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此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 1 2005 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 I 文科数学 必修 选修 第 I 卷 一 选择题 1 设 I 为全集 S1 S2 S3是 I 的三个非空子集且 S1 S2 S3 I 则下面论断正确的是 A ISI S2 S3 B S1 I S2 IS3 C ISI IS2 IS3 D S1 I S2 IS3 2 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 则球的表面积为 A 8B 8C 4D 4 2 2 3 已知直线l过点 2 0 当直线l与圆有两个交点时 其斜率 k的取值范围是 xyx2 22 A B C D 22 22 2 2 4 2 4 2 8 1 8 1 4 如图 在多面体 ABCDEF 中 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形 且 ADE BCF 均为 正三角形 EF AB EF 2 则该多面体的体积为 A B 3 2 3 3 C D 3 4 2 3 5 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合 则该双曲线 0 1 2 2 2 ay a x xy6 2 的离心率为 A B C D 2 3 2 3 2 6 3 32 6 当时 函数的最小值为 2 0 x x xx xf 2sin sin82cos1 2 A 2B C 4D 3234 7 设 二次函数的图象下列之一 0 b1 22 abxaxy 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 2 则 a 的值为 A 1B 1 C D 2 51 2 51 8 设 函数 则使取值范围是 10 a 22 log 2 xx a aaxfxxf的0 A B 0 0 C D 3log a 3 log a 9 在坐标平面上 不等式组所表示的平面区域的面积为 1 3 1 xy xy A B C D 2 2 3 2 23 2 10 在中 已知 给出以下四个论断 ABC C BA sin 2 tan 1cottan BA 其中2sinsin0 BA1cossin 22 BACBA 222 sincoscos 正确的是 A B C D 11 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条 其中异面直线有 A 18 对B 24 对C 30 对D 36 对 12 复数 i i 21 2 3 A B C D ii i 22i 22 第 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 若正整数 m 满足 3010 0 2 lg 10210 5121 m mm 则 14 的展开式中 常数项为 用数字作答 9 1 2 x x 15 ABC 的外接圆的圆心为 O 两条边上的高的交点为 H OCOBOAmOH 则实数 m 16 在正方体ABCD A B C D 中 过对角线BD 的一个平面交AA 于 E 交 CC 于 F 则 四边形 BFD E 一定是平行四边形 四边形 BFD E 有可能是正方形 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 3 四边形 BFD E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 平面 BFD E 有可能垂直于平面 BB D 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 设函数图象的一条对称轴是直线 0 2sin xfyxf 8 x 求 求函数的单调增区间 xfy 证明直线与函数的图象不相切 025 cyx xfy 18 本小题满分 12 分 已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形 AB DC DAB 90 PA 底面 ABCD 且 PA AD DE AB 1 M 是 PB 的中点 2 1 1 证明 面 PAD 面 PCD 2 求 AC 与 PB 所成的角 3 求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 19 本小题满分 12 分 设等比数列的公比为 q 前 n 项和 Sn 0 n 1 2 n a 1 求 q 的取值范围 2 设记的前 n 项和为 Tn 试比较 Sn和 Tn的大小 2 3 12 nnn aab n b 20 本小题满分 12 分 9 粒种子分种在 3 个坑内 每坑 3 粒 每粒种子发芽的概率为 0 5 若一个坑内至少有 1 粒种子发芽 则这个坑不需要补种 若一个坑里的种子都没发芽 则这个坑需要补种 假定 每个坑至多补种一次 每补种 1 个坑需 10 元 用表示补种费用 写出的分布列并求的 数学期望 精确到 0 01 21 本小题满分 14 分 已知椭圆的中心为坐标原点 O 焦点在轴上 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭x 圆于 A B 两点 与共线 OBOA 1 3 a 1 求椭圆的离心率 2 设 M 为椭圆上任意一点 且 证明为定值 ROBOAOM 22 22 本小题满分 12 分 1 设函数 求的最小值 10 1 log 1 log 22 xxxxxxf xf 2 设正数满足 n pppp 2 321 1 2 321 n pppp 求证 loglogloglog 2 2 2 323222121 npppppppp nn 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 4 2005 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 