，则，即可导函数的极值点必为驻点。极值的第一充分条件 设在点处连续，在内可导。 (i)若当时, ,当时，则在取得极大值；(ii)若当时，,当时，,则在取得极小值。极值的第二充分条件 设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且, 。(i)若,则在取得极大值；(ii)若,则在取得极小值。极值的第三充分条件 设在的某邻域内存在直到阶的导数，在处阶可导，且 , ,则(i)当为偶数时，在点取得极值，且当时，在取得极大值；当时，在取得极小值；(ii)当为奇数时，在点处无极值。2、二元函数取极值的充分、必要条件极值的必要条件 若函数在点存在偏导数，且在点取得极值，则有，即极值点必为的驻点。极值的充分条件 设在点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且，若,则是的一个极值点。,(或)，则为极小值点；若 (或)，则为极大值点。3、极值充分条件的证明（1）极值第一充分条件的证明： (i)由定理的条件及可导函数单调递增(递减)的充分条件，在内递增，在内递减，又由在处连续，故对任意,恒有，即在取得极大值。(ii)同理可得(ii)。在内递减，在内递增，又由在处连续，对任意，恒有,即在取得极小值。 （2）极值第二充分条件的证明：设函数在处带皮亚诺余项的泰勒公式，由于，所以 (1)这里为时的无穷小量，因而存在，当时与具有相同的符号，故当时，(1)式右端取负值，从而对任意，有,即在取得极大值。同样当时，(1)式右端在时有，即在取得极小值。 （3）极值的第三充分条件的证明：由所给条件及泰勒公式我们有 或 (1)其中为当时的无穷小量。因为由极限的保号性定理，正数,当时，与同号。1)当为偶数时，恒有，故若时，则对一切 有，于是在取得极大值。当时，对一切有，于是在取得极小值。2) 为奇数时，在的任一邻域内，当时，当时，而(1)式右端第一个因子当在内取值时不改变正负号，于是(1)式左端的差，当由小于变成大于时改变了正负号。即在的任一邻域内有大于的值，也有小于的值。因此在点处不可能取得极值。 有了以上的判别条件，我们就可以根据不同的题目来利用不同的条件，从而求出极值。 二、极值与最值的名人成就 前面的关于极值和最值的概念和性质都是由费马早在几百年前的研究得来的，所以我们在研究极值和最值的时候不得不提到费马。 费马和笛卡尔是解析几何的两位创始人，而微积分的得出都是与几何相关的，所以费马也可以说是微积分学得先驱者之一。同时他也是将坐标方法引进无限小问题尤其是微分学问题研究的先锋。他著有著名的求极大值与极小值的方法。那么我们就来了解一下费马在这本书中求极值的理论。他在求极大值和极小值时的全部理论以两个未知的量和下列法则为基础： 设是问题中的任一未知量(它是一维、二维或三维的量，视问题提法而定)。让我们用包含的任意次幂的诸项来表示极大量或极小量。现在用代替原来的未知量，另用包含和的任意次幂的诸项表示极大量或极小量。然后使这两个极大量或极小量表示式相逼近并消去公共项。这时可以看出两边都含有或其幂的项，用或的高次幂除各项，使从这些项的至少一项中消失，然后舍弃所有那些仍然出现的项，使两边的剩余项相等，或者若两式之一已化为零，则使另外式中的正项等于负项也一样。最后这个方程的解所产生的值，代入原来的表达式就可得出极大值或极小值。这里举一个例子：将线段在点分为两部分(图1)，使取最大值。记，设是两线段之一，另一线段将为，它们的积将是，我们要求的就是这个积的最大值。现在设的第一条线段为，第二条线段将为，它们的积将为；这个表达式必须逼近前一个表达式，消去公共项，再消去得。为了解决所提问题，最后必须取为的一半。 费马把韦达的代数理论应用到帕普斯数学问题中的一个问题，便得到了求最大值最小值的方法。他在求极大值和极小值的方法中就是用上面的例子加以说明的。费马认为这个方法有普遍的适用性。他说：“如果是自变量，并且如果增加到，则当变成无限小，且当函数经过一个极大值(或极小值)时，函数的前后两个值将是相等的，把这两个值等同起来，用除方程，然后使消失，就可以从所得的方程确定使函数取最大值或最小值的值。这个方法实质上是他用来求曲线的切线的方法，但是求切线时基于两个三角形相似，而这里是基于两个函数值相等。遗憾的是，费马对于他的方法从来未从逻辑上作过清楚和全面的解释，因此对于他究竟是怎样考虑这个问题的，一些数学史专家曾经产生过争论。费马没有认识到有必要去说明先引进非零，然后用通除之后，令的合理性。但从这里我们可以看出，费马这种求极值的方法已非常接近微分学的基本观念了。如果用现代的记号，他的规则可以表述如下：欲求 (费马先取个别的整有理函数)的极值，先把表达式按照的乘幂展开，弃去含的各项，命所得的结果等于零，再求出方程的根，便是可能使具有极值的极值点。他的方法给出了(可微函数)极值点x所能满足的必要条件。