数学人教版九年级上册一元二次方程根与系数的关系教学设计.doc

一元二次方程根与系数的关系教学设计一、教学目标1.知识：理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根x1，x2与 系数a、b、c之间的关系。2.能力：能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出 方程的另一根，以及方程中的未知。 会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。3.情感：在推导过程中，培养学生“观察发现猜想证 明”的研究问题的思想与方法。 二、学情分析1本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。2学生已学习过用求根公式法解一元二次方程。3结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。二、教学重难点1、重点 ：根与系数的关系的推导 ，一元二次方程根与系数的关系的简单应用2、难点：正确理解根与系数的关系三、教学过程数学活动一:设x1、x2为一元二次方ax2+bx+c=0(a0， b24ac0)的两个实数根，根据已学知识，说出x1、x2与a、b、c之间的系。1、由根的定义可得什么？2、由求根公式可得什么？（1）ax12+bx1+c=0 ax22+bx2+c=0(2)数学活动二:二次项系数为一的一元二次方程根与系数关系的探索。 从一般到特殊，从下列方程： (1) X2-x-6=0 (2) x2+3x-10=0 (3) x2+5x+4=0 找出x1、x2与方程系数之间的关系。交流展示（1）得出：x1+x2=-p,x1x2=q（2）获取知识的过程，情感体验。 数学活动三二次项系数不为一的一元二次方程根与系数关系的探索。探究下列方程x1、x2与方程系数之间的关系：（1）2x2+5x-3=0 （2）6x2-13x-5=0交流展示（1） （2）数学活动四探究所得结论的证明设x1、x2为方ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根，证明：交流展示（1）利用求根公式证明：（学生完成）（2）证明：当x1x2时（由根的定义）当x1=x2时：. (3)归纳结论，语言叙述。数学活动五根与系数关系的应用（一）（1）例1：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求方程的另一个根。（2）例1变式：已知方程5x2-7x+k=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。（3）通过变式，归纳题型，再由小组编题。交流展示（1）归纳题型：（2）各个小组题目交流。数学活动六根与系数关系的应用（二）例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根的 （1）平方和 （2）倒数和 ；变式求x1x22+x2x12的值；发现所求式子的共同特征，归纳题型。交流展示归纳对称式，指出非对称式一般不能利用根与系数的关系求值。根与系数的关系的逆应用 如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的两根为x1，x2，那么反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根(1)求作新的二次方程例: 已知方程2x2-9x8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方解 设x1，x2为方程2x2-9x8=0的两根，则设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x1，x2，据题意有故所以，求作的方程是36x2-161x34=0(2)证明等式和不等式例: 已知实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y证 因为xy=6，xy=z29，所以x，y是二次方程t2-6t+(z2+9)=0的两个实根，于是这方程的判别式=36-4(z2+9)=-4z20，即z20因z为实数，显然应有z20要此两式同时成立，只有z=0，从而=0，故上述关于t的二次方程有等根，即x=y课堂练习1、下列方程两根的和两根的积各是多少？(1)x2-3x-1=0 (2)3x2-2x=2(3)2x2-3x=0 (4)3x2=12、已知方程3x2-19x-m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。3、设x1、x2是方程2x2-4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）(x1+1)(x2+1)(2)本课主要研究了什么？1、方程的根是由系数决定的。2、a0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、a0，且b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、2=4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、a0，0时，x1+x2= ，x1x2= 。6、方程根与系数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。课后作业1、（1）如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的 另一个根及b的值。 （2