必修 选修 I 参考答案 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分 满分 60 分 1 C 2 C 3 B 4 D 5 A 6 D 7 C 8 B 9 C 10 B 11 B 12 D 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 分 满分 16 分 13 155 14 70 15 100 16 三 解答题 17 本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识 考查推理和运算能力 满分 12 分 解 的图像的对称轴 8 xfyx 是函数 1 8 2sin 24 Zkk 4 3 0 由 知 4 3 2sin 4 3 xy因此 由题意得 2 2 4 3 2 2 2Zkkxk 所以函数 8 5 8 4 3 2sin Zkkkxy 的单调增区间为 由知 4 3 2sin xy x0 8 8 3 8 5 8 7 y 2 2 1010 2 2 故函数上图像是在区间 0 xfy 18 本小题主要考查直线与平面垂直 直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象 能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力 满分 12 分 方案一 证明 PA 面 ABCD CD AD 由三垂线定理得 CD PD 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 5 因而 CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD PD 都垂直 CD 面 PAD 又 CD面 PCD 面 PAD 面 PCD 解 过点 B 作 BE CA 且 BE CA 则 PBE 是 AC 与 PB 所成的角 连结 AE 可知 AC CB BE AE 又 AB 2 2 所以四边形 ACBE 为正方形 由 PA 面 ABCD 得 PEB 90 在 Rt PEB 中 BE PB 25 5 10 cos PB BE PBE 5 10 arccos所成的角为与PBAC 解 作 AN CM 垂足为 N 连结 BN 在 Rt PAB 中 AM MB 又 AC CB AMC BMC BN CM 故 ANB 为所求二面角的平面角 CB AC 由三垂线定理 得 CB PC 在 Rt PCB 中 CM MB 所以 CM AM 在等腰三角形 AMC 中 AN MC AC AC CM 22 2 AB 2 5 6 2 5 2 2 3 AN 3 2 2 cos 222 BNAN ABBNAN ANB 故所求的二面角为 3 2 arccos 方法二 因为 PA PD PA AB AD AB 以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度 如图建立 空间直角坐标系 则各点坐标为 A 0 0 0 B 0 2 0 C 1 1 0 D 1 0 0 P 0 0 1 M 0 1 2 1 证明 因 0 0 1 0 1 0 0 DCAPDCAPDCAP 所以故 又由题设知 AD DC 且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线 由此得 DC 面 PAD 又 DC 在面 PCD 上 故面 PAD 面 PCD 解 因 1 2 0 0 1 1 PBAC 5 10 cos 2 5 2 PBAC PBAC PBAC PBACPBAC所以故 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 6 由此得 AC 与 PB 所成的角为 5 10 arccos 解 在 MC 上取一点 N x y z 则存在使 R MCNC 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 zyxMCzyxNC 要使 5 4 0 2 1 0 解得即只需zxMCANMCAN 0 5 2 1 5 1 5 2 1 5 1 0 5 2 1 5 1 5 4 MCBNBNAN MCANN 有此时 能使点坐标为时可知当 为所求二面角的平面角 ANBMCBNMCANMCBNMCAN 所以得由 0 0 3 2 arccos 3 2 cos 5 4 5 30 5 30 故所求的二面角为 BNAN BNAN BNAN BNANBNAN 19 本小题主要考查二次函数 方程的根与系数关系 考查运用数学知识解决问题的能力 满 分 12 分 解 3 1 02 的解集为 xxf 因而且 0 3 1 2 axxaxxf 3 42 2 3 1 2 axaaxxxxaxf 由方程 0 9 42 06 2 axaaxaxf得 因为方程 有两个相等的根 所以 094 42 2 aaa 即 5 1 1 0 145 2 aaaa或解得 由于代入 得的解析式 5 1 1 0 aaa将舍去 xf 5 3 5 6 5 1 2 xxxf 由 a aa a a xaaxaaxxf 14 21 3 21 2 2 22 及 14 0 2 a aa xfa 的最大值为可得 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 7 由 解得 0 0 14 2 a a aa 0 3232 aa或 故当的最大值为正数时 实数 a 的取值范围是 xf 0 32 32 20 本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法 考查运用概率 知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 因为甲坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为 所以甲坑不需要补 8 1 5 01 3 种的概率为 875 0 8 7 8 1 1 解 