费马还有区分极大值和极小值点的准则，即现在所谓的“二阶导数准则”（有极大值，有极小值），尽管他没能系统的研究拐点()，但也得到了求拐点的一种法则。费马的一个重要研究关于极值在物理中的应用非常著名并且应用广泛，那就是著名的“费马定理”。费马定理亦称“地震波传播的最小行程原理”。在各向同性的连续介质中，地震波沿时间为极值的路径传播。是法国数学家、物理学家费马提出的光波传播的最短时间路程原理在地震学中的应用，故名。当地震波以波速沿射线传播，则波从 传到所需要的时间为 式中为表达射线的参变量， ， ，费马原理归之为泛函极值问题，其变分形式为 函数满足欧勒方程，即为所求极值函数。费马原理是研究地壳及地球内部构造的地震学方法中的基本原理之一，对任何类型波的传播均适合。在认识了极值与最值名人成就之后，我们会发现研究极值与最值的重要性，对我们日常生活中带来的方便，所以我们必要继续研究和发掘。下面就来继续研究极值与最值问题在数学中的求法及应用。三、极值与最值问题在数学中的求法及应用（一）极值与最值的求法1、一元函数的极值与最值极值与最值的区别：极值是指在函数某一点邻近的最值，它是有局部性的，而最值具有整体性，是就函数在某一区间而言的最大、最小值。设定义域为。（1）求极值的步骤：(i) 求，并求出在内使=0和使不存在点，设为； ；(ii) 用某个极值的充分条件来判别所求点xi是否为极值点；(iii) 若为极值点，则为极值。(2) 求最值的步骤：(i) 求，并求出在内的所有驻点和使不存在的点；(ii) 计算出步骤(1)中所得到的各点的函数值及；(iii) 比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。若为依据实际问题建立的函数关系，它在或上是可微的，且在内只有一个驻点，则即为所求的最大(最小)值。例1 已知，则处。.导数存在且 .取极大值. 取极小值 .导数不存在解：因为没有告知可导，所以要判别其极值只有用定义由，根据极限定理，使当，有 ，于是，故为的极大值，即()入选。 例2 试求函数的极值。解：由于，所以，是函数的驻点求的二阶导数为：，由此得，所以在时取得极小值，求三阶导数得 ， ，由极值的第三充分条件，为奇数，所以在不可能取得极值。求四阶导数得，由极值第三充分条件为偶数，故在时取得极大值。综上所述，当时，取得极大值，当时，取得极小值驻点不是的极值点。 例3 求函数在上的最大值与最小值。解：函数在闭区间上连续，故必存在最大最小值。由于在内，的驻点为不可导点为由于, , ,比较可得在处取得它在上的最大值，在和处取得它在上的最小值。 (二)高中求极值最值的方法应用1、应用重要不等式求极值例4 设正数满足，求的最小值。解 为便于应用条件，将函数式平方得即舍去)，当且仅当时，的最小值为。注 本题应用了基本不等式，在应用它或均值不等式求最值时，为使用条件，应根据函数式的特点灵活处理，本题若不将函数式平方，则难以求解。2、应用换元法求最值例5 设是四个不同的实数，使得，且求的最大值。解 设，由，得，问题转化成在约束条件下求的最大值。又设，则。当时，。时，。又由，知不同号(否则有)。不妨设，则，。当且仅当，时等号成立。特别地，当时等号成立，故所求的最大值为。通过适当换元，将原问题变为一个较易解决的问题，是极为重要的转化手段，这在求条件最值中也很有用。作何种代换，都应根据问题的特点灵活选取。（三）多元函数的极值与最值下面我们就以二元函数为例来讨论多元函数的极值与最值问题。在求多元函数极值时，一般涉及两种条件下的情况，一种是无条件极值，一种是条件极值。无条件极值问题函数中的自变量只受定义域约束的极值问题。条件极值问题函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。1、无条件极值解决方法：(1)利用二阶偏导数之间的关系和符号判断是否取极值及极值的类型。具体步骤为：(i）求的偏导数与，；(ii）由取得极值的必要条件，解方程组，得出驻点；(iii）再求出二阶偏导数，利用取得极值的充分条件来判断上述驻点是否是极值点及极值的类型。(2)配方法：适用于多项式或类似于多项式的函数类型，常用方法(1)无法解决的问题。这类题通常会给出一个等式，等式中含有几个未知量，而其中一个未知量由另外几个未知量确定。(i)先配方，再导出被确定未知量的含有其余未知量的表达式；(ii)求出在被确定的未知量达到极值时其余未知量的值；(iii)将由得出的值带入表达式中，得出极值。例6 求由方程确定的函数的极值。解法一：将原方程的两边分别对,求偏导，得 (1)由函数取极值的必要条件： （2）将(2)代入式(1)解得,为驻点，将(1)的两个方程分别对求偏导，得p (3)p， p=因为 ，所以p取极值。将,代入原方程，得,，把代入(3)，= ，故为极小值，把故代入式 (3)z=6-， 故为极大值。