人教A版必修一 1.3.1 第1课时 函数的单调性 教案.docx

1.3.1 第1课时 函数的单调性教学目标1知识与技能(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；(2)初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法2过程与方法(1)培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想来 源:中教 3情感、态度与价值观领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣中国 教育出 版 重点难点重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图象证明单调性导入新课情景导入1为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.图1-3-1-7问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.情景导入2如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：图1-3-1-8随x的增大，y的值有什么变化？引导学生回答，点拨提示，引出课题.设计意图：创设情景，引起学生兴趣.来 源:中教 推进新课新知探究提出问题问题：分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1-3-1-9所示：中国教育出 版 图1-3-1-9问题：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?设计意图：从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知.问题：如图1-3-1-10是函数y=x+(x0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？来 源 :中国教育出版 图1-3-1-10设计意图：使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.来 源:中 教 问题：如何从解析式的角度说明f(x)=x2在0,+)上为增函数？ :中 教 设计意图：把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?设计意图：让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.问题：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1.x2.问题：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间d上是增（减）函数，那么在区间d上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：设函数f(x)的定义域为i，定义域i内某个区间d上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，f(x)在区间d上是增函数；当x1f(x2)， f(x)在区间d上是减函数.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在0,+)上y随x的增大而增大，在(-,0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=，在(0,+)上y随x的增大而减小，在(-,0)上y随x的增大而减小.如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.不能.(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为2232，所以f(x)=x2在0,+)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在0,+)上为增函数.(3)任取x1.x20,+),且x1x2,因为x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)0,即x120，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗?活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x在0,+)上是增函数.讨论结果：能.例2 已知a0，函数f（x）=x|xa|（xr）中国教 育 出 版 （1）当a=2时，画出函数y=f（x）的大致图象；中国教 育出 版 （2）当a=2时，根据图象写出函数y=f（x）的单调减区间，并用定义证明你的结论；思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明.教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间.点评：讨论函数单调性的三部曲：第一步，画函数的图象；第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；第三步，利用定义加以证明.解：（1）当a=2时，函数y=f（x）=的大致图象如下图所示； 中国教 育出版 （2）当a=2时，f（x）=x|x2|的单调递减区间是1，2证明：设x1，x21，2，x1x2，则f（x1）f（x2）=（2x1x12）（2x2x22）=（x1x2）2（x1+x2）x1，x21，2，x1x2，x1x20，2x1+x24，（x1x2）2（x1+x2）0，f（x1）f（x2），f（x）=x|x2|的单调递减区间是1，2 中 国 教育出 版 变式训练2 判断下列说法是否正确：已知f(x)=,因为f(-1)f(2),所以函数f(x)是增函数.若函数f(x)满足f(2)f(2a) bf(a2)f(a)中国 教育 出 版 cf(a21)f(a) df(a21)0，a21a.f(a21)f(a)【答案】d3若函数f(x)是2,2上的减函数，则f(1)_f(2)(填“”，“”，“”)【解析】f(x)在2,2上是减函数，且12，f(1)f(2)【答案】4函数y|x2|的单调递增区间为_【解析】y|x2|图象如下图所示中国教 育出 版 故函数的单调递增区间为2，)【答案】2，)中 国 教育出 版 5求证函数f(x)在(0，)上是减函数证明：对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(0，)上是减函数6已知函数f(x)的定义域为2,2，且f(x)在区间2,2上是增函数，f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解：因为f(x)在区间2,2上单调递增，所以当2x1x22时，总有f(x1)f(x2)成立； :中国 教育 出版 反之也成立，即若f(x1)f(x2)，则2x1x22. 中教 因为f(1m)f(m)，所以解得m2.实