3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 041 0 8 1 8 7 21 3 C 解法一 因为 3 个坑都不需要补种的概率为 3 8 7 所以有坑需要补种的概率为 330 0 8 7 1 3 解法二 3 个坑中恰有 1 个坑需要补种的概率为 287 0 8 7 8 1 21 3 C 恰有 2 个坑需要补种的概率为 041 0 8 7 8 1 23 3 C 3 个坑都需要补种的概率为 002 0 8 7 8 1 033 3 C 所以有坑需要补种的概率为 330 0 002 0 041 0 287 0 21 本小题主要考查等比数列的基本知识 考查分析问题能力和推理能力 满分 12 分 解 由 得 0 12 2 1020 10 30 10 SSS 2 10202030 10 SSSS 即 2 201211302221 10 aaaaaa 可得 2 201211201211 1010 aaaaaaq 因为 所以 解得 因而 0 n a 12 1010 q 2 1 q 2 1 2 1 1 1 nqaa n n n 因为是首项 公比的等比数列 故 n a 2 1 1 a 2 1 q 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n n n n n n nnSS 则数列的前 n 项和 n nS 22 2 2 1 21 2n n n nT 22 1 2 2 2 1 21 2 1 2 132 nn n nn n T 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 8 前两式相减 得 12 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 nn n n n T 即 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 4 1 n n nnn 2 22 1 2 1 1 nn n nnn T 22 本小题主要考查直线方程 平面向量及椭圆的几何性质等基本知识 考查综合运用数学 知识解决问题及推理的能力 满分 14 分 1 解 设椭圆方程为 0 0 1 2 2 2 2 cFba b y a x 则直线 AB 的方程为 代入 化简得cxy 1 2 2 2 2 b y a x 02 22222222 bacacxaxba 令 A B 则 11 y x 22 yx 2 22 2222 21 22 2 21 ba baca xx ba ca xx 由与共线 得OBOAayyxxOBOA 1 3 2121 a 又 0 3 2121 xxyycxycxy 2211 2 3 0 2 3 212121 cxxxxcxx 即 所以 2 32 22 2 c ba ca 3 6 3 2222 a bacba 故离心率 3 6 a c e II 证明 由 1 知 所以椭圆可化为 22 3ba 1 2 2 2 2 b y a x 33 222 byx 设 由已知得 yxOM 2211 yxyxyx 在椭圆上 21 21 xxy xxx yxM 3 3 22 21 2 21 byyxx 即 3 3 2 3 3 2 2121 2 2 2 2 22 1 2 1 2 byyxxyxyx 由 1 知 2 1 2 3 2 3 2222 21 cbca c xx 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 9 0 3 2 9 2 3 3 34 33 8 3 222 2 2121 21212121 2 22 2222 21 ccc ccxxxx cxcxxxyyxx c ba baca xx 又 代入 得 22 2 2 2 22 1 2 1 33 33byxbyx 1 22 故为定值 定值为 1 22 2005 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 全国文科数学 全国 II II 第 I 卷 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知为第三象限角 则所在的象限是 2 A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限 2 已知过点 A 2 m 和 B m 4 的直线与直线 2x y 1 0 平行 则 m 的值为 A 0 B 8 C 2 D 10 3 在的展开式中的系数是 8 1 1 xx 5 x A 14 B 14 C 28 D 28 4 设三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 V P Q 分别是侧棱 AA1 CC1上的点 且 PA QC1 则 四棱锥 B APQC 的体积为 A B C D 1 6 V 1 4 V 1 3V 1 2 V 5 设 则 7 1 3 x A 2 x 1 B 3 x 2 C 1 x 0 D 0 x 1 6 若 则 ln2ln3ln5 235 abc A a b c B c b a C c a b D b a c 7 设 且 则 02x 1 sin2sincosxxx A B C D 0 x 7 44 x 5 44 x 3 22 x 8 2cos cos 2cos1 2sin2 2 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 10 A B C 1 D tan tan2 1 2 9 已知双曲线的焦点为 F1 F2 点 M 在双曲线上且则点 M 到1 2 2 2 y x120 MFMF x 轴的距离为 A B C D 4 3 5 3 2 3 3 3 10 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P 若 F1PF2为 等腰直角三角形 则椭圆的离心率是 A B C D 2 2 21 2 22 21 11 不共面的四个定点到平面的距离都相等 这样的平面共有 A 3 个 B 4 个 C 6 个 D 7 个 12 