1.不等式的基本性质 (4).ppt

选修4 5 1 1 1不等式的基本性质 施甸县第三完全中学黄凯 观察以下四个不等式 同向不等式 在两个不等式中 如果每一个的左边都大于右边或每一个的左边都小于右边 不等号的方向相同 不等号的方向之间有什么关系 a 2 a 1 1 a 3 3a 2 3x 1 2x 6 3 X a 4 与 与 同向 与 反向 异向不等式 在两个不等式中 如果一个不等式的左边大于右边 而另一个的左边小于右边 不等号的方向相反 基本概念 同解不等式 形式不同但解相同的不等式 绝对不等式 条件不等式 矛盾不等式 其它重要概念 基本概念 1 实数在数轴上的性质 数轴上的点 一一对应 p 2 基本理论 研究不等式的出发点是实数的大小关系 数轴上的点与实数一一对应 因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小 a b a b x a b a b x 用数学式子表示为 设a b是两个实数 它们在数轴上所对应的点分别是A B 关于a b的大小关系 有以下基本事实 如果a b 那么a b是正数 如果a b 那么a b等于零 如果a b 那么a b是负数 反过来也对 基本理论 那么 当点A在点B的左边时 ab 表示 等价于 上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序 而右边部分则是实数的运算性质 合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小 而且是推导不等式的性质 不等式的证明 解不等式的主要依据 基本理论 要比较两个实数a与b的大小 可以转化为比较它们的差a b与0的大小 在这里 0为实数比较大小提供了 标杆 思考 从上述事实出发 你认为可以用什么方法比较两个实数的大小 基本方法 例1比较 解 0 作差 变形 断号 作结 作差比较大小分四步进行 常见的变形手段是 通分 因式分解或配方等 变形的结果是常数 若干个因式的积或完全平方式等 与 作差 断号 作结 变形 课堂训练 等式有 等式两边加或减同一个数 等式仍然成立 等式两边乘或除以同一个数 等式仍然成立 等性质 类比等式的基本性质 不等式有哪些基本性质呢 等式的基本性质是从数的运算的角度提出的 同样的 由于不等式也研究实数之间的关系 所以联系实数的运算 加 减 乘 除 乘方 开方等 来思考不等式的基本性质非常自然的 研究实数的关系时联系实数的运算 是一种基本的数学思想 尝试探索 建立新知 由两个实数大小关系的基本事实 得出不等式的基本性质 对称性 传递性 加法法则 乘法法则 乘方法则 开方法则 基本性质 注意 1 注意公式成立的条件 要特别注意 符号问题 2 以上不等式的基本性质可以得到严格证明 2 要会用自然语言描述上述基本性质 3 上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问题的理论基础 同向不等式相加 例如 利用不等式的基本性质可以得到下列结论 同向正数不等式相乘 移项法则 同号两数 大的倒数较小 小的倒数较大 由 可得 性质4 性质4 性质2 性质6 实数的大小与它们的差的关系 还有其他方法吗 性质4 1 实数大小的比较 1 数轴上的点与实数一一对应 可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的 在数轴上 右边的数总比左边的数 2 如果a b 0 则 如果a b 0 则 如果a b 0 则 3 比较两个实数a与b的大小 归结为判断它们的 比较两个代数式的大小 实际上是比较它们的值的大小 而这又归结为判断它们的 大小 大 a b a b a b 差a b的符号 差的符号 课堂互动讲练 2 不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实 可以得到不等式的一些基本性质 1 如果a b 那么b a 如果b a 那么a b 即 2 如果a b b c 那么 即a b b c 3 如果a b 那么a c 4 如果a b c 0 那么acbc 如果a b c 0 那么acbc a b b a a c a c b c 课堂互动讲练 3 对上述不等式的理解使用不等式的性质时 一定要清楚它们成立的前提条件 不可强化或弱化它们成立的条件 盲目套用 例如 1 等式两边同乘以一个数仍为等式 但不等式两边同乘以同一个数c 或代数式 结果有三种 c 0时得不等式 c 0时得 c 0时得不等式 同向 等式 异向 课堂互动讲练 相减 正值 相除 正值 课堂互动讲练 课堂互动讲练 2 比较两个实数大小的主要方法 1 作差比较