解法二：配方法 原方程变形为于是，显然，当时，根号中的极大值为，由此可知为极值，为极大值，为极小值（四）极值与最值在高等数学中的应用 1、极值与最值在不等式证明中的应用 例7 设，证明不等式证明：，当时，只有一个零点，有，说明在上仅有唯一的极值。且又为极大值，因而也是在上的最大值，又由于，故有。2、极值与最值在三角函数中的应用例8 求函数的最大值和最小值。解 令 ，则 ，所以 。当时，有最大值即当时，有最小值。（五）条件极值的解法：1、化为无条件极值问题，在依据无条件极值的解题步骤来解题。2、更一般的是利用拉格朗日乘数法求解下面以二元函数为例.在约束条件下，如果目标函数的最大（小）值是存在的，那么可按下述步骤来求其最大（小）值.（1）写出辅助函数 ，其中 是一个待定的常数，称为拉格朗日乘数.（2）求出辅助函数的偏导数：和.（3）求出满足方程组的所有解.（4）分别求出目标函数关于这些点的函数值，这些值中最大或最小的，就是在约束条件下，的最大值或最小值例9 求函数在约束条件和下的最大值和最小值。解：本题求多元函数的条件极值，利用拉格朗日乘数法求解令联合和解之得驻点又 故所求的最大值为，最小值为（六）多元函数的极值、条件极值和最值的关系在讲到多元函数的微分法的应用方面都列举了多元函数的极值、条件极值和最值的有关理论和例题，至于三者的关系很少谈起，下面我们就此问题浅谈一下。定理1（极值与条件极值的关系）：设定义在开区域内，表示一条平曲线，且，若在点处有极值，且，则也是，在条件下的条件极值，反之不真。定理2（极值与最值的关系）：假设，在开区域内有有限个极值，且在内有最大值和最小值，则最大值和最小值就是极值中的最大值和最小值。定理3 （极值、条件极值和最值的关系）：设在开区域上定义，区域的边界是一条平面曲线（它可以是一条闭曲线也可以是几条曲线组成的闭曲线）。则函数在上的最大、最小值是函数内的极值和函数在条件 下的条件极值中的最大、最小值。了解了三者的联系，那么我们来用定理3求函数的最值例10 研究函数 在区域：上的最值。解：由于在闭区域，且函数在上连续，所以最值存在。根据定理3我们有得,但原点不属于区域，所以，在内函数没有极值。再设有即 由于无意义，得，代入到中得于是得。例11 设的三个顶点分别为。在所围的区域上，求出三个顶点距离平方和最大和最小的点。解：设点是要求的点，它到三个顶点的距离平方和为由于在闭区域上连续，故最大、最小值存在。首先，求在内的最值 因为故得。其次，再求在三条边上的条件极值在边上，有，易知当时即在点处有最大值，类似的，在边上，当时（即在处）有在边上，有，设于是有 ，解方程组 得将代入中得综上所述，知点到三顶点距离平方和最小，两点到三顶点距离平方和为最大，且这最小、最大值分别为。四、极值与最值的实际应用（一）、极值与最值在经济学中的应用经济学是与数学密不可分的学科，好多经济中的问题往往是先用经济的理论与方法分析问题，最后都归结到数学上来。求解经济问题的关键是理解经济函数的定义，掌握相关经济函数的边际和弹性的概念，在解决最值问题时搞清目标函数，然后利用函数求最值的步骤、方法求解。例12 某商场购进一批单价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数(件)是价格(元/件)的一次函数。(1) 试求与之间的关系式。(2) 在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少(总利润=总收入总成本)?解 (1) 由每月销售件数(件)是价格(元/件)的一次函数，设,依题意，得 解得所以 .(2) 设销售价格定为时，由总利润=总收入总成本，得每月获得利润为所以，当时，每月获得利润有最大值，最大值为元。例13 生产某产品必须投入两种要素,和 分别为两要素的投入量，为产出量，若生产函数为其中,为正常数 ，且 ，假设两种要素的价格分别为 和，试当问产出量为时，两要素各投入多少可使得投入总费用最少？思路探究：该题为条件极值的实际应用题，应用拉格朗日乘数法求解，即在产出量 的条件下，求投入总费用的最小值。解：做拉格朗日函数 令 由（1）和（2）得 将 代入（3）得 因为，所以同理 因为驻点唯一，且实际问题存在最小值，故当，时投入总费用最少。 （二）、极值与最值在物理中的应用例14 某工厂用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？解：设水箱的长为,宽为，则其高应为，此水箱所用材料的面积=，即=可见材料面积是和的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值得点令 解这方程组，得根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区间内取得,又函数在内只有唯一的驻点因此可