计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制 采用数字 0 9 和字母 A F 共 16 个计数 符号 这些符号与十进制的数的对应关系如下表 16 进制0123456789ABCDEF 10 进制0123456789101112131415 例如 用十六进制表示 E D 1B 则 A B A 6E B 72 C 5F D B0 第 卷 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 13 经问卷调查 某班学生对摄影分别执 喜欢 不喜欢 和 一般 三种态度 其中执 一般 态度的比 不喜欢 态度的多 12 人 按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影 如果选出的 5 位 喜欢 摄影的同学 1 位 不喜欢 摄影的同学和 3 位执 一 般 态度的同学 那么全班学生中 喜欢 摄影的比全班人数的一半还多 人 14 已知向量 且 A B C 三点共线 则 k 12 4 5 10 OAkOBOCk 15 曲线在点 1 1 处的切线方程为 3 2xxy 16 已知在 ABC 中 ACB 90 BC 3 AC 4 P 是 AB 上的点 则点 P 到 AC BC 的距离乘积的最大值是 三 解答题 共 74 分 17 本小题满分 12 分 已知函数求使为正值的的集合 2 0 2sinsin2 2 xxxxf f xx 18 本小题满分 12 分 设甲 乙 丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响 已知在某一小时内 甲 乙都需要照顾的概率为 0 05 甲 丙都需要照顾的概率为 0 1 乙 丙都需要照顾的概 率为 0 125 求甲 乙 丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少 计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 11 19 本小题满分 12 分 在四棱锥 V ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 侧面 VAD 是正三角形 平面 VAD 底面 ABCD 证明 AB 平面 VAD 求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 20 本小题满分 12 分 在等差数列中 公差的等差中 n a 412 0aaad与是 项 已知数列成等比数列 求数列的通项 21 31 n kkk aaaaa n k n k 21 本小题满分 12 分 用长为 90cm 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无 盖的容器 先在四角分别截去一个小 正方形 然后把四边翻转 90 角 再焊接而成 如图 问 该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 22 本小题满分 14 分 设两点在抛物线上 是 AB 的垂直平分线 2211 yxByxA 2 2xy l 当且仅当取何值时 直线 经过抛物线的焦点 F 证明你的结论 21 xx l 当时 求直线 的方程 3 1 21 xxl 2005 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 文 参考答案 一 DBBCA CCBCD BA 二 13 3 14 15 x y 2 0 16 12 2 3 三 解答题 17 解 2 分 4 分 1 cos2sin2f xxx 12sin 2 4 x 012sin 2 0 4 f xx 6 分 2 sin 2 42 x 8 分 5 222 444 kxk 10 分 3 4 kxk 又 12 分 0 2 x 37 0 44 x 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 12 18 解 记甲 乙 丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A B C 1 分 则 A B C 相互独立 由题意得 P AB P A P B 0 05 P AC P A P C 0 1 P BC P B P C 0 125 4 分 解得 P A 0 2 P B 0 25 P C 0 5 所以 甲 乙 丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0 2 0 25 0 5 6 分 A B C 相互独立 相互独立 7 分A B C 甲 乙 丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为 0 8 0 75 0 50 3P A B CP A P B P C 10 分 这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 12 分1 1 0 30 7pP A B C 19 证明 作 AD 的中点 O 则 VO 底面 ABCD 1 分 建立如图空间直角坐标系 并设正方形边长为 1 2 分 则 A 0 0 B 1 0 C 1 0 D 0 0 V 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 分 13 0 1 0 1 0 0 0 22 ABADAV 由 4 分 0 1 0 1 0 0 0AB ADABAD 5 分 13 0 1 0 0 0 22 AB AVABAV 又 AB AV A AB 平面 VAD 6 分 由 得是面 VAD 的法向量 7 分 0 1 0 AB 设是面 VDB 的法向量 则 1 ny z 9 分 1 13 0 3 1 1 0 1 1 223 3 0 1 1 1 0 0 3 x n VB y z n zn BD y z 11 分 3 0 1 0 1 1 21 3 cos 721 1 3 AB n Z Z Y Y X X O O D D C C B B A A V V 