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文档简介

常微分方程1微分方程的基本概念一. 选择题1.微分方程的阶数是指（ B ）（A）方程中未知函数的最高阶数； （B）方程中未知函导数或微分的最高阶数（C）方程中未知函数的最高次数； （D）方程中函数的次数.2.下面函数( C )可以看作某个二阶微分方程的通解.（A） （B）（C） （D）二. 证明是方程的通解.证 ，即满足方程。又含有两个独立常数，所以是的通解。三. 求曲线簇满足的微分方程.解 在两边对求导得。上式两边再对求导得，即为所求的微分方程。2 微分方程几种解法（1）分离变量法：例1. 解 原方程可化为，两边积分得，即。由得，故即为所求。例2. 解 当时，原方程可化为，令，得，原方程化为，解之得；当时，原方程可化为，类似地可解得。综合上述，有。例3. .解 原式可化为，令，得，即, 两边积分得 ，即，由得，故所求特解为。（2）一阶线性微分方程解法（可直接套公式）：例3. 解 由公式得 。例4. .解 原方程可化为 ，视为自变量，为的函数，则为一阶线性方程。由常数变易公式得 ，由得。所以所求特解为（3）降阶法：例5（边解方程边定常数）解 ，由 ，得，即 ，再积分得，由，得，故所求特解为。例6解 令得，当时，有，两边积分得，即，例7求的通解;解 令，代入原方程得，即，积分得，得通解为。（4）齐次常系数高阶线性微分方程：一. 解的结构：1. 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数，则该方程的通解为.2. 若和是的两个特解，则为该方程通解的条件是.3. 若和是的任意两个解，则必须是方程的解.二特征方程法：基本思想：特征方程重根按重数计，一个特征根可写出相应的一个特解，而且这些特解彼此之间线性无关。1. 满足解 特征方程为，故通解为，
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