解三角形练习题一15.doc

2013解三角形练习题一把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理和余弦定理等求解。 .正弦定理：其中是三角形外接圆半径.余弦定理： 由此可得.其中，为内切圆半径，为外接圆半径. 在三角形中大边对大角，反之亦然. 射影定理： .有关三角形内角的几个常用公式 . 解三角形常见的四种类型 (1)已知两角与一边,由A+B+C=180及正弦定理，可求出角C，再求b、c. (2)已知两边与其夹角，由，求出a，再由余弦定理，求出角. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边b的对角B，由，求出，再由求出，而通过求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90A=90A90一解一解一解无解无解一解两解无解无解一解无解 . 对于三角形的分类或三角形形状判断，主要从边或角两方面入手.一、选择题1. (2006山东文、理)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=( )（A）1 （B）2 （C）1 （D）2.（2005春招上海）在中，若，则是（ ）（A）直角三角形. （B）等边三角形. （C）钝角三角形. （D）等腰直角三角形.3. （2006全国卷文、理）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（ ）A B C D4. （2005北京春招文、理）在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形5. （2004全国卷文、理）ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边.如果a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b=（ ）A B C D6. （2010上海文）18.若的三个内角满足，则（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.7. （2010湖南理）7.在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则A.ab B.abC. ab D.a与b的大小关系不能确定8. 在ABC中，A=60，a=43,b=4，则B等于( )A.45或135 B.135 C.45 D.以上答案都不对9. ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形10. (2006山东潍坊检测)在ABC中，(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则ABC的形状为( )A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形11. （2010江西理）7.E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）A. B. C. D. 12.（2010天津理）（7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（A） （B） （C） （D）13. （2010湖北理）3.在中，a=15,b=10,A=60，则=A B C D 二、填空题1已知则A=_.2.（2010山东文）（15） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,则角A的大小为 .3. （2010北京文）（10）在中。若，则a= 。4.（2010广东理）11.已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .5. （2010江苏卷）13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。三、解答题1. （2010陕西文）17.（本小题满分12分）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.2.（2010辽宁文）（17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，试判断的形状.3. （2010辽宁理）（17）（本小题满分12分） 在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.4. （2010安徽文）16、（本小题满分12分） 的面积是30，内角所对边长分别为，。 ()求.()若，求的值。5. 的三个内角、的对边分别是,如果,求证:解三角形练习题一答案一、选择题题号12345678910答案BBBBBCACCB题号11121314151617181920答案DAD2.解：令则由正弦定理得4解：由正弦定理，令则由已知条件得故余弦定理得另解：5.解：因该三角形的面积为，故由余弦定理得由因成等差数列，故故6. 【答案】C解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角7. 解：另解一：由已知条件及正弦定理得故另解二：由余弦定理得因故故8. 解析：sinB=,又ba,BA.0B60.故B=45.答案：C9. 解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即sin(B+C)=2sinBcosC. sin(B-C)=0. 又-B-C，B-C=0.答案：A另解：由已知条件及余弦定理得故10. 解析：cos2=,=,即cosA=. 又cosA=,=,即a2+b2=c2.ABC为直角三角形.故选B.答案：B11.解析：因故由余弦定理得易知故由余弦定理得12. 【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得，所以cosA=，所以A=300另解：由正弦定理及得.又因，故由余弦定理得故 13. 【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.二、填空题答案1. 解析：由已知得(b+c)2-a2=3bc,b2+c2-a2=bc.=.A=.答案：2.3. 4. 解析：由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即由知，则，5. 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，= 4。（方法二），另解：由及余弦定理得于是由余弦定理及正弦定理得三、解答题答案1.解：解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.2. 解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。另：如用和差化积公式，可以比较方便地解第二个问题的。3. 解：（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 6分（）由（）得： 故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。 12分另：如用和差化积公式，可以比较方便地解第二个问题的。4. 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.解：由，得.又，.（）.（），.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.另解：(1) 因，故又因的面积为，故（2）因又由（1）得故但为三角形的边，不可能为负数，故从而由余弦定理得5.证一由正弦定理,代入中,得 因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin(A+B)0