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 13 又由题意知 面 VAD 与面 VDB 所成的二面角 所以其大小为 12 分 21 arccos 7 20 解 由题意得 1 分 即 3 分 41 2 2 aaa 3 11 2 1 daada 又 4 分 又成等比数列 0 d da 1 21 31 n kkk aaaaa 该数列的公比为 6 分 所以 8 分3 3 1 3 d d a a q 1 1 3 n k aa n 又 10 分 11 1 akdkaa nnkn 所以数列的通项为 12 分 1 3 n n k n k 1 3 n n k 21 解 设容器的高为 x 容器的体积为 V 1 分 则 V 90 2x 48 2x x 0 V 24 5 分 4x3 276x2 4320 x V 12 x2 552x 4320 7 分 由 V 12 x2 552x 4320 0 得 x1 10 x2 36 x0 10 x 36 时 V 36 时 V 0 所以 当 x 10 V 有极大值 V 10 1960 10 分 又 V 0 0 V 24 0 11 分 所以当 x 10 V 有最大值 V 10 1960 12 分 22 解 抛物线 即 2 2xy 4 1 2 2 p y x 焦点为 1 分 1 0 8 F 1 直线 的斜率不存在时 显然有 3 分l0 21 xx 2 直线 的斜率存在时 设为 k 截距为 bl 即直线 y kx b 由已知得 l 5 分 1212 12 12 22 1 kb k yy xx yy xx 22 1212 22 12 12 22 1 22 22 kb k xxxx xx xx 7 分 22 12 12 12 2 1 2 kb k xx xx xx 22 12 1 0 4 b xx 1 4 b 即 的斜率存在时 不可能经过焦点 8 分l 1 0 8 F 所以当且仅当 0 时 直线 经过抛物线的焦点 F 9 分 12xx l 当时 12 1 3 xx 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 14 直线 的斜率显然存在 设为 y kx b 10 分ll 则由 得 11 分 22 12 12 12 2 1 2 kb k xx xx xx 12 10 2 1 2 2 kb k xx 13 分 1 4 41 4 k b 所以直线 的方程为 即 14 分l 141 44 yx 4410 xy 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 I 文科数学 第 I 卷 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知向量 a b 满足 a 1 b 4 且 a b 2 则 a 与 b 的夹角为 A B C D 6 4 3 2 2 设集合 则 2 0 2 xxNxxxM A B NM MNM C D RMNM NM 3 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称 则 x ey xfy xy A R B xexf x 2 2 2ln 2 xfxln0 x C R D xexf x 2 2 xxfln 2 2ln0 x 4 双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍 则 m 1 22 ymx A B 4 C 4 D 4 1 4 1 5 设是等差数列的前 n 项和 若 S7 35 则 a4 n S n a A 8 B 7 C 6 D 5 6 函数的单调增区间为 4 tan xxf 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 15 A Z B Z kkk 2 2 kkk 1 C Z D Z kkk 4 4 3 kkk 4 3 4 7 从圆外一点 P 3 2 向这个圆作两条切线 则两切线夹角0122 22 yyxx 的 余弦值为 A B C D 0 2 1 5 3 2 3 8 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a b c 成等比数列 且 Baccos 2则 A B C D 4 1 4 3 4 2 3 2 9 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 体积为 16 则这个球的表面积是 A 16 B 20 C 24 D 32 10 在的展开式中 的系数为 10 2 1 x x 4 x A 120 B 120 C 15 D 15 11 抛物线上的点到直线距离的最小值是 2 xy 0834 yx A B C D 3 3 4 5 7 5 8 12 用长度分别为 2 3 4 5 6 单位 cm 的 5 根细木棒围成一个三角形 允许连接 但不允许折断 能够得到的三角形的最大面积为 A cm2 B cm258106 C cm2 D 20cm2553 第 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在横线上 13 已知函数若为奇函数 则 a 12 1 x axf xf 14 已知正四棱锥的体积为 12 底面对角线的长为 则侧面与底面所成的二面角等于 62 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 16 15 设 式中变量 x y 满足下列条件xyz 2 1 2323 12 y yx yx 则 z 的最大值为 16 安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班 每人值班一天 其中甲 乙二人都不 安排在 5 月 1 日和 2 日 不同的安排方法共有 种 用数字作答 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知为等比数列 求的通项公式 n a 3 20 2 423 aaa n a 18 本小题满分 12 分 ABC 的三个内角为 A