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文档简介
一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设,为n阶方阵,满足等式,则必有( )(A)或; (B); (C)或; (D)。2、和均为阶矩阵,且,则必有( )(A) ; (B); (C) . (D) 。3、设为矩阵,齐次方程组仅有零解的充要条件是( )(A) 的列向量线性无关; (B) 的列向量线性相关;(C) 的行向量线性无关; (D) 的行向量线性相关.4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是( )(A) 的秩小于; (B) ;(C) 的特征值都等于零; (D) 的特征值都不等于零;二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)5、若4阶矩阵的行列式,是A的伴随矩阵,则= 。6、为阶矩阵,且,则 。7、已知方程组无解,则 。8、二次型是正定的,则的取值范围是 。三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。写出证明过程)11、若向量组线性相关,向量组线性无关。证明:(1) 能有线性表出;(2) 不能由线性表出。12、设是阶矩方阵,是阶单位矩阵,可逆,且。证明(1) ;(2) 。 五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)13、设,求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知,是它的三个解向量,且,求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C; 2、D; 3、A; 4、A。二、填空题5、-125; 6、; 7、-1; 8、。三、计算题9、解:第一行减第二行,第三行减第四行得:第二列减第一列,第四列减第三列得: (4分)按第一行展开得按第三列展开得。 (4分)10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子,再通过行列式的变换化为上三角形行列式 (4分) (4分)四、证明题11、证明:(1)、 因为线性无关,所以线性无关。,又线性相关,故能由线性表出。 (4分),(2)、(反正法)若不,则能由线性表出,不妨设。由(1)知,能由线性表出,不妨设。所以,这表明线性相关,矛盾。 12、证明 (1) (4分)(2)由(1)得:,代入上式得 (4分)五、解答题13、解:(1)由得的特征值为,。 (4分)(2)的特征向量为,的特征向量为,的特征向量为。 (3分)(3)因为特征值不相等,则正交。 (2分)(4)将单位化得, (2分)(5)取(6) (1分)14、解:该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的基础解系。 (5分)另一方面,记向量,则直接计算得,就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知,原方程组的通解为,。 (7分)15、解:将与联立得非齐次线性方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: . (4分)1当时,有,方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解,此时,则方程组为齐次线性方程组,其基础解系为
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