B C 求当 A 为何值时 取得最大值 2 cos2cos CB A 并求出这个最大值 19 本小题满分 12 A B 是治疗同一种疾病的两种药 用若干试验组进行对比试 验 每个试验组由 4 只小白鼠组成 其中 2 只服用 A 另 2 只服用 B 然后观察疗效 若在一个试验组中 服用 A 有效的小白鼠的只数 比服用 B 有效的多 就称该试验组为甲类组 设每只小白鼠服用 A 有 效的概率为 服用 B 有效的概率为 3 2 2 1 求一个试验组为甲类组的概率 观察 3 个试验组 求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率 20 本小题满分 12 分 如图 是相互垂直的异面直线 MN 是它们的公垂线段 1 l 2 l 点 A B 在上 C 在上 AM MB MN 1 l 2 l 证明 NBAC 若 求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值 60 ACB 21 本小题满分 14 分 设 P 是椭圆短轴的一个端点 Q 为椭圆上的一个动点 求 PQ 的最大 1 1 2 2 2 ay a x 值 22 本小题满分 12 分 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 17 设 a 为实数 函数在和都是增函数 求xaaxxxf 1 223 0 1 a 的取值范围 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题 必修 选修 参考答案 一 选择题 1 C 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 B 9 C 10 C 11 A 12 B 二 填空题 13 14 15 11 16 2400 2 1 3 三 解答题 17 解 设等比数列的公比为 q 则 q 0 n a 2 2 34 3 2 qqaa qq a a 所以 3 20 2 2 q q 解得 3 3 1 21 qq 当 18 3 1 1 aq时 所以 32 3 18 3 1 18 1 1 1n n n n a 当 9 2 3 1 aq时 所以 323 9 2 31 nn n a 18 解 由 222 ACB CBA 得 所以有 2 sin 2 cos ACB 2 sin2cos 2 cos2cos A A CB A 2 sin2 2 sin21 2 AA 2 3 2 1 2 sin2 2 A 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 18 当 2 3 2 cos2cos 3 2 1 2 sin取得最大值时即 CB AA A 19 解 设 A1表示事件 一个试验组中 服用 A 有效的小白鼠有 i 只 i 0 1 2 B1表示事件 一个试验组中 服用 B 有效的小白鼠有 i 只 i 0 1 2 依题意有 9 4 3 2 3 2 9 4 3 2 3 1 2 21 APAP 2 1 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 10 BPBP 所求的概率为 P P B0 A1 P B0 A2 P B1 A2 9 4 2 1 9 4 4 1 9 4 4 1 9 4 所求的概率为 729 604 9 4 1 1 3 P 20 解法 由已知 l2 MN l2 l1 MNl1 M 可得 l2 平面 ABN 由已知 MN l1 AM MB MN 可知 AN NB 且 AN NB 又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影 AC NB Rt CAN Rt CNB AC BC 又已知 ACB 60 因此 ABC 为正三角形 Rt ANB Rt CNB NC NA NB 因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三角形 ABC 的中心 连结 BH NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角 在 Rt NHB 中 3 6 cos 2 2 3 3 AB AB NB HB NBH 解法二 如图 建立空间直角坐标系 M xyz 令 MN 1 则有 A 1 0 0 B 1 0 0 N 0 1 0 MN 是 l1 l2的公垂线 l2 l1 l2 平面 ABN l2平行于 z 轴 故可设 C 0 1 m 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 19 于是 0 1 1 1 1 NBmAC 00 1 1 NBAC AC NB 1 1 1 1 BCACmBCmAC 又已知 ABC 60 ABC 为正三角形 AC BC AB 2 在 Rt CNB 中 NB 可得 NC 故 C22 2 1 0 连结 MC 作 NH MC 于 H 设 H 0 0 2 2 1 0 2 1 0 MCHN 3 1 021 MCHN 3 2 3 1 1 3 2 3 2 0 3 2 3 1 0 BHBHHNH则连结可得 0 9 2 9 2 0HBHMCBHHNBHHN 又 HN 平面 ABC NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角 又 0 1 1 BN 3 6 2 cos 3 2 3 4 BNBH BNBH NBH 21 解 依题意可设 P 0 1 O x y 则 1 22 yxPQ 又因为 Q 在椭圆上 所以 1 222 yax 12 1 222 2 yyyaPQ 222 12 1 ayya 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 a aa ya 因为 y1 a 若 1 当时 a a 1 1 2 则 2 1 1 a y 1 1 2 22 a aa PQ取最大值 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 20 若 2 1 21取最大值时则当PQya 22 解 1 23 22 aaxxxf 其判别试 81212124 222 aaa 若 2 6 0812 2 aa即 当 0 3 3 2 为增函数在时或 xfxf a xx 所以 2 6 a 若 0812 2 a 0 为增函数在恒有 xfxf 所以 2 3 2 a 即 2 6 2 6 a 若即 0812 2 a 0 2 6 2 6 xfa令 解得 3 23 3 23 2 2 2 1 aa x aa x 当 0 21 为增函数时或xfxfxxxx 当 0 21 为减函数时xfxfxxx 依题意 0 得 1 1 x 2 x 由 0 得 1 xa 23 2 a 解得 1 2 6 a 由 1 得 3 2 x 23 2 a a 解得 2 6 2 6 a 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 21 从而 2 6 1 a 综上 a的取值范围为 2 6 1 2 6 2 6 即 a 1 2 6 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 II 文科数学 必修 选修 I 一 选择题 1 已知向量 a 4 2 向量 b x 3 且 a b 则 x A 9 B 6 C 5 D 3 2 已知集合 则 1log 3 2 xxNxxM NM A B 30 xx C D 31 xx 32 xx 3 函数 y sin 2x cos 2x 的最小正周期是 A 2 B 4 C 4 D 2 4 如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称 xfy xy23 则的表 xfy 达式为 A B 32 xy32 xy C D 32 xy32 xy 5 已知 ABC 的顶点 B C 在椭圆 顶点 A 是椭圆的一个焦点 且椭圆的 1 3 2 2 y x 另 外一个焦点在 BC 边上 则 ABC 的周长是 A B 6 C D 123234 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 22 6 已知等差数列中 则前 10 项和 n a7 2 a15 4 a 10 S A 100 B 210 C 380 D 400 7 如图 平面 平面 A B AB 与两平面 所成的角分别为和 4 过 A B 分别作两平面交线的垂线 垂足为 则 AB 6 BA BA A 4 B 6 C 8 D 9 8 函数的反函数为 0 1ln xxy A B 1 Rxey x 1 Rxey x C D 1 1 xey x 1 1 xey x 9 已知双曲线的一条渐近线方程为 则双曲线的离心率为 1 2 2 2 2 b y a x xy 3 4 A B C D 3 5 3 4 4 5 2 3 10 若 cos 2cos3 sinxfxxf则 A B 3x2cos3 x2sin C D x2cos3 x2sin3 11 过点 1 0 作抛物线的切线 则其中一条切线为1 2 xxy A B 022 yx033 yx C D 01 yx01 yx 12 5 名志原者分到 3 所学校支教 要求每所学校至少有 1 名志愿者 则不同的分法共有 A 150 种 B 180 种 C 200 种 D 280 二 填空题 本大题共 4 小题 每小 题 4 分 共 16 分 把答案填在答题 卡上 13 在的展开式中常数 104 1 x x 项是 用数字作答 14 已知圆 O1是半径为 R 的球 O1的一个小圆 且圆 O 的面积与球 O 的表面积的比值为 则线段 OO1与 R 的比值为 9 2 15 过点 1 的直线l 将圆分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小 时 24 2 22 yx 直线l 的斜率k 16 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查 10 000 人 并根据所得数据画了样本的 频率分布直方图 如下图 为了分析居民的收入与年龄 学历 职业等方面的关系 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 23 要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查 则在 2 500 3 000 元 月收入段应抽出 人 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知 ABC 中 B 45 AC cosC 10 5 52 求 BC 边的长 记 AB 的中点为 D 求中线 CD 的长 18 本小题满分 12 分 记等比数列的前 n 项和为 已知 n a n S17 1 84 SS 的通项公式 n a 19 本小题满分 12 分 某批产品成箱包装 每箱 5 件 一用户在购进该批 产品前先取出 3 箱 再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验 设取出的第一 二 三箱中分 别有 0 件 1 件 2 件二等品 其余为一等品 求恰有一件抽检的 6 件产品中二等品的概率 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品 用户就拒绝购买这批产品 求这批 产品被用户拒绝购买的概率 20 本小题满分 12 分 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC D E 分别为 BB1 AC1的中点 证明 ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线 设 AA1 AC 求二面角 A1 AD C1的大小 2AB 21 本小题满分 12 分 已知R 二次函数 设不等式的解集为 A 又知集 a 22 2 axaxxf 0 xf 合若 A B 求 a 的取值范围 31 xxB 22 本小题满分 14 分 已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点 且yx4 2 BAF 0 FBAF 过 A B 两点分别作抛物线的切线 设其交点为 M 证明为定值 ABFM 设 ABM 的面积为 S 写出的表达式 并求 S 的最小值 fS 2006 的普通高等学校招生全国统一考试 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 24 文科数学试题 必修 选修 II 参考答案及评分参考 一 选择题 1 B 2 D 3 D 4 D 5 C 6 B 7 B 8 B 9 A 10 C 11 D 12 A 二 填空题 13 45 14 5 6 25 3 1 2 2 三 解答题 17 解 I 由 5 5 sinC 5 52 cos 得C sin cos 2 2 45180sin sinCCCA 3 分 10 103 由正弦定理知 6 分 23 10 103 2 2 10 sin sin A B AC BC II 9 分 1 2 1 2 5 5 2 2 10 sin sin ABBDC B AC AB 由余弦定理知 12 分13 2 2 2312181cos2 22 BBCBDBCBDCD 18 解 设的公比为 q 由 S4 1 S8 17 知 所以得 n a1 q1 1 1 4 1 q qa 2 分 17 1 1 8 1 q qa 由 式得 整理得 解得 17 1 1 4 8 q q 171 4 q 16 4 q 所以或 8 分2 q2 q 将代入 式得 所以 10 分2 q 15 1 1 a 15 2 1 n n a 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 25 将代入 式得 所以 12 分2 q 5 1 1 a 5 2 1 1 nn n a 19 解 设 Ai表示事件 第二箱中取出 i 件二等品 i 0 1 Bi表示事件 第三箱中取出 i 件二等品 i 0 1 2 I 依题意所求的概率为 10011 BAPBAPp 6 分 25 12 2 5 1 2 1 3 2 5 2 4 2 5 2 3 2 5 1 4 1001 C CC C C C C C C BPAPBPAP II 解法一 所求的概率为 12 分 50 17 25 12 1 1 2 5 2 3 2 5 2 4 1002 C C C C pBAPp 解法二 所求的概率为 2120112 BAPBAPBAPp 212011 BPAPBPAPBPAP 9 分 50 17 2 5 2 2 2 5 1 4 2 5 2 2 2 5 2 4 2 5 1 2 1 3 2 5 1 4 C C C C C C C C C CC C C 20 解法一 I 设 O 为 AC 中点 连结 EO BO 则 EO C1C 又 C1C B1B 所以 EO 2 1 2 1 DB EOBD 为平行四边形 ED OB 2 分 AB BC BO AC 又平面 ABC 平面 ACC1A1 BO面 ABD 故 BC 平面 ACC1A1 ED 平面 ACC1A1 ED 为异面直线 AC1与 BB1的公垂线 6 分 II 连结 A1E 由 AA1 AG AB 可知 A1ACC1为正方形 2 A1E AC1 又由 ED 平面 A1ACC1和 ED平面 ADC1知平面 ADC1 平面 A1ACC1 A1E 平面 ADC1 作 EF AD 垂足为 F 连结 A1F 则 A1F AD A1FE 为二面角 A1 AD C1的平面角 不妨设 AA1 2 则 AC 2 AB ED OB 1 EF tan A1FE 2 3 2 AD EDAE 3 1 EF EA A1FE 60 所以二面角 A1 AD C1为 60 12 分 解法二 I 如图 建立直角坐标系 O xyz 其中原点 O 为 AC 的中点 设 2 0 0 0 0 0 1 cbBbBaA 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 26 则 3 分 0 0 0 2 0 0 0 1 cbDcEcaCaC 0 2 0 0 0 0 11 1 BBEDBBED cBBbED 又 0 2 0 2 111 ACEDACEDcaAC 所以 ED 是异面直线 BB1与 AC1的公垂线 6 分 II 不妨设 A 1 0 0 则 B 0 1 0 C 1 0 0 A1 1 0 2 0 0 20 0 0 0 1 1 0 1 1 1 111 1 ADABC AAAABAABCABBCAABCABBC AAABBC 面 又即 又 0 0 1 1 1 0 1 0 0 CDE EEDAEEDECAEECEDECAEEC 又即 0 0 10 分ADCEC 1 面 即得的夹角为 60 2 1 cos BCEC BCEC BCECBCEC和 所以二面角 A1 AD C1为 60 12 分 21 解 由为二次函数知 令 0 解得其两根为 xf 0 a xf 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 aa x aa x 由此可知 12 分0 0 21 xx i 当 a 0 时 21 xxxxxxA A B 的充要条件是 即3 2 x 3 1 2 1 2 aa 解得 6 分 7 6 a ii 当时 0 a 21 xxxxA A B 的充要条件是 即1 2 x 1 1 2 1 2 aa 解得 10 分 2 a 此刻打盹 那么明年继续吧 也就离我越远 27 综上 使 A B 成立的 a 的取值范围 12 分 7 6 2 22 解 I 由已条件 得 F 0 1 0 设 2211 FBAFyxByxA 由 即得 1 1 2211 yxyx 1 1 21 21 yy xx 将 式两边平方并把代入得 2 22 2 11 4 1 4 1 xyxy 2 2 1 yy 解 式得 且有 1 21 yy 4 4 2 2 221 yxxx 抛物线方程为 4 1 2 xy 求导得 2 1 xy 所以过抛物线上 A B 两点的切线方程分别是 2 1 2 1 222111 yxxyyxxxy 即 4 1 2 1 4 1 2 1 2 22 2 11 xxxyxxxy 解出两条切线的交点 M 的坐标为 4 分 1 2 4 2 212121 xxxxxx 所以 2